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Infinite families of APN permutations in constrained trivariate classes over $\mathbb{F}_{2^m}$

यह शोध पत्र ली और केलेस्की के दो त्रिविचर (trivariate) निर्माणों का विस्तार करके $\mathbb{F}_{2^{3m}}$ पर नए, परस्पर CCZ-असमतुल्य (CCZ-inequivalent) लगभग पूर्ण गैर-रैखिक (Almost Perfect Nonlinear - APN) क्रमपरिवर्तनों के अनंत परिवारों को स्थापित करता है, यह सिद्ध करते हुए कि विशिष्ट स्केलर पैरामीटर APN क्रमपरिवर्तनों को तब उत्पन्न करते हैं यदि और केवल यदि एक संबद्ध एकचर (univariate) बहुपद के $\mathbb{F}_{2^m}^*$ में कोई मूल (roots) नहीं होते हैं, और यह प्रदर्शित करते हुए कि ये नए परिवार मूल परिवारों से और एक-दूसरे से विकर्ण (diagonal) और CCZ तुल्यता के अंतर्गत भिन्न हैं।

मूल लेखक: Daniele Bartoli, Pantelimon Stanica

प्रकाशित 2026-03-17

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CC0 1.0

मूल लेखक: Daniele Bartoli, Pantelimon Stanica

मूल पेपर CC0 1.0 (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/) के तहत सार्वजनिक डोमेन को समर्पित है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक मास्टर लॉकस्मिथ (ताला बनाने वाले विशेषज्ञ) हैं जो एक उच्च-सुरक्षा वाली तिजोरी के लिए एक आदर्श ताला डिजाइन करने की कोशिश कर रहे हैं। क्रिप्टोग्राफी की दुनिया में, यह "ताला" एक गणितीय फलन (function) है जिसे APN परम्यूटेशन (Permutation) कहा जाता है।

APN (Almost Perfect Nonlinear): इसका अर्थ है कि यह एक विशिष्ट प्रकार के हमले, जिसे डिफरेंशियल क्रिप्टैनालिसिस (differential cryptanalysis) कहा जाता है, के प्रति अविश्वसनीय रूप से प्रतिरोधी है। यदि कोई चोर चाबी को थोड़ा हिलाकर यह देखने की कोशिश करता है कि ताला कैसे प्रतिक्रिया देता है, तो प्रतिक्रिया इतनी अराजक और अप्रत्याशित होती है कि वे संयोजन (combination) का पता नहीं लगा पाते।
परम्यूटेशन (Permutation): इसका अर्थ है कि ताला उत्क्रमणीय (reversible) है। यदि आप एक चाबी डालते हैं, तो आपको एक अद्वितीय आउटपुट मिलता है, और आप मूल चाबी प्राप्त करने के लिए इसे हमेशा वापस घुमा सकते हैं। कोई भी दो चाबियाँ एक ही परिणाम नहीं देतीं, और कोई भी परिणाम खाली नहीं छोड़ा जाता।

समूहों (dimensions) के सम संख्या वाले मामलों में, ऐसे ताले खोजना जो दोनों रूप से पूर्ण हों (APN और परम्यूटेशन), लंबे समय तक घास के ढेर में सुई खोजने जैसा रहा है। केवल कुछ विशिष्ट, "भाग्यशाली" ताले ही ज्ञात थे।

इस शोध पत्र की कहानी

दो शोधकर्ताओं, डैनिएल बार्टोली (Daniele Bartoli) और पेंटेलिमोन स्टैनिका (Pantelimon Stănică) ने इन पूर्ण तालों के दो अनंत परिवारों (infinite families) की खोज की है। उन्होंने केवल एक नहीं खोजा; उन्होंने एक पूरा कारखाना खोज निकाला है जो इन्हें बना सकता है।

यहाँ उनकी खोज का सरल उपमाओं का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. तालों की "रेसिपी" (विधि)

लेखक तीन चरों (variables) वाले एक विशिष्ट गणितीय ढांचे पर काम कर रहे हैं (मान लीजिए कि ये x, y, और z हैं)। इसे एक कॉम्बिनेशन लॉक के तीन डायल समझें।

उन्होंने अन्य वैज्ञानिकों (ली और केलीस्की) द्वारा पहले से खोजे गए दो "भाग्यशाली" तालों को लिया और पूछा, "क्या होगा अगर हम सामग्री (ingredients) में थोड़ा बदलाव करें?"

