Infinite families of APN permutations in constrained trivariate classes over $\mathbb{F}_{2^m}$

这是一篇关于有限域上几乎完美非线性（APN）置换构造的学术论文的详细技术总结。该论文由 Daniele Bartoli 和 Pantelimon St˘anic˘a 撰写，主要研究了在约束三元类中构造无限族 APN 置换的问题。

1. 研究背景与问题 (Problem)

• 背景：在有限域 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上构造具有简单代数结构的多变量置换多项式是密码学和编码理论中的核心难题。APN 函数（Almost Perfect Nonlinear）具有最优的微分均匀性（为 2），是抵抗差分密码分析的理想 S 盒。如果 APN 函数同时是置换（Permutation），则其应用价值更高。
• 现状：构造 APN 置换非常困难，已知的无限族很少。Li 和 Kaleyski (2024) 最近将两个在 $m=9$ 维发现的偶然二次 APN 置换推广到了 $\mathbb{F}_{2^{3m}}$ 上的无限族三元函数，但其系数仅限于 $\mathbb{F}_2$。
• 核心问题：本文旨在将 Li-Kaleyski 的工作推广，允许标量系数 $a$ 在 $\mathbb{F}_{2^m}^*$ 中自由取值，研究由此产生的参数化族 $G_a$ 和 $H_a$ 的置换性和 APN 性质，并分析它们与已知构造的等价性。

2. 方法论 (Methodology)

论文采用了代数几何、有限域理论和组合数学相结合的方法：

1. 多项式根判定法：将三元函数的置换性和 APN 性质转化为单变量多项式在 $\mathbb{F}_{2^m}^*$ 中无根的条件。
2. 代数几何工具：
   • 利用 Lang-Weil 界 (Theorem 1.1) 和 Aubry-McGuire-Rodier 引理 (Lemma 1.2) 来估计代数簇上的有理点数量，从而证明好参数（Good parameters）的存在性。
   • 分析由参数 $a$ 定义的有理函数 $g(u) = \frac{u^d+1}{u}$ 的像集，其中 $d=q^2+q+1$。
   • 利用 Hasse-Weil 界 对碰撞曲线（Collision curve）的点数进行下界估计，从而导出好参数数量的定量下界。
3. 等价性分析：
   • 通过比较系数，研究对角等价（Diagonal Equivalence）条件。
   • 利用 Shi 等人 (2025) 的单项式限制定理（Monomial Restriction Theorem），证明在特定条件下，对角非等价蕴含 CCZ 非等价。
   • 对于二次 APN 函数，利用已知结论（CCZ $\Leftrightarrow$ EA $\Leftrightarrow$ EL），简化等价性判定。

3. 主要贡献与结果 (Key Contributions & Results)

3.1 第一族函数 $G_a$ 的刻画

定义函数 $G_a: \mathbb{F}_{2^{3m}}^3 \to \mathbb{F}_{2^{3m}}^3$：
$$G_a(x, y, z) = (x^{q+1} + ax^qz + yz^q, x^qz + y^{q+1}, xy^q + ay^qz + z^{q+1})$$
其中 $q=2^i, \gcd(i, m)=1, m$ 为奇数，$a \in \mathbb{F}_{2^m}^*$。

• 等价性定理 (Theorem 2.7)：证明了 $G_a$ 是置换当且仅当 $G_a$ 是 APN，且这两个性质都等价于多项式 $Q_a(T) = T^{q^2+q+1} + aT + 1$ 在 $\mathbb{F}_{2^m}$ 中无根。
• 参数存在性 (Theorem 2.12)：利用 Hasse-Weil 界，推导了好参数 $a$ 的数量的定量下界：
  $$|B_{m,q}| \ge 2^m + 1 - \frac{(d-1)(d-2)2^{m/2} - d}{d}$$
  其中 $d = q^2+q+1$。这意味着对于任意满足条件的奇数 $m$，都存在无限多个好参数。
• 二进制特例：当 $q=2$ 且 $7 \nmid m$ 时，证明了 $a=1$ 是好参数，从而恢复了 Li-Kaleyski 族。

3.2 第二族函数 $H_a$ 的刻画

定义函数 $H_a$：
$$H_a(x, y, z) = (x^{q+1} + axy^q + yz^q, xy^q + z^{q+1}, x^qz + y^{q+1} + ay^qz)$$

• 根等价性 (Corollary 3.4)：证明了 $H_a$ 是 APN 置换的充要条件与 $G_a$ 完全相同，即多项式 $P'_a(T)$（或等价的 $Q_a(T)$）在 $\mathbb{F}_{2^m}$ 中无根。
• 结论：同一组参数 $a$ 同时使 $G_a$ 和 $H_a$ 成为 APN 置换。

3.2 等价性与新异性 (Non-equivalence Results)

• 与 Li-Kaleyski 族的等价性 (Theorem 4.2)：
  • $G_a$ 对角等价于 Li-Kaleyski 代表元 $G_1$ 当且仅当 $a^{q^2+q+1} = 1$。
  • 当 $m > 4, m \neq 6, 7 \nmid m$ 时，对角非等价蕴含 CCZ 非等价。
  • 推论：当 $q=2$ 且 $7 \nmid m$ 时，除了 $a=1$ 以外的所有好参数 $a$ 生成的 APN 置换均与 Li-Kaleyski 族 CCZ 不等价。
• 族间非等价性 (Theorem 4.5)：
  • 在相同 $q$ 下，对于 $m > 4, m \neq 6, 7 \nmid m$，$G_a$ 族中的任何成员与 $H_b$ 族中的任何成员均不 CCZ 等价。
  • 这证明了 $G$ 和 $H$ 是两个本质上不同且互不等价的无限 APN 置换源。

4. 意义与影响 (Significance)

1. 理论突破：成功将 APN 置换的构造从特定的系数域（$\mathbb{F}_2$）推广到整个扩展域 $\mathbb{F}_{2^m}^*$，极大地丰富了 APN 置换的参数空间。
2. 定量保证：提供了好参数数量的显式下界，从理论上保证了在任意满足条件的奇数维数 $3m$ 中，都存在大量的 APN 置换。
3. 新类发现：证明了 $G_a$ 和 $H_a$ 不仅包含已知的 Li-Kaleyski 族（作为 $a=1$ 的特例），还包含大量与之 CCZ 不等价的新函数，且 $G$ 族和 $H$ 族之间也是互不等价的。这解决了寻找更多互不等价 APN 置换的难题。
4. 方法创新：展示了如何利用代数几何中的曲线有理点计数和根排除技术来解决高维多项式函数的置换性和 APN 性质判定问题，为未来研究提供了强有力的工具。

5. 开放问题 (Open Problems)

论文最后提出了几个未解决的问题，包括：

• 当 $7 \mid m$ 时，如何显式构造 $a \neq 1$ 的好参数？
• $m=3$ 时发现的 Type I 置换是否能推广到更大的 $m$？
• 偶数维 $m$ 的情况（目前的迹判据失效）是否也有类似的刻画？
• 能否将此类构造推广到 $n > 3$ 变量的情形？

总结：该论文通过深入的代数几何分析，建立了一套完整的理论框架，证明了在 $\mathbb{F}_{2^{3m}}$ 上存在两个全新的、互不等价的无限族 APN 置换，并给出了参数选择的精确判据和数量估计，显著推进了有限域上 APN 置换构造的研究。