Multivariate Gaussian process emulation for multifidelity computer models with high-dimensional spatial outputs

Titolo

Emulazione di processi gaussiani multivariati per modelli computeristici multifidelity con output spaziali ad alta dimensionalità

1. Il Problema

La valutazione del rischio di mareggiate causate da uragani si basa su modelli computeristici deterministici (simulatori) che producono output su grandi domini spaziali. Questi modelli, come il modello di circolazione oceanica ADCIRC, possono essere eseguiti a diversi livelli di fedeltà:

• Bassa fedeltà: Più veloci da eseguire ma meno accurati (es. ADCIRC senza effetti delle onde).
• Alta fedeltà: Più precisi ma computazionalmente proibitivi (es. ADCIRC accoppiato con SWAN per includere gli effetti delle onde; una singola simulazione può richiedere circa 2.000 ore-core).

La sfida principale risiede nello sviluppo di un emulatore (surrogato probabilistico) che possa:

1. Sfruttare le informazioni abbondanti dei modelli a bassa fedeltà per prevedere rapidamente e accuratamente gli output ad alta fedeltà.
2. Gestire output spaziali ad alta dimensionalità (es. oltre 9.000 località spaziali nel caso studio di Cape Coral, Florida).
3. Tenere conto della dipendenza spaziale (cross-covarianza) tra le diverse località di output. Ignorare questa dipendenza porta a una quantificazione dell'incertezza (UQ) errata, specialmente quando le decisioni vengono prese a risoluzioni spaziali aggregate (es. zone di alluvione FEMA), causando sottostima o sovrastima del rischio.

2. Metodologia

Gli autori propongono un quadro unificato di emulazione basato su Processi Gaussiani Multivariati (GP) all'interno di una struttura autoregressiva di cokriging (introdotta da Kennedy e O'Hagan, 2000). Il modello assume che l'output al livello di fedeltà $t$ sia una funzione lineare dell'output al livello $t-1$ più un termine di discrepanza modellato come un processo gaussiano.

Vengono sviluppati due approcci distinti per gestire la struttura di covarianza incrociata (cross-covariance) tra gli output spaziali:

A. Modello SEP (Separable Autoregressive Cokriging)

• Struttura: Assume una struttura di covarianza separabile tra lo spazio degli input e lo spazio degli output. La matrice di covarianza incrociata $\Sigma_t$ è costante nello spazio degli input.
• Gestione dell'Alta Dimensionalità: Per stimare la matrice di precisione inversa ($\Omega_t = \Sigma_t^{-1}$) in modo efficiente quando il numero di output $N$ è molto maggiore del numero di run $n$, il modello utilizza una decomposizione di Cholesky modificata.
• Sparsità: Viene imposta un'ipotesi di indipendenza condizionale basata sulla vicinanza spaziale (ordinamento dei punti spaziali). Si assume che ogni output dipenda solo dai suoi $p$ vicini più prossimi. Questo porta a una matrice di precisione sparsa.
• Inferenza: Vengono assegnati prior sparsi (Cholesky sparse) agli elementi della decomposizione, permettendo un'inferenza bayesiana computazionalmente efficiente senza dover campionare l'intera matrice di precisione.

B. Modello NONSEP (Nonseparable Autoregressive Cokriging)

• Struttura: Utilizza una struttura di covarianza non separabile, più flessibile ma complessa.
• Riduzione della Dimensionalità: Applica l'Analisi delle Componenti Principali (PCA) agli output standardizzati per ottenere una rappresentazione a rango ridotto. Gli output sono modellati come una combinazione lineare di vettori di base (autovettori PCA) e pesi casuali.
• Modellazione dei Pesi: I pesi casuali associati alle componenti principali sono modellati come processi gaussiani collegati tra i diversi livelli di fedeltà tramite un modello di cokriging autoregressivo. Questo mantiene l'ordinamento naturale dell'accuratezza tra i livelli.
• Vantaggio: Permette di catturare relazioni non stazionarie e strutture di dipendenza più complesse tra input e output rispetto al modello SEP.

3. Contributi Chiave

1. Framework Unificato: Sviluppo di un quadro bayesiano multivariato per emulare simulatori multifidelity con output spaziali ad alta dimensionalità, superando le limitazioni dei modelli univariati o indipendenti.
2. Gestione della Cross-Covarianza: Proposta di due strategie (SEP e NONSEP) per modellare esplicitamente la dipendenza spaziale tra migliaia di output, cruciale per una corretta quantificazione dell'incertezza a risoluzioni aggregate.
3. Efficienza Computazionale:
   • Nel modello SEP, l'uso di prior sparsi sulla decomposizione di Cholesky permette di evitare l'inversione di matrici dense $N \times N$, rendendo il metodo scalabile per migliaia di output.
   • Nel modello NONSEP, la riduzione tramite PCA combinata con la struttura autoregressiva permette di gestire la complessità mantenendo la coerenza tra i livelli di fedeltà.
4. Inferenza Analitica: Derivazione di formule in forma chiusa per le distribuzioni predittive posteriori (integrando fuori i parametri di regressione e varianza), richiedendo il campionamento MCMC solo per i parametri di correlazione degli input, che può essere fatto separatamente per ogni livello di fedeltà.

4. Risultati

Il metodo è stato valutato su due casi di studio: un esempio di testbed (diffusione di contaminanti chimici) e l'applicazione reale di mareggiate (storm surge) in Florida.

• Confronto con Modelli Esistenti: I modelli proposti (SEP e NONSEP) sono stati confrontati con approcci che ignorano la cross-covarianza (es. modelli paralleli indipendenti o PP-ARCokrig).
• Performance Predittiva Individuale: In termini di errore quadratico medio (RMSPE) per singole località, i modelli che ignorano la cross-covarianza possono performare bene o leggermente meglio.
• Performance Aggregata e UQ: La differenza cruciale emerge nella quantificazione dell'incertezza per output aggregati (es. media spaziale).
  • I modelli senza cross-covarianza mostrano una copertura dei credibili intervalli (CVG) molto bassa (es. 4.7% invece del 95% atteso) per le quantità aggregate, portando a una sottostima del rischio.
  • I modelli SEP e NONSEP raggiungono una copertura vicina al 95% anche per le quantità aggregate.
• Caso Studio Storm Surge: Nel contesto delle mareggiate, il modello NONSEP ha mostrato prestazioni superiori al modello SEP, catturando meglio le non stazionarietà spaziali e fornendo intervalli di credibilità più precisi e meno ampi in regioni spaziali lisce. L'uso di 7 componenti principali (PC) ha ottimizzato il compromesso tra errore di ricostruzione e errore di predizione.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro è fondamentale per la scienza del clima e la gestione dei disastri naturali:

• Decisioni Informate: Permette di quantificare correttamente l'incertezza nelle previsioni di inondazioni su larga scala, essenziale per la pianificazione di infrastrutture di difesa (es. argini, barriere) e per le mappe di rischio FEMA.
• Scalabilità: Dimostra che è possibile emulare modelli fisici complessi con migliaia di output spaziali senza diventare computazionalmente intrattabili, sfruttando la struttura sparsa e la riduzione di rango.
• Generalizzabilità: Il framework proposto è applicabile a una vasta gamma di simulazioni scientifiche e ingegneristiche che coinvolgono output spaziali multifidelity, offrendo un approccio robusto per l'incertezza quantificata (UQ) in scenari dove le decisioni devono essere prese su aree geografiche aggregate.