मूल रेसिपी में, सामग्री (गुणांक/coefficients) निश्चित संख्याएँ थीं (जैसे हमेशा 1 का उपयोग करना)। लेखकों ने पूछा, "क्या होगा अगर हम सामग्रियों को एक विशिष्ट समूह से कोई भी संख्या होने दें?"

उन्होंने दो नई रेसिपी परिवार बनाए, जिन्हें उन्होंने फैमिली G (Family G) और फैमिली H (Family H) नाम दिया।

फैमिली G: तीन डायलों का एक विशिष्ट मिश्रण जिसमें एक "जादुई संख्या" (मान लीजिए $a$ ) शामिल है।
फैमिली H: एक थोड़ा अलग मिश्रण, जिसमें भी जादुई संख्या $a$ का उपयोग किया गया है।

2. "जादुई संख्या" का परीक्षण

बड़ा सवाल यह है कि: कौन सी मान (values) $a$ वास्तव में एक पूर्ण ताला बनाती है?

यदि आप गलत $a$ चुनते हैं, तो ताला जाम हो सकता है (यह एक परम्यूटेशन नहीं होगा) या इसे तोड़ना आसान हो सकता है (यह APN नहीं होगा)।

लेखकों ने एक शानदार शॉर्टकट खोजा। हर $a$ का परीक्षण करने के लिए ताले को तोड़ने की कोशिश करने के बजाय, उन्होंने एक एकल, सरल परीक्षण खोजा:

उन्होंने $a$ को शामिल करते हुए एक विशिष्ट बहुपद समीकरण (polynomial equation - एक गणितीय सूत्र) लिखा।
नियम: यदि इस समीकरण के आपके उपयोग किए जा रहे संख्या तंत्र में कोई समाधान नहीं (no roots) है, तो $a$ एक अच्छी जादुई संख्या है।
यदि इस समीकरण का कोई समाधान होता है, तो ताला टूटा हुआ या असुरक्षित है।

यह एक मेटल डिटेक्टर होने जैसा है जो केवल तभी बीप करता है जब ताला खराब हो। यदि यह शांत रहता है, तो आप जानते हैं कि आपके पास एक पूर्ण, सुरक्षित ताला है।

3. "दोधारी तलवार"

यहाँ सबसे दिलचस्प हिस्सा है। लेखकों ने सिद्ध किया कि इन विशिष्ट परिवारों के लिए, परम्यूटेशन होना और APN होना एक ही बात है।

आमतौर पर, एक ताला उत्क्रमणीय (reversible) लेकिन असुरक्षित हो सकता है, या सुरक्षित लेकिन जाम हो सकता है।
इन परिवारों में, यदि ताला उत्क्रमणीय है, तो वह स्वतः ही सुरक्षित है। यदि वह सुरक्षित है, तो वह स्वतः ही उत्क्रमणीय है। आप एक ही परीक्षण से दोनों तरफ की जीत प्राप्त करते हैं।

4. क्या ये नए ताले हैं या पुराने तालों का भेष बदला हुआ रूप?

क्रिप्टोग्राफी में, दो तालों को "एक ही" माना जाता है यदि आप आसानी से एक को दूसरे में बदल सकें (जैसे कार को फिर से पेंट करना या चाबी का आकार थोड़ा बदलना)। इसे तुल्यता (equivalence) कहा जाता है।

लेखकों ने पूछा: "क्या ये नए फैमिली ली-केलीस्की (Li-Kaleyski) ताले हैं जो केवल एक मुखौटा पहने हुए हैं?"

उन्होंने सिद्ध किया:

ज्यादातर नहीं: लगभग सभी "अच्छे" जादुई नंबरों $a$ के लिए, ये नए ताले वास्तव में नए हैं। वे पुराने वाले से संरचनात्मक रूप से भिन्न हैं।
अपवाद: केवल तभी जब जादुई संख्या $a$ एक बहुत ही विशिष्ट, दुर्लभ स्थिति को पूरा करती है (गणितीय रूप से, $a^{q^2+q+1} = 1$ ), तो नया ताला पुराने ताले का बदला हुआ रूप बन जाता है।
फैमिली G बनाम फैमिली H: उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि फैमिली G का एक ताला कभी भी फैमिली H के ताले में परिवर्तित नहीं किया जा सकता। वे पूर्ण तालों की दो पूरी तरह से अलग प्रजातियां हैं।

5. यह क्यों मायने रखता है?

