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On de Rham--Witt Cohomology of Classifying Stacks

यह शोधपत्र एक पूर्ण सुचारू चारआयामी (proper smooth fourfold) का एक तीक्ष्ण उदाहरण (sharp example) निर्मित करता है जो विशेषता $p > 0$ वाले एक पूर्ण क्षेत्र (perfect field) पर स्थित है और कुल डिग्री 3 में असममित Hodge–Witt संख्याओं को प्रदर्शित करता है, जिसे वर्गीकरण स्टैक (classifying stack) $B\alpha_p$ की Hodge–Witt कोहॉमोलॉजी की गणना करके प्राप्त किया गया है।

मूल लेखक: Shizhang Li, Yuan Yang

प्रकाशित 2026-04-06

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Shizhang Li, Yuan Yang

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य विचार: गणित में एक "टूटे हुए दर्पण" की खोज

कल्पना कीजिए कि आप एक सुंदर, पूरी तरह से सममित (symmetrical) दर्पण देख रहे हैं। गणित की दुनिया में (विशेष रूप से ज्यामिति में), एक प्रसिद्ध नियम है जिसे हॉज सिमेट्री (Hodge Symmetry) कहा जाता है। यह कहता है कि यदि आप किसी आकार को एक कोण से देखते हैं (मान लीजिए, एक विशिष्ट तरीके से उसके "छेद" गिनते हैं), तो आपको जो संख्या प्राप्त होगी, वह बिल्कुल वैसी ही होनी चाहिए जैसी आपको विपरीत कोण से देखने पर मिलेगी।

लंबे समय तक गणितज्ञों ने सोचा: क्या नियम बदलने पर भी यह दर्पण पूर्ण बना रहता है?

1980 के दशक में, एक गणितज्ञ एकेडल (Ekedahl) ने "पॉजिटिव कैरेक्टरिस्टिक" (इसे ऐसे समझें जैसे एक ऐसी दुनिया जहाँ संख्याएँ घड़ी के घंटों की तरह घूमती हैं, न कि अनंत तक जाती हैं) वाले संसार में रहने वाले आकारों के लिए नए नियमों का परिचय दिया। उन्होंने इन आकारों का वर्णन करने के लिए हॉज-विट संख्याएँ (Hodge–Witt numbers) नामक नई संख्याएँ परिभाषित कीं। उन्होंने सिद्ध किया कि छोटे आकारों (जैसे 1D रेखाएं या 2D सतहों) और कम स्तर की गणनाओं के लिए दर्पण पूर्ण था। लेकिन उन्हें संदेह था कि बड़े, अधिक जटिल आकारों (4D वस्तुओं) के लिए, दर्पण टूट सकता है।

इस शोध पत्र के लेखकों ने उस दरार को खोज निकाला।

उन्होंने एक विशिष्ट, जटिल 4-आयामी आकार का निर्माण किया जहाँ समरूपता (symmetry) टूट जाती है। यदि आप एक दिशा में "छेद" गिनते हैं, तो आपको दूसरी दिशा में गिनने पर एक अलग संख्या प्राप्त होती है। यह एक बड़ी बात है क्योंकि यह सिद्ध करता है कि इस विशिष्ट गणितीय ब्रह्मांड में उच्च-आयामी वस्तुओं के लिए "पूर्ण दर्पण" की समरूपता मौजूद नहीं है।

उपकरण: "जादुई कैलकुलेटर" और "भूतिया आकार"

इस टूटे हुए दर्पण को खोजने के लिए, लेखकों को कुछ बहुत ही उन्नत उपकरणों का उपयोग करना पड़ा। आइए इन्हें उपमाओं (analogies) के माध्यम से समझते हैं।

1. डी रैम-विट कॉम्प्लेक्स (de Rham–Witt Complex): "सुपर-स्कैनर"

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक मूर्ति है, और आप उसकी संरचना के बारे में सब कुछ जानना चाहते हैं। सामान्य गणित में, आप "डी रैम कॉम्प्लेक्स" नामक एक स्कैनर का उपयोग करते हैं। लेकिन इस अजीब "घड़ी-संख्या" वाले ब्रह्मांड में, वह स्कैनर धुंधला है और जानकारी खो देता है।

