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Anisotropic Inviscid Limit for the Navier-Stokes Equations with Transport Noise Between Two Plates

यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि दो प्लेटों के बीच 3D स्टोकेस्टिक नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के लिए, जहाँ अनिसोट्रोपिक लुप्त होती श्यानता (viscosity) और परिवहन शोर (transport noise) को दिशात्मक श्यानताओं के वर्गमूल द्वारा स्केल किया गया है, कमजोर मार्टिंगेल समाधानों का एक अनुक्रम नियतकालिक युलर (Euler) समीकरण के स्ट्रॉन्ग समाधान की ओर अभिसरित होता है जब ऊर्ध्वाधर श्यानता क्षैतिज श्यानता की तुलना में तेजी से लुप्त होती है, बावजूद इसके कि शोर सहसंबंध (noise correlation) में अपसरण-मुक्त (divergence-free) गुणों की हानि होती है।

मूल लेखक: Daniel Goodair

प्रकाशित 2026-03-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Daniel Goodair

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप चूल्हे पर सूप का एक बर्तन देख रहे हैं। यदि आप इसे धीरे से हिलाते हैं, तो सामग्री सुचारू रूप से मिश्रित होती है। लेकिन यदि आप इसे हिंसक रूप से हिलाते हैं, तो आपको विक्षोभ (turbulence) मिलता है—भंवर, भँवर और अराजक गति। भौतिकी की दुनिया में, इसे नेवियर-स्टोक्स समीकरणों (Navier-Stokes equations) द्वारा वर्णित किया जाता है, जो इस बात के "नियम" हैं कि तरल पदार्थ कैसे चलते हैं।

हालाँकि, एक पेंच है: जब तरल पूरी तरह से चिकना (inviscid) हो बनाम जब इसमें कुछ "चिपचिपाहट" या घर्षण (viscosity) हो, तो इन नियमों को हल करना अविश्वसनीय रूप से कठिन होता है। आमतौर पर, हम मान लेते हैं कि यदि हम तरल को कम चिपचिपा (viscosity कम करना) बनाते हैं, तो चिपचिपाहट शून्य तक पहुँचने पर, अराजक तरल को बिल्कुल एक पूरी तरह से चिकने, घर्षण रहित तरल (यूलर समीकरण - Euler equation) की तरह व्यवहार करना चाहिए।

लेकिन समस्या यह है: दीवारें।
जब तरल बर्तन के किनारे से टकराता है, तो वह दीवार से चिपक जाता है ("नो-स्लिप" स्थिति)। एक पूरी तरह से चिकना तरल दीवार की परवाह नहीं करता; वह बस उसके ऊपर से फिसल जाता है। यह बेमेल स्थिति दीवार के ठीक बगल में एक छोटा, अराजक क्षेत्र बनाती है जिसे बाउंड्री लेयर (boundary layer) कहा जाता है। दशकों से, गणितज्ञों ने इस बात को सिद्ध करने के लिए संघर्ष किया है कि जैसे-जैसे तरल कम चिपचिपा होता जाता है, यह अराजक क्षेत्र गायब हो जाता है और तरल सुचारू रूप से व्यवहार करने लगता है।

ट्विस्ट: एनिसोट्रॉपी (Anisotropy) और शोर (Noise)

डैनियल गुडएयर का यह शोध पत्र एक बहुत ही विशिष्ट, जटिल संस्करण को संबोधित करता है जिसमें दो प्रमुख ट्विस्ट हैं:

1. "फ्लैट अर्थ" विस्कोसिटी (Anisotropy)
कल्पना कीजिए कि सूप एक बहुत चौड़े, उथले पैन (जैसे एक झील) में है। प्रकृति में, तरल पदार्थ अक्सर क्षैतिज (horizontal) रूप से ऊर्ध्वाधर (vertical) की तुलना में अलग तरह से व्यवहार करते हैं।