अधिक विकल्प: इससे पहले, हमारे पास इन पूर्ण तालों के लिए बहुत कम विकल्प थे। अब, हमारे पास एक अनंत आपूर्ति है।
बेहतर सुरक्षा: कई, गैर-तुल्य (non-equivalent) ताले होने से हैकर्स के लिए एक सार्वभौमिक "मास्टर की" (master key) खोजना बहुत कठिन हो जाता है जो उन सभी को तोड़ सके।
मात्रात्मक गारंटी: लेखकों ने केवल यह नहीं कहा कि "वे मौजूद हैं।" उन्होंने कितने अच्छे जादुई नंबर मौजूद हैं, इसका अनुमान लगाने के लिए एक गणितीय सूत्र भी दिया। बड़े सिस्टमों के लिए, इनकी संख्या हजारों में है।

निचोड़ (Bottom Line)

इस शोध पत्र को एक कारखाने के ब्लूप्रिंट के रूप में देखें।

हमारे पास दो असेंबली लाइनें हैं (फैमिली G और फैमिली H)।
हमारे पास एक गुणवत्ता नियंत्रण स्कैनर (रूट टेस्ट) है जो तुरंत बता देता है कि "जादुई नंबरों" का कौन सा बैच एक पूर्ण ताला बनाएगा।
हम जानते हैं कि लगभग हर नंबर जो स्कैनर पास करता है, वह एक बिल्कुल नया, अद्वितीय और अत्यंत सुरक्षित ताला बनाता है जो पहले कभी नहीं देखा गया है।

यह क्रिप्टोग्राफी की एक बड़ी पहेली को हल करता है, जो भविष्य के डिजिटल सुरक्षा प्रणालियों के लिए सुरक्षित बिल्डिंग ब्लॉक्स का एक विशाल नया क्षेत्र प्रदान करता है।

यहाँ "Infinite families of APN permutations in constrained trivariate classes over $\mathbb{F}_{2^m}$ " (डैनियल बार्टोली और पेंटेलिमोन स्टैनिका द्वारा लिखित) का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण और संदर्भ

परिमित क्षेत्रों (finite fields) पर Almost Perfect Nonlinear (APN) क्रमचय (permutations) का निर्माण क्रिप्टोग्राफी और कोडिंग थ्योरी में एक केंद्रीय चुनौती है। APN फलन विभेदात्मक क्रिप्टोएनालिसिस (differential cryptanalysis) के विरुद्ध इष्टतम प्रतिरोध प्रदान करते हैं, और जब वे क्रमचय भी होते हैं, तो वे आदर्श S-boxes के रूप में कार्य करते हैं। हालाँकि, ऐसे फलनों का निर्माण अत्यंत कठिन है; केवल कुछ ही अनंत परिवार ज्ञात हैं, और प्रत्येक सम आयाम (even dimension) में उनकी उपस्थिति एक खुला प्रश्न बना हुआ है।

ली और कालेस्की (2024) के हालिया कार्य ने आयाम 9 में पाए गए दो छिटपुट द्विघातीय (quadratic) APN क्रमचयों को $\mathbb{F}_{2^{3m}}$ पर त्रिविचर (trivariate) फलनों के अनंत परिवारों में सामान्यीकृत किया, जहाँ अदिश गुणांक (scalar coefficients) $\mathbb{F}_2$ तक सीमित थे।

मुख्य समस्या: यह शोध पत्र उन परिवारों के सामान्यीकरण की जांच करता है जहाँ अदिश गुणांक को मुक्त रूप से मल्टीप्लिकेटिव ग्रुप $\mathbb{F}_{2^m}^*$ के रूप में चर (range) करने की अनुमति दी गई है। लेखक निम्नलिखित उद्देश्यों को लक्षित करते हैं:

उन शर्तों का लक्षण वर्णन करना जिनके तहत ये सामान्यीकृत फलन क्रमचय और APN होते हैं।
वैध मापदंडों (parameters) की संख्या को मापना।
मौजूदा परिवारों (विशेष रूप से ली-कालेस्की प्रतिनिधियों) के सापेक्ष इन नए फलनों के तुल्यता वर्गों (equivalence classes) को निर्धारित करना।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक बीजगणितीय ज्यामिति (algebraic geometry), परिमित क्षेत्र सिद्धांत (finite field theory), और बहुपद विश्लेषण (polynomial analysis) के संयोजन का उपयोग करते हैं।

