Anisotropic Inviscid Limit for the Navier-Stokes Equations with Transport Noise Between Two Plates

1. Problématique et Contexte

L'article étudie la limite visqueuse anisotrope des équations de Navier-Stokes stochastiques tridimensionnelles, posées dans un domaine borné entre deux plaques horizontales ($O = \mathbb{T}^2 \times (0, 1)$), avec des conditions aux limites de type « no-slip » (vitesse nulle sur le bord).

Le système considéré est une équation de Navier-Stokes stochastique où la viscosité turbulente est décomposée en deux composantes distinctes :

• Une viscosité horizontale $\nu_h$.
• Une viscosité verticale $\nu_z$.

Ces deux paramètres tendent vers zéro, mais à des taux différents. Plus précisément, l'étude se concentre sur le régime où le rapport $\frac{\nu_z}{\nu_h}$ tend vers zéro, modélisant des phénomènes de géophysique où la diffusion verticale est beaucoup plus faible que la diffusion horizontale (effet de la force de Coriolis).

Le bruit stochastique est de type « transport-étirement » (transport-stretching), dérivé du principe de transport stochastique par Lie (SALT). Contrairement aux études isotropes précédentes, le bruit est également anisotrope : les composantes horizontales et verticales du mouvement brownien cylindrique sont pondérées respectivement par $\sqrt{\nu_h}$ et $\sqrt{\nu_z}$.

L'objectif principal est de prouver que, sous ces conditions, une suite de solutions faibles martingales de l'équation de Navier-Stokes stochastique converge vers la solution forte de l'équation d'Euler déterministe (sans viscosité et sans bruit) sur la durée de vie de cette dernière.

2. Méthodologie et Défis Techniques

L'approche méthodologique repose sur plusieurs piliers techniques innovants pour gérer l'anisotropie et la nature du bruit :

A. Structure du Bruit et Perte de la Propriété de Divergence Nulle

Un défi majeur réside dans la structure de la corrélation spatiale du bruit. Dans les modèles classiques de bruit de transport, les fonctions de corrélation $\xi_i$ sont supposées à divergence nulle ($\nabla \cdot \xi_i = 0$). Cela permet d'annuler certains termes critiques dans les estimations d'énergie (via l'intégration par parties).
Dans ce travail, la fonction de corrélation effective $\tilde{\xi}_i$ est construite par combinaison linéaire des composantes horizontales et verticales pondérées par les racines carrées des viscosités :
$$\tilde{\xi}_i = \sqrt{\nu_h} \xi_i^h + \sqrt{\nu_z} \xi_i^z$$
Cette combinaison brise la propriété de divergence nulle de $\tilde{\xi}_i$ (sauf si $\xi_i^z \equiv 0$, ce qui trivialiserait le problème). Par conséquent, les termes d'erreur issus de l'opérateur de Stratonovich ne s'annulent pas automatiquement.

B. Estimations d'Énergie et Inégalités de Young

Pour contourner l'absence de divergence nulle, l'auteur développe une estimation fine des termes croisés dans l'équation d'Itô-Stratonovich. En utilisant l'inégalité de Young avec un paramètre petit $\delta$, il est démontré que les termes résiduels (liés à la divergence de $\tilde{\xi}_i$) peuvent être contrôlés par les termes de dissipation visqueuse ($\nu_h \|\nabla_h u\|^2$ et $\nu_z \|\partial_z u\|^2$). Cela permet de fermer les estimations d'énergie malgré la perte de la symétrie habituelle.

C. Correcteur de Bord (Boundary Corrector)

Comme dans les travaux déterministes de Masmoudi [55], la différence fondamentale entre les conditions aux limites de Navier-Stokes ($u=0$) et d'Euler ($u \cdot n = 0$, mais composante tangentielle libre) est gérée via un correcteur de bord $B$.

• $B$ est construit pour annuler la vitesse tangentielle de la solution d'Euler sur les plaques.
• $B$ est supporté uniquement près des bords ($z \approx 0$ et $z \approx 1$).
• La norme $L^2$ de $B$ tend vers zéro avec la viscosité.
  L'analyse porte sur la différence $v = u - w - B$, où $w$ est la solution d'Euler.

D. Construction de l'Espace de Probabilité

Étant donné que l'unicité des solutions faibles pour les équations de Navier-Stokes 3D n'est pas garantie, les solutions sont probabilistes faibles (l'espace de probabilité et le mouvement brownien dépendent des paramètres de viscosité).
Pour étudier la convergence, l'auteur construit un espace de probabilité produit infini supportant simultanément une suite de solutions $(u^k)$ correspondant à une suite de viscosités $(\nu_h^k, \nu_z^k)$. Cela permet de définir l'espérance de la différence entre les solutions sur un même espace, une étape cruciale pour appliquer les inégalités de Gronwall.

3. Résultats Principaux

Le théorème principal (Théorème 3.2) établit les résultats suivants pour des suites de viscosités $(\nu_h^k, \nu_z^k)$ telles que $\nu_h^k \to 0$ et $\frac{\nu_z^k}{\nu_h^k} \to 0$ :

1. Existence : Il existe une suite de solutions faibles martingales $(u^k, W^k)$ sur un espace de probabilité filtré commun.
2. Convergence vers Euler : La suite $u^k$ converge vers la solution forte $w$ de l'équation d'Euler déterministe dans l'espace $L^2(\Omega; L^\infty([0, T]; L^2_\sigma))$. La convergence a lieu sur la durée de vie de la solution d'Euler.
3. Dissipation de l'énergie : Les termes de dissipation visqueuse tendent vers zéro :
   $$\nu_h^k \sum_{j=1}^2 \partial_j u^k \to 0 \quad \text{et} \quad \nu_z^k \partial_3 u^k \to 0$$
   dans $L^2(\Omega; L^2([0, T]; L^2_\sigma))$.

La preuve repose sur une estimation d'énergie détaillée de la différence $v = u - w - B$, en utilisant des approximations de Galerkin pour gérer les termes non linéaires et les projections, tout en contrôlant soigneusement les termes croisés introduits par l'anisotropie du bruit.

4. Contributions Clés et Signification

• Nouveauté du Bruit Anisotrope : C'est la première étude traitant de la limite visqueuse pour des équations de Navier-Stokes avec un bruit de transport anisotrope où les composantes spatiales du bruit sont scalées différemment selon la direction.
• Gestion de la Non-Divergence : L'article résout le problème technique majeur de la perte de la propriété de divergence nulle pour les fonctions de corrélation du bruit dans un cadre anisotrope, en montrant comment les termes résiduels peuvent être absorbés par la dissipation visqueuse anisotrope.
• Modélisation Géophysique : Le résultat valide mathématiquement l'approximation utilisée en mécanique des fluides géophysiques, où la turbulence est fortement anisotrope (diffusion horizontale dominante). Il justifie que, même en présence de bruit de transport complexe, le comportement limite est bien décrit par l'équation d'Euler déterministe, à condition que la viscosité verticale soit négligeable par rapport à la viscosité horizontale.
• Extension des Critères de Kato : Le travail étend les critères de convergence de Kato (liant la convergence inviscide à la dissipation d'énergie dans la couche limite) au contexte stochastique anisotrope, en se concentrant spécifiquement sur les dérivées tangentielles dans la couche limite.

En résumé, cet article fournit une preuve rigoureuse de la convergence vers l'Euler déterministe pour un modèle de turbulence anisotrope stochastique complexe, comblant un vide théorique important entre la mécanique des fluides géophysiques et la théorie stochastique des équations aux dérivées partielles.