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On the lower bound and upper bound of the Sum of Eigenvalues of the Fractional-Logarithmic Laplacian

यह शोधपत्र फ्रैक्शनल-लॉगैरिथमिक लैप्लासियन के आइजनवैल्यूज़ (eigenvalues) के योग के लिए निचली और ऊपरी दोनों सीमाएँ स्थापित करता है, जो कम आवृत्तियों पर ऑपरेटर के गैर-मोनोटोनिक फूरियर सिंबल (non-monotone Fourier symbol) द्वारा उत्पन्न विश्लेषणात्मक चुनौती को दूर करता है।

मूल लेखक: H. Hajaiej

प्रकाशित 2026-03-17

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CC BY 4.0

मूल लेखक: H. Hajaiej

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक बड़े, खाली कमरे (मान लीजिए $\Omega$ ) में खड़े हैं। इस कमरे का एक बहुत ही विशेष गुण है: यह अदृश्य, कंपन करती हुई डोरियों (strings) से भरा हुआ है। जब आप इन डोरियों को छेड़ते हैं, तो वे केवल एक आवृत्ति (frequency) पर नहीं कंपन करतीं; वे आवृत्तियों के एक पूरे स्पेक्ट्रम पर कंपन करती हैं, एक धीमी गूँज से लेकर एक ऊँची चीख तक।

गणित में, इन "डोरियों" को आइगेनवैल्यूज़ (eigenvalues) कहा जाता है, और यह कमरा एक "डोमेन" है। इस शोध पत्र का लक्ष्य यह पता लगाना है कि कमरे के पहले $k$ सबसे तेज़ स्वरों में कितनी "ऊर्जा" संग्रहित है।

पात्रों की टोली

कमरा ( $\Omega$ ): एक सीमित स्थान (जैसे एक डिब्बा या गोला)।
स्वर ( $\lambda$ ): वे विशिष्ट आवृत्तियाँ जिन पर कमरा कंपन कर सकता है। इन्हें निम्न से उच्च क्रम में व्यवस्थित किया गया है: $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \dots$ ।
योग (The Sum): शोध पत्र पूछता है: "यदि मैं पहले $k$ स्वरों की ऊर्जा को जोड़ दूँ, तो वह कुल कितनी होगी?"
कंडक्टर (द ऑपरेटर): यह वह नियम है जो डोरियों को कैसे कंपन करना है, यह बताता है।
- क्लासिक कंडक्टर: मानक लैपलेसियन (जैसे एक ड्रम)। इसके स्वर स्वरों की संख्या ( $k^2$ ) की घात (power) की तरह बढ़ते हैं।
- फ्रैक्शनल कंडक्टर: एक "अजीब" ड्रम जहाँ स्वर धीरे बढ़ते हैं ( $k^{2s}$ )।
- लॉगारिदमिक कंडक्टर: एक बहुत ही शांत वाद्य यंत्र जहाँ स्वर बहुत धीरे बढ़ते हैं, जैसे स्वरों की संख्या का लघुगणक ( $\ln k$ )।
- मुख्य आकर्षण: फ्रैक्शनल-लॉगारिदमिक लैपलेसियन। यह एक हाइब्रिड (मिश्रित) वाद्य यंत्र है। यह फ्रैक्शनल ड्रम की "अजीबियत" और लॉगारिदमिक वाले की "शांति" को जोड़ता है। इसका नियम घात और लॉग का मिश्रण है: $k^{2s} \times \ln k$ ।

बड़ी चुनौती: "ऊबड़-खाबड़ रास्ता"

लेखक, हिचेम हाजाइजा (Hichem Hajaieja) को एक कठिन समस्या का सामना करना पड़ता है। स्वरों के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए, गणितज्ञ आमतौर पर आवृत्तियों के "मानचित्र" (जिसे फूरियर सिंबल कहा जाता है) को देखते हैं।