क्षैतिज विस्कोसिटी ( $\nu_h$ ): इसे अगल-बगल की ओर मिश्रण करने की तरल की क्षमता के रूप में सोचें। एक झील में, हवा और धाराएं क्षैतिज रूप से चीजों को आसानी से मिला देती हैं।
ऊर्ध्वाधर विस्कोसिटी ( $\nu_z$ ): इसे ऊपर और नीचे की ओर मिश्रण करने की क्षमता के रूप में सोचें। एक गहरी झील में, पानी की परतें अक्सर अलग रहती हैं (स्तरीकरण), इसलिए ऊर्ध्वाधर मिश्रण बहुत कठिन होता है।

गुडएयर एक ऐसी स्थिति देखते हैं जहाँ क्षैतिज मिश्रण मजबूत है, लेकिन ऊर्ध्वाधर मिश्रण अत्यंत कमजोर है। वे पूछते हैं: "यदि हम क्षैतिज चिपचिपाहट और ऊर्ध्वाधर चिपचिपाहट को अलग-अलग गति से बंद कर दें, तो क्या तरल अभी भी एक सुचारू प्रवाह में स्थिर हो जाएगा?"

2. "तेज हवा" (ट्रांसपोर्ट नॉइज़)
वास्तविक तरल पदार्थ पूरी तरह से अनुमानित नहीं होते; वे यादृच्छिक बलों (जैसे हवा के झोंके या तापीय उतार-चढ़ाव) से प्रभावित होते हैं। गुडएयर समीकरणों में यादृच्छिक शोर (random noise) जोड़ते हैं।

एक सुचारू धक्के के बजाय, कल्पना करें कि तरल को अदृश्य हाथों द्वारा बेतरतीब ढंग से छेदा जा रहा है।
महत्वपूर्ण रूप से, वह इस शोर को विस्कोसिटी के साथ स्केल करते हैं। जैसे-जैसे तरल कम चिपचिपा होता जाता है, "धक्के" छोटे होते जाते हैं, लेकिन वे तुरंत गायब नहीं होते। वे एक विशिष्ट दर (विस्कोसिटी के वर्गमूल) पर फीके पड़ते हैं।

बड़ी चुनौती: "टूटी हुई" समरूपता (Broken Symmetry)

मानक गणित में, हमें ऐसी चीजें पसंद हैं जो "डाइवर्जेंस-फ्री" (divergence-free) हों। कल्पना कीजिए कि एक कमरे में लोगों की भीड़ चल रही है; यदि कोई पैदा नहीं हो रहा है या नष्ट नहीं हो रहा है, तो कोने में प्रवेश करने वाले लोगों की संख्या उतनी ही होती है जितनी बाहर जाने वालों की। यह संतुलन गणित को खूबसूरती से काम करने में मदद करता है।

हालाँकि, गुडएयर की विशिष्ट सेटअप (द्रव को अलग-अलग स्केलिंग के साथ क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर भागों में विभाजित करना) इस संतुलन को तोड़ देती है। "अदृश्य हाथ" जो तरल को छेड़ रहे हैं, वे अब पूरी तरह से संतुलित नहीं हैं। यह एक गणितीय दुःस्वप्न बनाता है जहाँ मानक उपकरण विफल हो जाते हैं क्योंकि समीकरणों में "भीड़" स्वतः ही प्रकट या गायब होती प्रतीत होती है।

समाधान: एक "बाउंड्री करेक्टर" (Boundary Corrector)

इसे हल करने के लिए, गुडएयर एक बाउंड्री करेक्टर के उपयोग से जुड़ी एक चतुर तकनीक का उपयोग करते हैं।

सुचारू तरल (यूलर समाधान) को एक नर्तक के रूप में सोचें जो दीवारों को अनदेखा करते हुए फर्श पर सहजता से फिसलता है। चिपचिपा तरल (नेवियर-स्टोक्स) एक ऐसा नर्तक है जो दीवार से टकराकर लड़खड़ाता रहता है, अपने पैरों को रोकने की कोशिश करता है।

उनके बीच का अंतर दीवार के ठीक पास बहुत बड़ा है। गुडएयर एक "भूतिया नर्तक" (बाउंड्री करेक्टर, $B$ ) का निर्माण करते हैं।

