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Multivariate Gaussian process emulation for multifidelity computer models with high-dimensional spatial outputs

यह शोध पत्र मल्टीफिडेलिटी कंप्यूटर मॉडलों में उच्च-आयामी स्थानिक आउटपुट के लिए एक मल्टीवेरिएट गॉसियन प्रोसेस एमुलेशन फ्रेमवर्क प्रस्तुत करता है, जो गणनात्मक रूप से कुशल और सटीक स्टॉर्म सर्ज जोखिम मूल्यांकन को सक्षम करने के लिए ऑटोरेग्रेसिव कोक्रिगिंग पर आधारित दो नवीन क्रॉस-कोवेरिएंस संरचनाओं का उपयोग करता है।

मूल लेखक: Cyrus S. McCrimmon, Pulong Ma

प्रकाशित 2026-03-31

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Cyrus S. McCrimmon, Pulong Ma

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशिष्ट तटीय शहर में तूफान के दौरान पानी का स्तर ठीक कितना ऊपर तक बढ़ेगा, इसका सटीक अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास आपकी मदद के लिए दो उपकरण हैं:

"तेज़ और मोटा" (Fast & Rough) टूल: एक सरल कंप्यूटर मॉडल जो मिनटों में चलता है। यह तेज़ है, लेकिन यह तट से टकराने वाली विशाल लहरों जैसी चीज़ों को नज़रअंदाज़ कर देता है, इसलिए यह पूरी तरह से सटीक नहीं है।
"धीमा और पूर्ण" (Slow & Perfect) टूल: एक अत्यंत विस्तृत कंप्यूटर मॉडल जिसमें हर लहर, हवा के हर बदलाव और रेत के टीलों को शामिल किया गया है। यह अविश्वसनीय रूप से सटीक है, लेकिन इसे एक बार चलाने में सुपरकंप्यूटर के कई दिन लग जाते हैं।

सुरक्षा योजनाएं बनाने के लिए (जैसे समुद्र तट की दीवारें कहाँ बनानी हैं), आपको विभिन्न तूफान परिदृश्यों का परीक्षण करने के लिए इस "धीमे और पूर्ण" टूल को हजारों बार चलाने की आवश्यकता है। लेकिन आप समय या पैसा खर्च नहीं कर सकते।

समाधान: "स्मार्ट ट्रांसलेटर" (द एम्यूलेटर)
यह शोध पत्र एक चतुर सांख्यिकीय ट्रिक पेश करता है जिसे एम्यूलेटर (Emulator) कहा जाता है। एक "स्मार्ट ट्रांसलेटर" के रूप में सोचें जो "धीमे और पूर्ण" टूल के बजाय "तेज़ और मोटे" टूल से सीखता है ताकि यह अनुमान लगाया जा सके कि "धीमा और पूर्ण" टूल क्या कहता, बिना वास्तव में उस धीमे टूल को चलाए।

लेखक, साइरस मैक्रमोन और पुलोंग मा ने महसूस किया कि एक घर के लिए पानी के स्तर की भविष्यवाणी करना आसान है, लेकिन एक साथ 9,000 घरों के लिए भविष्यवाणी करना एक दुःस्वप्न है। पड़ोसी घरों के पानी के स्तर यादृच्छिक (random) नहीं होते; यदि घर A में पानी ऊँचा है, तो इसकी संभावना है कि बगल वाले घर B में भी पानी ऊँचा होगा। इसे स्थानिक निर्भरता (spatial dependence) कहा जाता है।

उन्होंने दो बड़ी समस्याओं को हल किया:

गति (Speed): हम 9,000 स्थानों को बिना गणित को बहुत लंबा खींचे कैसे संभालें?
सटीकता (Accuracy): हम यह कैसे सुनिश्चित करें कि केवल एक घर के लिए नहीं, बल्कि पूरे पड़ोस के लिए हमारी "अनिश्चितता" (हमारी गलती होने का अनुमान) सही है?

