On the lower bound and upper bound of the Sum of Eigenvalues of the Fractional-Logarithmic Laplacian

Titolo e Contesto

Il lavoro si concentra sullo studio spettrale dell'operatore Laplaciano frazionario-logaritmico denotato come $(-\Delta)^{s+\ln}$, definito su un dominio limitato $\Omega \subset \mathbb{R}^n$. L'obiettivo principale è stabilire stime rigorose per la somma parziale dei primi $k$ autovalori di Dirichlet, $\sum_{j=1}^k \lambda_j^{s+\ln}(\Omega)$, fornendo sia un limite inferiore che un limite superiore con il corretto comportamento asintotico.

Il Problema

L'operatore in esame è una generalizzazione che combina le proprietà del Laplaciano frazionario $(-\Delta)^s$ e del Laplaciano logaritmico $(-\Delta)^{\ln}$. Il suo simbolo di Fourier è dato da:
$$m(\xi) = |\xi|^{2s} \ln |\xi|^2$$
A differenza del Laplaciano frazionario (dove il simbolo è omogeneo e monotono) e del Laplaciano logaritmico (dove la crescita è puramente logaritmica), il simbolo di questo operatore presenta una non monotonia globale nella variabile radiale a causa del comportamento alle basse frequenze (dove $\ln |\xi|^2$ diventa negativo). Questa caratteristica rende le tecniche standard di stima spettrale, come quelle di Berezin-Li-Yau e Kröger, non immediatamente applicabili senza adattamenti significativi.

La legge di Weyl asintotica per questo operatore è già nota:
$$\lambda_k^{s+\ln}(\Omega) \sim \frac{2}{n} (2\pi)^{2s} (\omega_n |\Omega|)^{-2s/n} k^{2s/n} \ln k$$
Il problema aperto affrontato nel paper è la dimostrazione di disuguaglianze di tipo "Berezin-Li-Yau" (limite inferiore) e "Kröger" (limite superiore) per la somma degli autovalori che catturino esattamente il termine dominante asintotico:
$$\sum_{j=1}^k \lambda_j^{s+\ln}(\Omega) \sim \frac{2}{n+2s} (2\pi)^{2s} (\omega_n |\Omega|)^{-2s/n} k^{1+2s/n} \ln k$$

Metodologia

L'autore utilizza un approccio ibrido che combina analisi armonica, teoria asintotica e tecniche variazionali non locali.

1. Stima del Limite Inferiore (Sezione 2)

Il metodo si basa sull'adattamento dell'approccio classico di Berezin-Li-Yau, che utilizza la trasformata di Fourier e le disuguaglianze di Bessel.

• Funzione di densità spettrale: Si definisce una funzione $f(\xi) = \sum_{j=1}^k |\hat{\phi}_j(\xi)|^2$, dove $\phi_j$ sono gli autovettori. Si dimostra che $0 \leq f(\xi) \leq M_1$ e $\int f(\xi) d\xi = k$.
• Gestione della non monotonia: La sfida principale è che il simbolo $|\xi|^{2s} \ln |\xi|^2$ non è monotono. L'autore risolve questo problema nel Lemma 2.4, dimostrando una disuguaglianza integrale per funzioni misurabili limitate. Questo lemma fornisce un limite inferiore per il momento $M_2 = \int |\xi|^{2s} \ln |\xi|^2 f(\xi) d\xi$ in funzione della massa totale $A$ e del limite superiore $M_1$, ottimizzando su un raggio $R$.
• Teorema di Tauberian: Viene utilizzato un teorema di Karamata (Proposizione 2.2) per collegare l'asintotico dei singoli autovalori alla somma parziale, gestendo la funzione lentamente variabile $\ln k$.

2. Stima del Limite Superiore (Sezione 3)

Per il limite superiore, l'autore impiega una tecnica ispirata a Kröger, basata su funzioni di prova e proiezioni ortogonali.

• Funzioni di prova tagliate: Si costruiscono funzioni di prova della forma $v_\sigma(z, x) = w_\sigma(x) e^{-ix \cdot z}$, dove $w_\sigma$ è una funzione di taglio (cutoff) che vale 1 all'interno di $\Omega$ e scende a zero in uno strato di confine di spessore $\sigma$.
• Principio di Rayleigh-Ritz: Si proietta lo spazio degli autovettori sullo spazio ortogonale al sottospazio generato dai primi $k$ autovettori.
• Stima del residuo: Il cuore della dimostrazione è il Lemma 3.1, che stima l'errore introdotto dal taglio delle onde piane nel contesto non locale. Si dimostra che l'errore è controllato da un termine di ordine inferiore rispetto al termine principale, permettendo di isolare il comportamento asintotico dominante.

Risultati Chiave

Il paper stabilisce i seguenti risultati principali:

1. Limite Inferiore (Teorema 2.5):
   Per ogni intero $k \geq 1$, vale la disuguaglianza:
   $$\sum_{j=1}^k \lambda_j^{s+\ln}(\Omega) \geq -C_1 |\Omega|$$
   e, per $k$ sufficientemente grande ($k \geq (2\pi)^{-n}\omega_n|\Omega|$):
   $$\sum_{j=1}^k \lambda_j^{s+\ln}(\Omega) \geq \frac{2}{n+2s}(2\pi)^{2s} (\omega_n|\Omega|)^{-2s/n} k^{1+2s/n} \left( \ln \frac{(2\pi)^n k}{\omega_n|\Omega|} - \frac{n}{n+2s} \right)$$
   Questo risultato conferma che il termine principale è esattamente proporzionale a $k^{1+2s/n} \ln k$.

2. Limite Superiore (Teorema 3.2):
   Sotto l'ipotesi che il dominio $\Omega$ ammetta una stima dello strato di confine (tipica per domini con bordo regolare), esiste una costante $C$ tale che per $k$ grande:
   $$\sum_{j=1}^k \lambda_j^{s+\ln}(\Omega) \leq \frac{2}{n+2s}(2\pi)^{2s} (\omega_n|\Omega|)^{-2s/n} k^{1+2s/n} \ln k + C k^{1+2s/n}$$

3. Struttura Moltiplicativa:
   I risultati confermano l'ipotesi euristica secondo cui lo spettro del Laplaciano frazionario-logaritmico eredita una struttura moltiplicativa semplice: il termine dominante è il prodotto del termine di crescita frazionario ($k^{1+2s/n}$) e della correzione logaritmica ($\ln k$).

Significato e Contributi

• Superamento della non monotonia: Il contributo tecnico più significativo è la gestione della non monotonia del simbolo alle basse frequenze. L'autore dimostra che, nonostante questa irregolarità, il comportamento ad alta frequenza è sufficientemente rigido da permettere stime sharp (affilate) per il termine principale.
• Unificazione delle teorie spettrali: Il lavoro colma un gap teorico tra il Laplaciano frazionario e quello logaritmico, fornendo un quadro coerente per gli operatori che derivano dalla derivata del Laplaciano frazionario rispetto all'ordine $s$.
• Rigidità asintotica: Viene dimostrato che la struttura asintotica della somma degli autovalori è universale per questa classe di operatori, indipendentemente dalla geometria fine del dominio (a parte il fattore di volume $|\Omega|$), generalizzando i classici risultati di Li-Yau e Kröger al contesto non locale misto.

In sintesi, il paper fornisce la prima dimostrazione rigorosa di limiti superiori e inferiori per le somme di autovalori del Laplaciano frazionario-logaritmico, confermando che la crescita spettrale è governata da una scala mista frazionario-logaritmica.