क्लासिक ड्रम के लिए, मानचित्र एक चिकनी, सीधी पहाड़ी की तरह है। यह हमेशा बाहर की ओर जाते समय ऊपर की ओर बढ़ता है। इससे योग की भविष्यवाणी करना आसान हो जाता है।
इस नए फ्रैक्शनल-लॉगारिदमिक वाद्य यंत्र के लिए, मानचित्र ऊबड़-खाबड़ (bumpy) है। कम आवृत्तियों (शुरुआत के पास) पर, यह नीचे की ओर झुकता है और अजीब व्यवहार करता है। यह एक चिकनी पहाड़ी नहीं है; यह नीचे एक घाटी वाली पहाड़ी है।

यह "ऊबड़-खाबड़पन" कुल ऊर्जा (आइगेनवैल्यूज़ का योग) की गणना करना बहुत कठिन बना देता है क्योंकि सामान्य गणितीय उपकरण इस गिरावट (dip) से भ्रमित हो जाते हैं।

समाधान: एक घेरा और एक पुल बनाना

यह शोध पत्र इस समस्या को दो घेरों के माध्यम से हल करता है: एक निचली सीमा (Lower Bound) और एक ऊपरी सीमा (Upper Bound)।

1. निचली सीमा (The Floor)

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक पूल में पानी की न्यूनतम मात्रा जानना चाहते हैं। आप हर बूंद को नहीं माप सकते, लेकिन आप जानते हैं कि पूल कम से कम इतना गहरा है।
विधि: लेखक "स्लोली वेरिंग फंक्शन्स" (धीरे बदलने वाले फलनों) के एक चतुर तरीके का उपयोग करते हैं। इसे ऐसे समझें कि भले ही शुरुआत में रास्ता ऊबड़-खाबड़ है, लेकिन एक बार जब आप रास्ते में काफी आगे (उच्च आवृत्तियों पर) पहुँच जाते हैं, तो ऊबड़-खाबड़पन सुधर जाता है, और रास्ता फिर से एक सीधा, तीव्र ढलान वाला बन जाता है।
परिणाम: वह यह सिद्ध करते हैं कि चाहे शुरुआती स्वर कितने भी अजीब क्यों न हों, पहले $k$ $k$ स्वरों का कुल योग एक विशिष्ट सूत्र से कम नहीं हो सकता है जिसमें $k$ $k$ की घात और $\ln k$ $ln k$ का गुणनफल शामिल है।
- सूत्र: कुल ऊर्जा $\ge$ (स्थिरांक) $\times k^{1 + \text{fraction}} \times \ln k$ ।

2. ऊपरी सीमा (The Ceiling)

उपमा: अब, कल्पना कीजिए कि आप पानी की अधिकतम मात्रा जानना चाहते हैं। आप पूल को लबालब नहीं भर सकते, लेकिन आप जानते हैं कि यह एक निश्चित ऊंचाई से अधिक नहीं भर सकता।
विधि: यह कठिन हिस्सा है। लेखक "कटऑफ फंक्शन्स" का उपयोग करते हैं। कल्पना कीजिए कि आप एक टॉर्च ले रहे हैं और उसकी रोशनी केवल कमरे की दीवारों से दूर वाले हिस्से पर डाल रहे हैं। वह "टेस्ट वेव्स" (नकली स्वर) बनाते हैं जो मुख्य रूप से कमरे के बीच में रहते हैं और किनारों के शोर को अनदेखा करते हैं।
परिणाम: वह सिद्ध करते हैं कि कुल योग एक बहुत ही समान सूत्र से अधिक नहीं हो सकता है।
- सूत्र: कुल ऊर्जा $\le$ (वही स्थिरांक) $\times k^{1 + \text{fraction}} \times \ln k + \text{थोड़ा सा अतिरिक्त शोर}$ ।

"अहा!" क्षण (The "Aha!" Moment)

शोध पत्र का सबसे सुंदर हिस्सा इसका निष्कर्ष है।

भले ही फ्रैक्शनल-लॉगारिदमिक लैपलेसियन एक जटिल, हाइब्रिड जीव है, इसका व्यवहार वास्तव में गुणात्मक (multiplicative) साबित होता है।