वे इन दो समस्याओं को हल करने के लिए दो अलग-अलग "स्मार्ट ट्रांसलेटर्स" का प्रस्ताव करते हैं:

1. "पड़ोस की निगरानी" दृष्टिकोण (SEP मॉडल)

कल्पना कीजिए कि आप एक लंबी सड़क के हर घर के तापमान का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं।

विचार: आप यह मान लेते हैं कि घर 10 का तापमान मुख्य रूप से घर 9 पर निर्भर करता है, जो घर 8 पर निर्भर है, और इसी तरह। आपको घर 10 का अनुमान लगाने के लिए घर 1 का तापमान जानने की आवश्यकता नहीं है; आपको बस उसके निकटतम पड़ोसियों की आवश्यकता है।
रूपक (Metaphor): यह एक डोमिनो प्रभाव (domino effect) की तरह है। यदि आप जानते हैं कि पहले कुछ डोमिनो गिरते हैं, तो आप हर एक की जाँच किए बिना बाकी लाइन की भविष्यवाणी कर सकते हैं।
यह कैसे काम करता है: लेखक एक गणितीय ट्रिक (जिसे "स्पार्स चोलेस्की प्रायर" कहा जाता है) का उपयोग करते हैं जो मॉडल को केवल डेटा में "निकटतम पड़ोसियों" को देखने के लिए मजबूर करती है। यह गणित को बहुत तेज़ बनाता है क्योंकि यह दूर के, अप्रासंगिक संबंधों को अनदेखा कर देता है।
चुनौती: यह मान लेता है कि पड़ोसियों के बीच का संबंध हर जगह एक जैसा है (जैसे एक बिल्कुल सीधी सड़क)। यह अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन कभी-कभी "सड़क" घुमावदार या ऊबड़-खाबड़ हो सकती है।

2. "ऑर्केस्ट्रा कंडक्टर" दृष्टिकोण (NONSEP मॉडल)

अब कल्पना कीजिए कि तूफान का उछाल (storm surge) एक सीधी रेखा नहीं है, बल्कि एक जटिल सिम्फनी (symphony) है।

विचार: बजाय घर-दर-घर देखने के, यह मॉडल तूफान के "मुख्य विषयों" (main themes) को खोजता है। शायद पहला "विषय" पानी की कुल ऊंचाई है, और दूसरा "विषय" यह है कि पानी बाईं से दाईं ओर कैसे झुकता है।
रूपक: तूफान के उछाल को एक गीत के रूप में सोचें। "तेज़ और मोटा" टूल गीत का एक सरल संस्करण गाता है। "धीमा और पूर्ण" टूल एक जटिल संस्करण गाता है। लेखक प्रिंसिपल कंपोनेंट एनालिसिस (PCA) का उपयोग करके उस जटिल गीत को उसके मुख्य नोट्स ("आधार कार्यों" या basis functions) में तोड़ने के लिए उपयोग करते हैं।
यह कैसे काम करता है: मॉडल सीखता है कि केवल उन मुख्य नोट्स के लिए "तेज़" संस्करण का "धीमे" संस्करण से संबंध कैसे है। केवल उन मुख्य नोट्स को अनुवादित करना 9,000 नोट्स वाले सिम्फनी की तुलना में बहुत आसान है। एक बार जब यह नोट्स को अनुवादित कर लेता है, तो यह पूरे 9,000 नोट्स वाले गीत को फिर से बनाता है।
लाभ: यह अधिक लचीला है। यह "बंपी सड़कों" और जटिल पैटर्न को संभाल सकता है जहाँ पड़ोसी केवल अपने ठीक बगल वाले पड़ोसी पर निर्भर नहीं होते हैं।

यह क्यों मायने रखता है?

शोध पत्र ने एक वास्तविक दुनिया की समस्या पर इन दोनों विधियों का परीक्षण किया: केप कोरल, फ्लोरिडा में तूफान के उछाल की भविष्यवाणी करना।