यह भूतिया नर्तक विशेष रूप से दीवार से चिपकने और चिपचिपे तरल के लड़खड़ाने को रद्द करने के लिए बनाया गया है।
जब आप भूतिया नर्तक को मुख्य नर्तक में जोड़ते हैं, तो परिणाम एक नया नर्तक होता है जो वास्तव में दीवार से चिपक जाता है।
अब, चिपचिपे तरल की सुचारू तरल से तुलना करने के बजाय (जो कि एक खराब तुलना है), वह चिपचिपे तरल की तुलना सुचारू तरल + भूतिया नर्तक से करते हैं।

चूंकि "भूतिया नर्तक" बहुत छोटा है (यह केवल दीवार के पास एक बहुत पतली पट्टी में मौजूद होता है और जैसे-जैसे तरल कम चिपचिपा होता जाता है, यह गायब हो जाता है), इसलिए यह तुलना काम करती है।

परिणाम: एक अभिसरण प्रमाण (Convergence Proof)

गुडएयर सिद्ध करते हैं कि:

टूटी हुई समरूपता के साथ भी (शोर पूरी तरह से संतुलित नहीं होने के बावजूद), अराजक, चिपचिपा तरल अंततः सुचारू, घर्षण रहित तरल की तरह ही व्यवहार करता है।
"भूतिया नर्तक" (बाउंड्री लेयर) सिकुड़ जाता है क्योंकि ऊर्ध्वाधर चिपचिपाहट क्षैतिज चिपचिपाहट की तुलना में कमजोर होती जाती है।
यादृच्छिक "धक्के" (शोर) इतनी तेजी से फीके पड़ जाते हैं कि वे लंबे समय में सुचारू प्रवाह को खराब नहीं कर पाते।

मुख्य निष्कर्ष

सरल शब्दों में, यह शोध पत्र कहता है: "भले ही आपके पास एक ऐसा तरल हो जो अगल-बगल आसानी से मिश्रित होता है लेकिन ऊपर-नीचे मिश्रित होने में संघर्ष करता है, और भले ही आप बर्तन को यादृच्छिक रूप से हिलाते रहें, जब तक कि आप घर्षण को सही ढंग से कम करते हैं, अराजक गड़बड़ी अंततः एक सुचारू, अनुमानित प्रवाह में स्थिर हो जाएगी।"

यह समझने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है कि वास्तविक दुनिया के जटिल तरल पदार्थ (जैसे वायुमंडल या महासागर) कैसे व्यवहार करते हैं जब हम उन्हें बिना घर्षण के मॉडल करने का प्रयास करते है, जो अस्त-व्यस्त वास्तविकता और सुंदर गणितीय सिद्धांत के बीच के अंतर को पाटता है।

यहाँ डैनियल गुडएयर के शोध पत्र "Anisotropic Inviscid Limit for the Navier-Stokes Equations with Transport Noise Between Two Plates" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र $\mathcal{O} = \mathbb{T}^2 \times (0, 1)$ (दो क्षैतिज प्लेटों के बीच एक चैनल) डोमेन पर स्थित 3D स्टोकेस्टिक नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के इनविस्सिड लिमिट (लुप्त श्यानता/vanishing viscosity) की जांच करता है, जिसमें डिरिचलेट नो-स्लिप बाउंड्री कंडीशन्स ( $u=0$ on $\partial\mathcal{O}$ ) लागू हैं।

इसकी मुख्य नवीनता श्यानता (viscosity) और शोर (noise) की एनिसोट्रोपिक स्केलिंग (anisotropic scaling) में निहित है:

श्यानता (Viscosity): टर्बुलेंट विस्कोसिटी को क्षैतिज ( $\nu_h$ ) और ऊर्ध्वाधर ( $\nu_z$ ) घटकों में विभाजित किया गया है। सीमा इस प्रकार ली जाती है कि $\nu_h \to 0$ और $\nu_z/\nu_h \to 0$ हो। यह भू-भौतिकीय प्रवाह (geophysical flows) को मॉडल करता है जहाँ कोरिओलिस बल के कारण क्षैतिज प्रसार, ऊर्ध्वाधर प्रसार से अधिक प्रभावी होता है।
शोर (Noise): सिस्टम ट्रांसपोर्ट-स्ट्रेचिंग नॉइज़ (स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल) द्वारा संचालित है, जो 'स्टोकेस्टिक एडविकशन बाय ली ट्रांसपोर्ट' (SALT) ढांचे से प्राप्त है। महत्वपूर्ण रूप से, शोर को एनिसोट्रोपिक रूप से स्केल किया गया है: शोर के क्षैतिज घटकों को $\sqrt{\nu_h}$ द्वारा और ऊर्ध्वाधर घटकों को $\sqrt{\nu_z}$ द्वारा स्केल किया गया है।
चुनौती: शोर की एनिसोट्रोपिक स्केलिंग स्थानिक सहसंबंध फलनों (spatial correlation functions) के डाइवर्जेंस-फ्री गुण को नष्ट कर देती है ( $\nabla \cdot \tilde{\xi}_i \neq 0$ )। मानक स्टोकेस्टिक फ्लुइड डायनेमिक्स में, ऊर्जा अनुमानों (energy estimates) के लिए डाइवर्जेंस-फ्री गुण आवश्यक है ताकि इटो-स्ट्रैटोनोविच सुधार पदों (Itô-Stratonovich correction terms) को रद्द किया जा सके। इसकी अनुपस्थिति एक महत्वपूर्ण विश्लेषणात्मक बाधा उत्पन्न करती है।

लक्षत यह सिद्ध करना है कि इस स्टोकेस्टिक सिस्टम के कमजोर मार्टिंगेल समाधानों (weak martingale solutions) का एक अनुक्रम, यूलर समाधान के जीवनकाल (lifetime) पर, निश्चित यूलर समीकरण के स्ट्रॉन्ग समाधान (स्लिप बाउंडरी कंडीशन $w \cdot n = 0$ के साथ) की ओर अभिसरित (converge) होता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

प्रमाण में स्टोकेस्टिक विश्लेषण, फलन विश्लेषण (functional analysis) और एनिसोट्रोपिक सेटिंग के अनुकूल सावधानीपूर्वक ऊर्जा अनुमानों का संयोजन उपयोग किया गया है।

A. गणितीय ढांचा (Mathematical Framework)

समीकरण रूपांतरण: स्ट्रैटोनोविच समीकरण को इटो (Itô) रूप में परिवर्तित किया जाता है। इससे $\tilde{G}^2$ ऑपरेटर से संबंधित एक इटो-स्ट्रैटोनोविच सुधार पद उत्पन्न होता है। एनिसोट्रोपिक शोर के कारण, यह पद क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर डेरिवेटिव्स के बीच क्रॉस-टर्म्स उत्पन्न करता है।
बाउंडरी करेक्टर (Boundary Corrector): मसमौडी के नियतकालिक कार्य [55] का अनुसरण करते हुए, लेखक एक बाउंडरी करेक्टर $B$ का निर्माण करते हैं। यह फलन प्लेटों ( $z=0$ और $z=1$ ) के पास समर्थित (supported) है और इसे इस तरह डिज़ाइन किया गया है कि $w + B$ नो-स्लिप बाउंडरी कंडीशन को संतुष्ट करे। इसके बाद अंतर $v = u - w - B$ का विश्लेषण किया जाता है।
गैलेरकिन सन्निकटन (Galerkin Approximation): चूंकि 3D नेवियर-स्टोक्स के कमजोर समाधान अद्वितीय नहीं होते हैं, इसलिए लेखक गैलेरकिन सन्निकटन के माध्यम से मार्टिंगेल कमजोर समाधानों का निर्माण करते हैं। सभी विस्कोसिटी मापदंडों के लिए एकल प्रायिकता स्थान (probability space) की कमी को संभालने के लिए, लेखक एक उत्पाद प्रायिकता स्थान का निर्माण करते हैं जो समाधानों $(u^k, W^k)$ के अनुक्रम को सहारा देता है।

B. गैर-डाइवर्जेंस-फ्री शोर को संभालना (Handling the Non-Divergence-Free Noise)

सबसे महत्वपूर्ण तकनीकी नवाचार $\langle (\tilde{\xi}_i \cdot \nabla) f, g \rangle$ पद को संबोधित करना है।