फ्रैक्शनल भाग घात वृद्धि ( $k^{2s}$ ) में योगदान देता है।
लॉगारिदमिक भाग धीमी वृद्धि ( $\ln k$ ) में योगदान देता है।
जब आप उन्हें मिलाते हैं, तो कुल वृद्धि केवल दोनों का गुणनफल होती है: $k^{2s} \times \ln k$ ।

यह ऐसा ही है जैसे आपके पास एक कार का इंजन (फ्रैक्शनल) और एक टर्बोचार्जर (लॉगारिदमिक) हो। यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि कार की गति कोई जटिल, अप्रत्याशित गड़बबड़ नहीं है; यह केवल इंजन की गति और टर्बो बूस्ट का गुणनफल है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है?

वास्तविक दुनिया में, ये गणितीय "कमरे" और "स्वर" ऐसी चीजों का मॉडल बनाते हैं जैसे:

कैसे स्मृति (memory) वाले पदार्थ के माध्यम से गर्मी फैलती है।
कैसे कण एक ऐसे तरल में चलते हैं जो पूरी तरह से सामान्य नहीं है (anomalous diffusion)।
जटिल वातावरणों में क्वांटम मैकेनिक्स।

इन प्रणालियों की ऊर्जा के लिए सटीक "फर्श" (floor) और "छत" (ceiling) ज्ञात करके, वैज्ञानिक यह अनुमान लगा सकते हैं कि ये सामग्रियां कैसे व्यवहार करेंगी, बिना हर एक परमाणु का अनुकरण (simulate) किए। यह शोध पत्र एक नए, जटिल प्रकार के भौतिक तंत्र के लिए नियम पुस्तिका प्रदान करता है, यह दिखाते हुए कि अपनी "ऊबड़-खाबड़" शुरुआत के बावजूद, यह लंबे समय में एक आश्चर्यजनक रूप से सुंदर और अनुमानित पैटर्न का पालन करता है।

यहाँ हिचेम हजाजे (Hichem Hajaiej) के शोध पत्र "On the lower bound and upper bound of the Sum of Eigenvalues of the Fractional-Logarithmic Laplacian" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र फ्रैक्शनल-लॉगैरिद्मिक लैप्लासियन (Fractional-Logarithmic Laplacian), जिसे $(-\Delta)^{s+\ln}$ द्वारा दर्शाया गया है, के स्पेक्ट्रल सिद्धांत (spectral theory) को संबोधित करता है, जो एक परिबद्ध डोमेन (bounded domain) $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ पर परिभाषित है। यह ऑपरेटर एक अपेक्षाकृत नया विकास है, जिसे ऑर्डर पैरामीटर $s$ के सापेक्ष फ्रैक्शनल लैप्लासियन $(-\Delta)^s$ के व्युत्पन्न (derivative) के रूप में पेश किया गया है।

अध्ययन का केंद्रीय विषय डिरिचलेट आइजनवैल्यूज़ (Dirichlet eigenvalues) का अनुक्रम है:
$0 < \lambda_1^{s+\ln}(\Omega) \le \lambda_2^{s+\ln}(\Omega) \le \dots \uparrow +\infty$
मुख्य लक्ष्य इन आइजनवैल्यूज़ के आंशिक योगों (partial sums) के लिए कठोर निम्नतम और उच्चतम सीमाएँ (lower and upper bounds) स्थापित करना है:
$S_k = \sum_{j=1}^k \lambda_j^{s+\ln}(\Omega)$
विशेष रूप से, लेखक यह सिद्ध करने का लक्ष्य रखते हैं कि ये योग उन सटीक अनुमानों (asymptotic estimates) को संतुष्ट करते हैं जो फ्रैक्शनल लैप्लासियन की पावर-लॉ ग्रोथ (power-law growth) को लॉगैरिद्मिक लैप्लासियन की विशेषता वाले लॉगरिदमिक सुधार (logarithmic correction) के साथ जोड़ते हैं।