परिणाम: दोनों विधियाँ तेज़ और सटीक थीं। हालाँकि, "ऑर्थेस्ट्रा कंडक्टर" (NONSEP) दृष्टिकोण तूफान के जटिल, वास्तविक दुनिया के पैटर्न को पकड़ने में थोड़ा बेहतर था।
बड़ी जीत: सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्ष जोखिम मूल्यांकन (Risk Assessment) के बारे में था। यदि आप यह नज़रअंदाज़ करते हैं कि घर एक-दूसरे से कैसे जुड़े हुए हैं (स्थानिक निर्भरता), तो आपकी सुरक्षा अनुमान गलत होंगे।
- यदि आप 9,000 घरों को स्वतंत्र मानते हैं, तो आपको लग सकता है कि जोखिम कम है।
- लेकिन क्योंकि पानी एक साथ बढ़ता है, इसलिए पूरे शहर के लिए कुल जोखिम वास्तव में बहुत अधिक होता है।
- ये नए मॉडल उस "समूह जोखिम" (group risk) की सही गणना करते हैं, जिससे FEMA और इंजीनियरों को बेहतर सुरक्षा प्रणालियाँ बनाने में मदद मिलती है।

संक्षेप में

लेखकों ने एक गणितीय शॉर्टकट बनाया है जो हमें महंगे, धीमे कंप्यूटर मॉडलों के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए सस्ते, तेज़ कंप्यूटर मॉडलों का उपयोग करने देता है। उन्होंने यह करके किया कि तूफान के उछाल जुड़े हुए होते हैं (डोमिनो या एक गीत की तरह) और उन कनेक्शनों को मैप करने के दो अलग-अलग तरीके बनाए। यह वैज्ञानिकों को हजारों "क्या होगा अगर" (what-if) वाले तूफान परिदृश्यों को तेज़ी से चलाने की अनुमति देता है, जिससे तटीय शहरों को तूफानों से बचाने के लिए बेहतर डेटा मिलता है।

यहाँ मैक्रमोन और मा (McCrimmon and Ma) के शोध पत्र "Multivariate Gaussian process emulation for multifidelity computer models with high-dimensional spatial outputs" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र उन नियतात्मक कंप्यूटर मॉडलों (deterministic computer models) के लिए अनिश्चितता मात्रा निर्धारण (Uncertainty Quantification - UQ) की चुनौती को संबोधित करता है जो उच्च-आयामी स्थानिक आउटपुट (high-dimensional spatial outputs) उत्पन्न करते हैं।

संदर्भ: प्रेरित करने वाला अनुप्रयोग तूफान से उत्पन्न होने वाले लहरों (storm surge) के मॉडलिंग (ADCIRC और ADCIRC+SWAN सिम्युलेटर्स का उपयोग करके) के लिए है। ये मॉडल बड़े स्थानिक डोमेन (जैसे, हजारों ग्रिड बिंदु) पर भौतिक प्रक्रियाओं का अनुकरण करते हैं और उच्च निष्ठा (high fidelity) पर चलाने के लिए अत्यधिक गणनात्मक रूप से महंगे होते हैं।
बहु-निष्ठा परिवेश (Multifidelity Setting): सिम्युलेटर विभिन्न स्तरों की निष्ठा (सटीकता बनाम लागत) पर मौजूद होते हैं। लो-फिडेलिटी (low-fidelity) मॉडल तेज़ लेकिन कम सटीक होते हैं; हाई-फिडेलिटी (high-fidelity) मॉडल सटीक होते हैं लेकिन व्यापक UQ के लिए अत्यधिक महंगे होते हैं।
मुख्य चुनौती:
1. उच्च आयामीता (High Dimensionality): आउटपुट $N$ आकार के वेक्टर हैं (जैसे, $N \approx 9,000$ स्थानिक स्थान), जो मानक मल्टीवेरिएट गॉसियन प्रोसेस (GP) एमुलेशन को $O(N^3)$ लागत के कारण गणनात्मक रूप से अव्यावहारिक बना देते हैं।
2. स्थानिक निर्भरता (Spatial Dependence): पास के स्थानिक स्थानों पर आउटपुट सह-संबंधित (correlated) होते हैं। क्रॉस-कोवेरिएंस (cross-covariance) को अनदेखा करना गलत अनिश्चितता मात्रा निर्धारण की ओर ले जाता है, विशेष रूप से एक क्षेत्र पर भविष्यवाणियों को एकत्रित करते समय (जैसे, बाढ़ क्षेत्र के लिए औसत सर्ज की गणना करना)।
3. बहु-निष्ठा एकीकरण (Multifidelity Integration): एमुलेटर को उच्च-निष्ठा आउटपुट की कुशलतापूर्वक भविष्यवाणी करने के लिए प्रचुर लो-फिडेलिटी डेटा का लाभ उठाना चाहिए, जबकि सटीकता के स्वाभाविक क्रम को बनाए रखना चाहिए।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक ऑटोरेग्रेसिव कोक्रिगिंग (Autoregressive Cokriging) मॉडल (Kennedy & O'Hagan, 2000) पर आधारित एक बायेसियन मल्टीवेरिएट गॉसियन प्रोसेस फ्रेमवर्क प्रस्तावित करते हैं। वे उच्च-आयामी आउटपुट स्पेस को संभालने के लिए दो अलग-अलग क्रॉस-कोवेरिएंस संरचनाएं विकसित करते हैं: SEP (सेपरेबल) और NONSEP (नॉन-सेपरेबल)।