त्रिवचर परिभाषाएँ (Trivariate Definitions): दो फलन परिवारों $G_a, H_a: \mathbb{F}_{2^m}^3 \to \mathbb{F}_{2^m}^3$ $G_{a}, H_{a} : F_{2^{m}}^{3} \to F_{2^{m}}^{3}$ को परिभाषित किया गया है, जहाँ $q = 2^i$ $q = 2^{i}$ है और $\gcd(i, m) = 1$ $g cd (i, m) = 1$ तथा $m$ $m$ विषम (odd) है।
- $G_a(x, y, z) = (x^{q+1} + ax^qz + yz^q, \ x^qz + y^{q+1}, \ xy^q + ay^qz + z^{q+1})$
- $H_a(x, y, z) = (x^{q+1} + axy^q + yz^q, \ xy^q + z^{q+1}, \ x^qz + y^{q+1} + ay^qz)$
मूल-सिद्धांत आधारित लक्षण वर्णन (Root-Theoretic Characterization): लेखक इन बहुचर क्रमचय और APN समस्याओं को $\mathbb{F}_{2^m}$ पर एकचर बहुपदों (univariate polynomials) के अध्ययन में कम करते हैं। वे सिद्ध करते हैं कि क्रमचय गुण और APN गुण इन परिवारों के लिए तुल्य हैं और दोनों ही $\mathbb{F}_{2^m}^*$ में विशिष्ट बहुपदों के मूलों (roots) की अनुपस्थिति द्वारा नियंत्रित होते हैं।
बीजगणिक ज्यामिति उपकरण: "अच्छे" मापदंडों (वे जो APN क्रमचय देते हैं) को गिनने के लिए, लेखक Lang–Weil bound और Hasse–Weil bound का उपयोग करते हैं। वे पैरामीटर मैपिंग फंक्शन $g(u) = \frac{u^d+1}{u}$ (जहाँ $d = q^2+q+1$ ) से जुड़े कोलिजन कर्व (collision curve) का विश्लेषण करके इमेज के आकार और उसके पूरक (अच्छे मापदंडों का सेट) का अनुमान लगाते हैं।
तुल्यता विश्लेषण (Equivalence Analysis): शोध पत्र CCZ-तुल्यता (Carlet–Charpin–Zinoviev) की जांच करता है। शून्य पर शून्य होने वाले द्विघातीय APN फलनों के लिए, लेखक हाल के परिणामों (शी एट अल., 2025) का लाभ उठाते हुए दिखाते हैं कि CCZ-तुल्यता EL-तुल्यता (Extended Linear) में बदल जाती है, जो आगे इन विशिष्ट त्रिवचर रूपों के लिए डायगोनल तुल्यता (diagonal equivalence) में बदल जाती है। यह उन्हें इन विशिष्ट त्रिवचर रूपों के लिए बीजगणिक प्रणालियों का उपयोग करके गैर-तुल्यता सिद्ध करने की अनुमति देता है।

3. प्रमुख योगदान और परिणाम

A. APN क्रमचयों का लक्षण वर्णन

यह शोध पत्र स्थापित करता है कि दोनों परिवारों $G_a$ और $H_a$ के लिए, निम्नलिखित बातें तुल्य हैं:

फलन एक क्रमचय है।
फलन APN है।
एक विशिष्ट संबद्ध एकचर बहुपद के $\mathbb{F}_{2^m}^*$ में कोई मूल नहीं है।

$G_a$ के लिए, शर्त यह है कि $Q_a(T) = T^{q^2+q+1} + aT + 1$ के $\mathbb{F}_{2^m}$ में कोई मूल नहीं है।
$H_a$ के लिए, शर्त एक बहुपद $P'_a(T)$ से संबंधित है जो दिखाया गया है कि $Q_a(T)$ के मूल-तुल्य (root-equivalent) है।
निहितार्थ: मापदंडों का समान सेट $a$ दोनों परिवारों के लिए APN क्रमचयों को जन्म देता है।

B. अस्तित्व और मात्रात्मक सीमाएँ (Existence and Quantitative Bounds)

निम्नतम सीमा (Lower Bound): लेखक $\mathbb{F}_{2^m}^*$ में "अच्छे" मापदंडों $a$ की संख्या के लिए एक मात्रात्मक निम्नतम सीमा प्राप्त करते हैं। मान लीजिए $d = q^2+q+1$ । अच्छे मापदंडों की संख्या कम से कम है:
$\frac{2^m + 1 - (d-1)(d-2)2^{m/2} - d}{d}$
यह किसी भी विषम $m$ के लिए APN क्रमचयों के अनंत परिवारों के अस्तित्व को सिद्ध करता है।
बाइनरी केस ( $q=2$ ): जब $q=2$ होता है, तो स्थिति सरल हो जाती है। लेखक सिद्ध करते हैं कि $a=1$ एक "अच्छा" मापदंड है (जो APN क्रमचय देता है) यदि और केवल यदि $7 \nmid m$ । यह ली-कालेस्की परिवार को एक विशेष मामले के रूप में पुनः प्राप्त करता है।