उन मानक मामलों में जहाँ $\nabla \cdot \xi_i = 0$ , पद $\langle (\xi_i \cdot \nabla)(\xi_i \cdot \nabla)u, u \rangle + \|(\xi_i \cdot \nabla)u\|^2$ शून्य हो जाता है।
यहाँ, क्योंकि $\nabla \cdot \tilde{\xi}_i \neq 0$ , यह पद शून्य नहीं होता है। लेखक यंग की असमानता (Young's Inequality) का उपयोग करके एक सीमा (bound) प्राप्त करते हैं:
$\langle (\tilde{\xi}_i \cdot \nabla)(\tilde{\xi}_i \cdot \nabla)u, u \rangle + \|(\tilde{\xi}_i \cdot \nabla)u\|^2 \leq C(\nu_h + \nu_z)\|u\|^2 + \delta(\nu_h \|\nabla_h u\|^2 + \nu_z \|\partial_z u\|^2)$
$\delta$ वाले पदों को विस्कस डिसिपेशन टर्म्स ( $\nu_h \Delta_h$ और $\nu_z \Delta_z$ ) में अवशोषित कर लिया जाता है, जबकि शेष पद $\nu \to 0$ होने पर शून्य हो जाते हैं।

C. ऊर्जा अनुमान (Energy Estimates)

प्रमाण अंतर $v_t = u_t - w_t - B_t$ की ऊर्जा का अनुमान लगाने पर निर्भर करता है। लेखक एक ऊर्जा पहचान (energy identity) व्युत्पन्न करते हैं जिसमें शामिल हैं:

गैर-रेखीय पद (Nonlinear terms): इन्हें गैलियोर्टो-निरेनबर्ग असमानताओं (Gagliardo-Nirenberg inequalities) और बाउंडरी करेक्टर की विशिष्ट संरचना के माध्यम से संभाला जाता है।
विस्कस पद (Viscous terms): इनका उपयोग गैर-डाइवर्जेंस-फ्री शोर से उत्पन्न होने वाले "बुरे" पदों को अवशोषित करने के लिए किया जाता है।
स्टोकेस्टिक पद (Stochastic terms): इन्हें बर्कहोल्डर-डेविड्स-गुडिंग (Burkholder-Davis-Gundy) असमानता का उपयोग करके नियंत्रित किया जाता है। एनिसोट्रोपिक स्केलिंग यह सुनिश्चित करती है कि शोर के पद सीमा में शून्य हो जाते हैं।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

एनिसोट्रोपिक शोर स्केलिंग: यह शोध पत्र एक ऐसा ट्रांसपोर्ट नॉइज़ मॉडल पेश करता है और उसका कठोर विश्लेषण करता है जहाँ शोर की तीव्रता संबंधित दिशात्मक श्यानता के वर्गमूल ( $\sqrt{\nu_h}$ और $\sqrt{\nu_z}$ ) के साथ स्केल होती है। यह स्टोकेस्टिक फ्लुइड डायनेमिक्स में एक नवीन सेटअप है।
गैर-डाइवर्जेंस-फ्री शोर पर विजय: यह कार्य उस ट्रांसपोर्ट-स्ट्रेचिंग शोर का पहला कठोर उपचार प्रदान करता है जहाँ स्थानिक सहसंबंध फलन (spatial correlation functions) डाइवर्जेंस-फ्री नहीं हैं। यह प्रदर्शित करता है कि परिणामी "त्रुटि" पदों को एनिसोट्रोपिक श्यानता द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है, बशर्ते कि $\nu_z/\nu_h \to 0$ हो।
काटो के मानदंड (Kato's Criterion) का विस्तार: यह शोध पत्र मसमौडी [55] के नियतकालिक परिणामों (जिन्होंने बिना शोर के एनिसोट्रोपिक नेवियर-स्टोक्स के लिए इनविस्सिड लिमिट स्थापित किया था) को स्टोकेस्टिक सेटिंग तक विस्तारित करता है। यह पुष्टि करता कि यूलर समीकरण की ओर अभिसरण (convergence) तब भी बना रहता है जब शोर सही दर से लुप्त होता है।
मार्टिंगेल समाधानों का निर्माण: यह गैर-डाइवर्जेंस-फ्री शोर के साथ एनिसोट्रोपिक स्टोकेस्टिक नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के लिए मार्टिंगेल कमजोर समाधानों के अस्तित्व को स्थापित करता है, जो पहले साहित्य में उपलब्ध नहीं था।