मुख्य चुनौती (The Core Challenge):
मानक फ्रैक्शनल लैप्लासियन (जिसका सिंबल $|\xi|^{2s}$ वैश्विक रूप से मोनोटोन है) या लॉगैरिद्मिक लैप्लासियन (सिंबल $2\ln|\xi|$ ) के विपरीत, फ्रैक्शनल-लॉगैरिद्मिक लैप्लासियन का सिंबल है:
$m(\xi) = |\xi|^{2s} \ln |\xi|^2$
यह सिंबल रेडियल वेरिएबल $|\xi|$ के संबंध में वैश्विक रूप से मोनोटोन (globally monotone) नहीं है, क्योंकि यह कम आवृत्तियों (low frequencies) पर इसका व्यवहार (जहाँ $|\xi| < 1$ के लिए $\ln|\xi|^2 < 0$ ) इसे प्रभावित करता है। यह गैर-मोनोटोनिटी (non-monotonicity) मानक स्पेक्ट्रल अनुमान तकनीकों (जैसे बेरेज़िन-ली-यौ विधि) के अनुप्रयोग को जटिल बना देती है, जो आमतौर पर मोनोटोन सिम्बल्स पर निर्भर करती हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

यह शोध पत्र टैबरियन सिद्धांतों (Tauberian theorems), वैरिएशनल सिद्धांतों (variational principles), और गैर-मोनोटोन सिम्बल्स के लिए अनुकूलित फूरियर विश्लेषण (Fourier analysis) के संयोजन का उपयोग करता है।

A. टैबरियन सिद्धांतों के माध्यम से एसिम्प्टोटिक विश्लेषण (Asymptotic Analysis via Tauberian Theorems)

लेखक पहले व्यक्तिगत आइजनवैल्यूज़ के ज्ञात एसिम्प्टोटिक $\lambda_k^{s+\ln} \sim C k^{2s/n} \ln k$ के आधार पर योग $S_k$ के व्यवहार को स्थापित करते हैं।

वे धीरे-धीरे बदलने वाले कार्यों (slowly varying functions) वाले पावर सीरीज़ के लिए करामाटा के टैबरियन प्रमेय (Karamata's Tauberian theorem) का उपयोग करते हैं।
$\ln k$ को एक स्लोली वेरिंग फंक्शन के रूप में मानकर, वे कठोरता से व्युत्पन्न करते हैं कि यह योग इस प्रकार व्यवहार करता है:
$S_k \sim \frac{2}{n+2s} (2\pi)^{2s} (\omega_n |\Omega|)^{-2s/n} k^{1+2s/n} \ln k$
यह इस धारणा की पुष्टि करता है कि स्पेक्ट्रल संरचना फ्रैक्शनल और लॉगैरिद्मिक योगदानों का एक गुणात्मक उत्पाद (multiplicative product) है।

B. निम्नतम सीमा अनुमान (Lower Bound Estimation - Berezin-Li-Yau Type)

निम्नतम सीमा को सिद्ध करने के लिए, लेखक शास्त्रीय बेरेज़िन-ली-यौ विधि (Berezin-Li-Yau method) को अनुकूलित करते हैं:

फूरियर प्रतिनिधित्व (Fourier Representation): वे एक घनत्व फलन (density function) $f(\xi) = \sum_{j=1}^k |\hat{\phi}_j(\xi)|^2$ को परिभाषित करते हैं, जहाँ $\phi_j$ आइजनफंक्शंस (eigenfunctions) हैं।
मोमेंट अनुमान (Moment Estimates): वे आइजनवैल्यूज़ के योग को मोमेंट $M_2 = \int |\xi|^{2s} \ln |\xi|^2 f(\xi) d\xi$ से जोड़ते हैं।
गैर-मोनोटोनिटी को संभालना (Handling Non-Monotonicity): चूंकि सिंबल $|\xi|^{2s} \ln |\xi|^2$ छोटे $|\xi|$ के लिए ऋणात्मक है, इसलिए वे एक विशिष्ट अनुकूलन लेम्मा (Optimization Lemma 2.4) का उपयोग करते हैं। यह लेम्मा एक गैर-मोनोटोन वेट फंक्शन के इंटीग्रल के लिए एक निचली सीमा प्रदान करता है, जो कम-आवृत्ति क्षेत्र (जहाँ सिंबल ऋणात्मक है) के योगदान को उच्च-आवृत्ति क्षेत्र से अलग करता है।
अनुकूलन (Optimization): एक त्रिज्या $R$ पर अनुकूलन करके, वे एक विशिष्ट असमानता (inequality) प्राप्त करते है जो सिंबल के "ऋणात्मक" भाग को ध्यान में रखती है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि अग्रणी पद (leading term) धनात्मक रहे और अनुमानित एसिम्प्टोटिक से मेल खाए।