2.1 सामान्य ढांचा (General Framework)

मान लीजिए कि $y_t(x)$ इनपुट $x$ पर निष्ठा स्तर $t$ पर आउटपुट वेक्टर है। मॉडल एक ऑटोरेग्रेसिव संरचना मानता है:
$y_t(x) = \gamma_{t-1} y_{t-1}(x) + \delta_t(x)$
जहाँ $\gamma_{t-1}$ एक स्केल विसंगति पैरामीटर (scale discrepancy parameter) है, और $\delta_t(x)$ एक अवशेष प्रक्रिया (residual process) है जिसे मैट्रिक्स-वेरिएट गॉसियन प्रोसेस (MVGP) के रूप में मॉडल किया गया है।

2.2 SEP ARCokrig (सेपरेबल दृष्टिकोण)

संरचना: यह मानता है कि इनपुट और आउटपुट के बीच सह-प्रसरण विभाज्य (separable) है: $\text{Cov}(y) = R \otimes \Sigma$ , जहाँ $R$ इनपुट सहसंबंध मैट्रिक्स है और $\Sigma$ $N \times N$ आउटपुट क्रॉस-कोवेरिएंस मैट्रिक्स है।
नवाचार: उच्च $N$ को संभालने के लिए, लेखक $\Sigma$ का सीधे अनुमान नहीं लगाते हैं। इसके बजाय, वे स्पार्स चोलेस्की अपघटन (sparse Cholesky decomposition) का उपयोग करके प्रिसिजन मैट्रिक्स $\Omega = \Sigma^{-1}$ को मॉडल करते हैं: $\Omega = (I - A)^\top D^{-1} (I - A)$ ।
स्पर्सिटी प्रेरण (Sparsity Induction): स्थानिक स्थानों को क्रमबद्ध करके (जैसे, अधिकतम-न्यूनतम दूरी के माध्यम से), वे मानते हैं कि $j$ -वाँ आउटपुट अपने $p$ निकटतम पूर्ववर्तियों ( $j-1, \dots, j-p$ ) के एक छोटे समूह पर निर्भर करता है। यह मैट्रिक्स $A$ में स्पर्सिटी (विरलता) उत्पन्न करता है।
अनुमान (Inference): यह क्रॉस-कोवेरिएंस के अनुमान को $N$ स्पार्स ऑटोरेग्रेसिव रिग्रेशन्स की एक श्रृंखला में बदल देता है। चोलेस्की कारकों (स्पार्स नॉर्मल और इनवर्स-गामा) पर प्रायर (priors) रखे जाते हैं, जिससे $N \gg n$ (मॉडल रन की संख्या) होने पर भी कुशल बायेसियन अनुमान संभव होता है।