4. मुख्य परिणाम (Main Results)

प्रमेय 3.2 (Theorem 3.2) बताता है कि किसी भी श्यानता अनुक्रम $(\nu_h^k)$ और $(\nu_z^k)$ के लिए, जहाँ $\nu_h^k \to 0$ और $\nu_z^k/\nu_h^k \to 0$ :

एक फिल्टर्ड प्रायिकता स्थान और स्टोकेस्टिक नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के मार्टिंगेल कमजोर समाधानों $(u^k, W^k)$ का एक अनुक्रम मौजूद है।
अभिसरण (Convergence): $u^k$ , निश्चित यूलर समीकरण के स्ट्रॉन्ग समाधान $w$ की ओर $L^2(\Omega; L^\infty([0, T]; L^2_\sigma))$ स्पेस में अभिसरित होता है।
ग्रेडिएंट अभिसरण (Gradient Convergence): स्केल्ड ग्रेडिएंट्स शून्य की ओर अभिसरित होते हैं:
$\nu_h^k \sum_{j=1}^2 \|\partial_j u^k\|_{L^2} \to 0 \quad \text{और} \quad \nu_z^k \|\partial_z u^k\|_{L^2} \to 0$
यह दर्शाता है कि बाउंड्री लेयर में ऊर्जा का क्षय (energy dissipation) सीमा में शून्य हो जाता है, जो काटो के मानदंड के स्टोकेस्टिक एनालॉग को संतुष्ट करता है।

5. महत्व (Significance)

भू-भौतिकीय फ्लुइड डायनेमिक्स (Geophysical Fluid Dynamics): यह मॉडल भू-भौतिकीय प्रवाह (जैसे महासागरीय या वायुमंडलीय गतिशीलता) के लिए अत्यधिक प्रासंगिक है जहाँ रोटेशन एनिसोट्रॉपी (क्षैतिज मिश्रण >> ऊर्ध्वाधर मिश्रण) उत्पन्न करता है। परिणाम ऐसे स्टोकेस्टिक मॉडलों के लिए यूलर समीकरण के उपयोग को वैध बनाता है।
स्टोकेस्टिक PDE सिद्धांत: यह कार्य ट्रांसपोर्ट शोर के संबंध में एक महत्वपूर्ण तकनीकी अंतराल को हल करता जहाँ सहसंबंध (correlations) गैर-डाइवर्जेंस-फ्री हैं। यह दिखाता है कि "डाइवर्जेंस-फ्री" धारणा, जिसे अक्सर SALT सिद्धांत में स्वतः लिया जाता है, को तब शिथिल किया जा सकता है जब शोर को श्यानता के सापेक्ष उचित रूप से स्केल किया जाए।
बाउंड्री लेयर थ्योरी: यह इस समझ को पुख्ता करता कि नो-स्लिप कंडीशंस के साथ इनविस्सिड लिमिट में, अभिसरण पूरी तरह से एक पतली बाउंड्री लेयर में समाधान के व्यवहार पर निर्भर करता है। एनिसोट्रोपिक स्केलिंग यह सुनिश्चित करती है कि स्टोकेस्टिक फोर्सिंग की उपस्थिति में भी यह लेयर नियंत्रित रहे।

संक्षेप में, यह शोध पत्र सफलतापूर्वक नियतकालिक एनिसोट्रोपिक फ्लुइड लिमिट और स्टोकेस्टिक विश्लेषण के बीच के अंतर को पाटता है, यह सिद्ध करते हुए कि यूलर समीकरण अभी भी सही इनविस्सिड लिमिट बना रहता है, भले ही वह ऐसे ट्रांसपोर्ट शोर से प्रेरित हो जो सहसंबंध फलनों की डाइवर्जेंस-फ्री समरूपता (symmetry) को तोड़ देता है।