C. उच्चतम सीमा अनुमान (Upper Bound Estimation - Kröger Type)

उच्चतम सीमा को सिद्ध करने के लिए, लेखक रेले-रिट्ज़ वैरिएशनल सिद्धांत (Rayleigh-Ritz variational principle) का उपयोग कटऑफ प्लेन वेव्स (cutoff plane waves) के साथ करते हैं:

टेस्ट फंक्शन्स (Test Functions): वे टेस्ट फंक्शन्स $v_\sigma(z, x) = w_\sigma(x) e^{-ix \cdot z}$ का निर्माण करते हैं, जहाँ $w_\sigma$ एक स्मूथ कटऑफ फंक्शन है जो $\Omega$ के भीतर 1 होता है और $\partial \Omega$ के पास 0 होता है।
ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन (Orthogonal Projection): वे इन टेस्ट फंक्शन्स को पहले $k$ आइजनफंक्शंस के ऑर्थोगोनल कॉम्प्लीमेंट पर प्रोजेक्ट करते हैं ताकि $\lambda_{k+1}$ के लिए मिन-मैक्स सिद्धांत का उपयोग किया जा सके।
बाउंड्री लेयर अनुमान (Boundary Layer Estimates): एक महत्वपूर्ण चरण सीमा (boundary) के पास कटऑफ द्वारा उत्पन्न त्रुटि का अनुमान लगाना है। वे डोमेन पर एक ज्यामितीय स्थिति (geometric condition) मानते हैं (बाउंड्री लेयर अनुमान $|\Omega_t| \le C t$ ) ताकि शेष पदों (remainder terms) को नियंत्रित किया जा सके।
सिंबल इंटीग्रेशन (Symbol Integration): वे फूरियर सिंबल का उपयोग करके टेस्ट फंक्शन्स की ऊर्जा की गणना करते हैं। गैर-मोनोटोनिटी को कटऑफ त्रिज्या $r$ और बाउंड्री लेयर चौड़ाई $\sigma$ को सावधानीपूर्वक चुनकर संभाला जाता है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि प्रमुख पद (dominant term) उच्च-आवृत्ति क्षेत्र से आता है जहाँ सिंबल धनात्मक और बढ़ता हुआ है।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

मुख्य प्रमेय (Main Theorems)

यह शोध पत्र $k \ge 1$ के लिए निम्नलिखित सटीक सीमाएँ स्थापित करता है (निम्नतम सीमा के लिए $k$ की विशिष्ट स्थितियों के साथ):

1. निम्नतम सीमा (Theorem 2.5):
$\sum_{j=1}^k \lambda_j^{s+\ln}(\Omega) \ge \frac{2}{n+2s}(2\pi)^{2s}(\omega_n|\Omega|)^{-2s/n} k^{1+2s/n} \left( \ln \frac{(2\pi)^n k}{\omega_n|\Omega|} - \frac{n}{n+2s} \right)$

महत्व: इस सीमा में सही अग्रणी-क्रम वृद्धि (leading-order growth) $k^{1+2s/n} \ln k$ है। यह इस विशिष्ट ऑपरेटर के लिए बेरेज़िन-ली-यौ प्रकार की पहली कठोर निम्नतम सीमा है।

2. उच्चतम सीमा (Theorem 3.2):
यह मानते हुए कि डोमेन एक बाउंड्री लेयर अनुमान को संतुष्ट करता है, एक स्थिरांक $C$ मौजूद है, जो:
$\sum_{j=1}^k \lambda_j^{s+\ln}(\Omega) \le \frac{2}{n+2s}(2\pi)^{2s}(\omega_n|\Omega|)^{-2s/n} k^{1+2s/n} \ln k + C k^{1+2s/n}$