2.3 NONSEP ARCokrig (नॉन-सेपरेबल दृष्टिकोण)

संरचना: लीनियर मॉडल ऑफ कोरिगलाइजेशन (LMC) और बेसिस रिप्रेजेंटेशन (Higdon et al., 2008) पर आधारित।
बेसिस रिप्रेजेंटेशन: आउटपुट को प्रिंसिपल कंपोनेंट एनालिसिस (PCA) के माध्यम से अनुमानित किया जाता है:
$y_t(x) \approx \sum_{\ell=1}^{p_t} k_{t,\ell} w_{t,\ell}(x)$
जहाँ $k_{t,\ell}$ बेसिस वेक्टर्स (प्रिंसिपल कंपोनेंट्स) हैं और $w_{t,\ell}(x)$ रैंडम वेट्स (weights) हैं।
ऑटोरेग्रेसिव वेट्स: रैंडम वेट्स $w_{t,\ell}(x)$ को निष्ठा स्तरों के बीच ऑटोरेग्रेसिव कोक्रिगिंग संरचना का उपयोग करके मॉडल किया जाता है। यह सटीकता के रैंक ऑर्डर को सुरक्षित रखता है और इनपुट तथा आउटपुट स्पेस के बीच नॉन-सेपरेबल निर्भरता की अनुमति देता है।
अनुमान: मॉडल प्रत्येक प्रिंसिपल कंपोनेंट वेट के लिए स्वतंत्र ऑटोरेग्रेसिव GPs को फिट करता है। यह समस्या की आयामीता को काफी कम कर देता है।

2.3 पोस्टीरियर इन्फरेंस (Posterior Inference)

दोनों मॉडल संयुग्मन (conjugacy) के कारण रिग्रेशन गुणांक ( $\beta$ ) और वेरिएंस पैरामीटर्स ( $\sigma^2$ ) के एनालिटिक इंटीग्रेशन की अनुमति देते हैं।
केवल इनपुट सहसंबंध मापदंडों ( $\theta$ ) के लिए पोस्टीरियर सैंपलिंग की आवश्यकता होती है।
महत्वपूर्ण रूप से, ऑटोरेग्रेसिव संरचना प्रत्येक निष्ठा स्तर के मापदंडों को अलग-अलग अनुमानित करने की अनुमति देती है, जिससे एक विशाल जॉइंट पोस्टीरियर को सैंपल करने की आवश्यकता नहीं होती, जिससे गणनात्मक स्केलेबिलिटी सुनिश्चित होती है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

स्केलेबल मल्टीवेरिएट एमुलेशन: यह शोध पत्र स्पार्स चोलेस्की प्रायर (SEP) और PCA-आधारित डायमेंशन रिडक्शन (NONSEP) को एक ऑटोरेग्रेसिव फ्रेमवर्क के भीतर पेश करके मल्टीफिडेलिटी एमुलेशन और उच्च-आयामी स्थानिक आउटपुट के बीच की खाई को पाटता है।
उचित अनिश्चितता मात्रा निर्धारण (Proper UQ): लेखक प्रदर्शित करते हैं कि क्रॉस-कोवेरिएंस को अनदेखा करने से (स्वतंत्र मॉडलों की तरह) स्थानिक क्षेत्रों पर भविष्यवाणियों को एकत्रित करते समय गंभीर अंडर-कवरेज या ओवर-कवरेज होता है। उनकी विधियाँ व्यक्तिगत और एकत्रित स्थानिक रिज़ॉल्यूशन दोनों के लिए अनिश्चितता को सही ढंग से मात्रांकित करती हैं।
गणनात्मक दक्षता: स्पार्स संरचनाओं और कंडीशनल इंडिपेंडेंस का लाभ उठाकर, ये विधियाँ $O(N^3)$ बाधा से बचती हैं, जिससे वे हजारों स्थानिक स्थानों वाले आउटपुट के लिए व्यवहार्य बनती हैं।
एकीकृत ढांचा: यह दृष्टिकोण मानक यूनिवेरिएट ऑटोरेग्रेसिव कोक्रिगिंग को मल्टीवेरिएट सेटिंग में सामान्यीकृत करता है, जो सेपरेबल और नॉन-सेपरेबल निर्भरता संरचनाओं को समायोजित करता है।

4. परिणाम (Results)

विधियों का मूल्यांकन दो डेटासेट्स पर किया गया: एक सिंथेटिक केमिकल स्पिल टेस्टबेड और वास्तविक दुनिया का स्टॉर्म सर्ज अनुप्रयोग।