C. गैर-तुल्यता परिणाम (Non-Equivalence Results)

शोध पत्र इन परिवारों की नवीनता के संबंध में मजबूत परिणाम प्रदान करता है:

ली-कालेस्की प्रतिनिधि के साथ डायगोनल तुल्यता: $G_a$ $G_{a}$ (या $H_a$ $H_{a}$ ), ली-कालेस्की प्रतिनिधि ( $G_1$ $G_{1}$ या $H_1$ $H_{1}$ ) के डायगोनली तुल्य है यदि और केवल यदि $a^{q^2+q+1} = 1$ $a^{q^{2} + q + 1} = 1$ ।
- $q=2$ और $7 \nmid m$ के लिए, एकमात्र समाधान $a=1$ है। अतः, प्रत्येक अन्य अच्छा मापदंड $a \neq 1$ एक ऐसा APN क्रमचय उत्पन्न करता है जो ली-कालेस्की परिवार के CCZ-तुल्य नहीं है।
पारस्परिक गैर-तुल्यता: $m > 4, m \neq 6, 7 \nmid m$ $m > 4, m \neq = 6, 7 ∤ m$ के लिए, $G_a$ $G_{a}$ -परिवार का कोई भी सदस्य $H_b$ $H_{b}$ -परिवार (समान $q$ $q$ के लिए) के किसी भी सदस्य के CCZ-तुल्य नहीं है।
- यह सिद्ध करता है कि दोनों परिवार वास्तव में नए, पारस्परिक रूप से अतुल्य APN क्रमचयों के स्रोत प्रदान करते हैं।

4. महत्व

ज्ञात परिवारों का विस्तार: यह शोध पत्र एक मुक्त पैरामीटर $a$ के साथ स्पोरैडिक उदाहरणों को अनंत परिवारों में सामान्यीकृत करके ज्ञात APN क्रमच्यों के परिदृश्य का महत्वपूर्ण विस्तार करता है।
एकचर समस्याओं में कमी: यह प्रदर्शित करता है कि जटिल बहुचर APN/क्रमचय समस्याओं को विशिष्ट एकचर बहुपदों की 'मूल-रहितता' (root-freeness) की जाँच करने में बदला जा सकता है, जो कि एक अधिक सुलभ बीजगणिक समस्या है।
नए CCZ वर्ग: यह सिद्ध करके कि अधिकांश पैरामीटर ज्ञात परिवारों (और एक-दूसरे) के प्रति CCZ-अतुल्य फलन उत्पन्न करते हैं, यह शोध पत्र विजातीय (distinct) क्रिप्टोग्राफिक प्रिमिटिव्स के अस्तित्व की पुष्टि करता है।
कार्यप्रणालीगत प्रगति: अच्छे मापदंडों को गिनने के लिए बीजगणिक ज्यामिति (Lang–Weil/Hasse–Weil bounds) का अनुप्रयोग, बाधित त्रिवचर वर्गों में नए निर्माणों के लिए एक मजबूत ढांचा प्रदान करता है।

5. खुले प्रश्न (Open Problems)

लेखक कई खुले प्रश्नों के साथ समाप्त करते हैं:

उस स्थिति के लिए अच्छे मापदंडों का स्पष्ट लक्षण वर्णन करना जहाँ $7 \mid m$ (जहाँ $a=1$ विफल रहता है)।
$m=3$ के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से पाए गए "Type I" क्रमचयों को अनंत परिवारों तक विस्तारित करना।
यह जांचना कि क्या सम आयाम $m$ के लिए भी इसी प्रकार के निर्माण मौजूद हैं।
इन $n$ -विचर (n-variate) निर्माणों ( $n > 3$ ) का सामान्यीकरण करना और यह निर्धारित करना कि क्या मूल-मानदंड (root-criterion) दृष्टिकोण सामान्यीकृत होता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र APN क्रमचयों के एक नए वर्ग के लिए एक कठोर बीजगणिक आधार प्रदान करता है, उनके अस्तित्व को सिद्ध करता है, उनकी प्रचुरता को मापता है, और सभी पहले से ज्ञात अनंत परिवारों से उनकी विशिष्टता स्थापित करता है।