महत्व: यह एक क्रोगर-टाइप (Kröger-type) उच्चतम सीमा प्रदान करता है, जो पुष्टि करता है कि एसिम्प्टोटिक क्रम का उल्लंघन नहीं किया जा सकता।

मुख्य तकनीकी अंतर्दृष्टि (Key Technical Insights)

गुणात्मक स्पेक्ट्रल संरचना (Multiplicative Spectral Structure): परिणाम पुष्टि करते हैं कि फ्रैक्शनल-लॉगैरिद्मिक लैप्लासियन के आइजनवैल्यू सम एक "गुणात्मक" संरचना विरासत में प्राप्त करते हैं। अग्रणी गुणांक, फ्रैक्शनल लैप्लासियन के गुणांक और लॉगैरिद्मिक लैप्लासियन के गुणांक का उत्पाद है।
गैर-मोनोटोनिटी पर विजय (Overcoming Non-Monotonicity): यह शोध पत्र सफलतापूर्वक प्रदर्शित करता है कि गैर-मोनोटोन सिंबल (कम-आवृत्ति ऋणात्मकता के कारण) के बावजूद, उच्च-आवृत्ति वृद्धि इतनी सुदृढ़ है कि सटीक स्पेक्ट्रल सीमाएं संभव हैं।
लॉगैरिद्मिक शासन में वॉल्यूम से स्वतंत्रता (Independence of Volume in Logarithmic Regime): जबकि फ्रैक्शनल भाग $|\Omega|$ पर निर्भर करता है, लॉगैरिद्मिक सुधार वॉल्यूम के साथ एक विशिष्ट तरीके से इंटरैक्ट करता है जो इस ऑपरेटर को शुद्ध पावर-लॉ ऑपरेटरों से अलग करता है।

4. महत्व (Significance)

अंतराल को भरना (Bridging Gaps): यह कार्य होमोजेनियस नॉनलोकल ऑपरेटरों (फ्रैक्शनल लैप्लासियन) और उनके लॉगैरिद्मिक सुधारों के स्पेक्ट्रल सिद्धांत को जोड़ता है। यह उन ऑपरेटरों के आइजनवैल्यू बाउंड्स के संबंध में साहित्य के अंतराल को भरता है जिन्हें ऑर्डर पैरामीटर के सापेक्ष व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है।
पद्धतिगत प्रगति (Methodological Advancement): गैर-मोनोटोन सिंबल $|\xi|^{2s} \ln |\xi|^2$ को संभालने के लिए विकसित तकनीकें अन्य सिंगुलर या मिश्रित-क्रम वाले नॉनलोकल ऑपरेटरों के विश्लेषण के लिए एक टेम्पलेट प्रदान करती हैं जहाँ मानक मोनोटोनिटी धारणाएं विफल हो जाती हैं।
ज्यामितीय स्पेक्ट्रल सिद्धांत (Geometric Spectral Theory): परिणाम इस समझ को गहरा करते हैं कि डोमेन की ज्यामिति (वाया $|\Omega|$ और बाउंड्री रेगुलैरिटी) इस नए वर्ग के जटिल नॉनलोकल ऑपरेटरों के स्पेक्ट्रम को कैसे प्रभावित करती है, जो शास्त्रीय वेइल लॉ (Weyl law) और ली-यौ असमानताओं को विस्तारित करता है।

संक्षेप में, हिचेम हजाजे कठोरता से सिद्ध करते हैं कि फ्रैक्शनल-लॉगैरिद्मिक लैप्लासियन के आइजनवैल्यू का योग एक सटीक एसिम्प्टोटिक नियम का पालन करता है, जो दोनों निम्नतम और उच्चतम सीमाएँ प्रदान करता है जो अनुमानित वृद्धि दर से मेल खाती हैं, जिससे इस उभरते हुए वर्ग के ऑपरेटरों के स्पेक्ट्रल विश्लेषण के लिए एक ठोस आधार स्थापित होता है।