टेस्टबेड उदाहरण (केमिकल स्पिल):
- मेट्रिक्स: रूट मीन स्क्वायर प्रेडिक्शन एरर (RMSPE), कवरेज प्रोबेबिलिटी (CVG), और एवरेज लेंथ ऑफ क्रेडिबल इंटरवल्स (ALCI)।
- निष्कर्ष: SEP मॉडल ने सबसे कम RMSPE प्राप्त किया। SEP और NONSEP दोनों ने एकत्रित आउटपुट के लिए अच्छी तरह से कैलिब्रेटेड अनिश्चितता (CVG $\approx$ 95%) प्रदान की, जबकि क्रॉस-कोवेरिएंस को अनदेखा करने वाले मॉडल (PP, PP-ARCokrig) एकत्रित UQ में विफल रहे (CVG गिरकर ~20-23% हो गया)।
स्टॉर्म सर्ज अनुप्रयोग (केप कोरल, FL):
- डेटा: 9,284 स्थानिक स्थान, 2 निष्ठा स्तर (ADCIRC बनाम ADCIRC+SWAN)।
- निष्कर्ष:
  - NONSEP ने व्यक्तिगत और एकत्रित आउटपुट दोनों के लिए UQ (CVG और ALCI) के मामले में SEP को पछाड़ दिया, जो संभवतः स्टॉर्म सर्ज डेटा की जटिल, नॉन-स्टेशनरी प्रकृति के कारण है।
  - SEP ने थोड़ा बेहतर मार्जिनल RMSPE दिखाया लेकिन एकत्रित क्षेत्रों में मामूली अंडर-कवरेज प्रदर्शित किया।
  - क्रॉस-कोवेरिएंस को अनदेखा करने वाले मॉडलों (PP, PP-ARCokrig) ने एकत्रित UQ में विनाशकारी विफलता दिखाई (CVG < 5%), जो स्थानिक निर्भरता को मॉडल करने की आवश्यकता की पुष्टि करता है।
  - 7 प्रिंसिपल कंपोनेंट्स वाले NONSEP मॉडल ने >99% वेरिएंस कैप्चर किया और एक मानक क्रिगिंग मॉडल (जो केवल हाई-फिडेलिटी डेटा का उपयोग करता है) की तुलना में प्रेडिक्शन एरर को >50% कम कर दिया।

5. महत्व (Significance)

व्यावहारिक प्रभाव: प्रस्तावित एमुलेटर तटीय बाढ़ खतरों के लिए तीव्र और सटीक जोखिम मूल्यांकन को सक्षम करते हैं। निर्णय लेने वाले अब महंगे हाई-फिडेलिटी सिमुलेशन चलाए बिना विश्वसनीय अनिश्चितता अनुमान (जैसे, एक काउंटी के लिए कुल बाढ़ जोखिम) प्राप्त कर सकते हैं।
सैद्धांतिक प्रगति: यह शोध पत्र मल्टीवेरिएट GP एमुलेशन में "कर्स ऑफ डायमेंशनलिटी" (curse of dimensionality) के लिए एक मजबूत समाधान प्रदान करता है। यह प्रदर्शित करता है कि स्पार्स प्रिसिजन मैट्रिसेस और बेसिस रिप्रेजेंटेशन, मल्टीफिडेलिटी सेटिंग्स में उच्च-आयामी आउटपुट के लिए व्यवहार्य रणनीतियाँ हैं।
भविष्य की दिशाएँ: यह फ्रेमवर्क दो से अधिक निष्ठा स्तरों के लिए विस्तार योग्य है और इसे विभिन्न स्थानिक रिज़ॉल्यूशन (परिवर्तन समर्थन/change of support) पर आउटपुट के लिए अनुकूलित किया जा सकता है, जो इसे जटिल भौतिक सिमुलेशन के लिए एक बहुमुखी उपकरण बनाता है।

निष्कर्षतः, मैक्रमोन और मा सफलतापूर्वक उच्च-आयामी मल्टीफिडेलिटी कंप्यूटर मॉडल्स के एमुलेशन के लिए एक गणनात्मक रूप से व्यवहार्य और सांख्यिकीय रूप से कठोर फ्रेमवर्क विकसित करते हैं, जो यह सुनिश्चित करता है कि अनिश्चितता मात्रा निर्धारण तब भी वैध रहता है जब भविष्यवाणियों को बड़े स्थानिक डोमेन पर एकत्रित किया जाता है।