लेखकों ने एक डी रैम-विट कॉम्प्लेक्स का उपयोग किया। इसे एक सुपर-स्कैनर के रूप में सोचें जो न केवल एक तस्वीर लेता है, बल्कि तस्वीर लेता है, फिर ज़ूम करता है, फिर और ज़ूम करता है, जिससे विवरण की ऐसी परतें पकड़ी जाती हैं जिन्हें सामान्य स्कैनर छोड़ देता है। यह एक आकार को देखने का तरीका है जो उसके सभी छिपे हुए "टोरशन" (मुड़े हुए, गांठदार विवरण) को सुरक्षित रखता है जो आमतौर पर खो जाते हैं।

2. स्टैक $B\alpha_p$ : "भूतिया आकार"

लेखकों ने केवल एक सामान्य मूर्ति नहीं बनाई; उन्होंने एक क्लासिफाइंग स्टैक (विशेष रूप से $B\alpha_p$ ) बनाया।

उपमा: कल्पना कीजिए कि एक सामान्य आकार एक ठोस मूर्ति है। एक "स्टैक" एक भूतिया, अनंत पुस्तकालय की तरह है जिसमें कई मूर्तियाँ हैं। यह एक ऐसा आकार है जो हर संभव तरीके को याद रखता है जिससे आप इसे घुमा या मोड़ सकते हैं, भले ही वे घुमाव एक एकल स्नैपशॉट में दिखाई न दें।
विशेष स्टैक $B\alpha_p$ , एक बहुत ही पेचीदा, "डरावना" आकार है। यह एक सामान्य चिकनी मूर्ति होने के लिए बहुत अजीब है, इसलिए आप बस इसकी ओर इशारा करके यह नहीं कह सकते कि, "यहाँ एक काउंटरएग्जांपल है।"

3. सन्निकटन (Approximation): "छाया कठपुतली का खेल"

चूंकि वे सीधे तौर पर उस भूतिया स्टैक का उपयोग काउंटरएग्जांपल के रूप में नहीं कर सकते थे (क्योंकि शोध पत्र के लिए एक "स्मूथ प्रॉपर वैरायटी" यानी एक अच्छी, ठोस और परिमित मूर्ति की आवश्यकता होती है), उन्हें चतुर होना पड़ा।

उन्होंने सन्निकटन (Approximation) नामक तकनीक का उपयोग किया।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप यह सिद्ध करना चाहते हैं कि एक छाया कठपुतली डरावनी है, लेकिन आप केवल एक वास्तविक जानवर दिखा सकते हैं। आप एक वास्तविक जानवर ढूंढते हैं जो उस डरावनी कठपुली की तरह बिल्कुल वैसी ही छाया बनाता है।
लेखकों ने अपने भूतिया स्टैक ( $B\alpha_p$ ) को लिया और एक वास्तविक, ठोस 4-आयामी मूर्ति (एक "स्मूथ प्रॉपर फोरफोल्ड") पाई जो भूत के व्यवहार की नकल विवरण के एक निश्चित स्तर तक पूरी तरह से करती है। उन्होंने सिद्ध किया कि यह वास्तविक मूर्ति भूत के "टूटे हुए व्यवहार" को विरासत में लेती है।

यात्रा: उन्होंने यह कैसे किया?

यहाँ शोध पत्र की चरण-दर-चरण यात्रा दी गई है:

इंजन का निर्माण (अनुभाग 2 और 3):
लेखकों ने शोध पत्र के पहले आधे भाग में गणित के "इंजन" को अपडेट करने में समय बिताया। उन्होंने 1980 के दशक के पुराने सिद्धांतों (इलूसिए, रेनॉड और एकेडल द्वारा) को आधुनिक, उच्च-तकनीकी भाषा ( $\infty$ -categories) का उपयोग करके पुनर्गठित किया।

उपमा: उन्होंने एक विंटेज कार इंजन लिया और कार्बोरेटर को आधुनिक फ्यूल इंजेक्शन सिस्टम से बदल दिया। इसने उन्हें इंजन को अधिक सुचारू रूप से चलाने और अधिक जटिल ईंधन मिश्रणों को संभालने की अनुमति दी। उन्होंने विशेष रूप से "स्टार प्रोडक्ट" (आकारों को मिलाने का एक तरीका) और "डायगोनल टी-स्ट्रक्चर" (डेटा को व्यवस्थित करने का एक तरीका) को इस आधुनिक ढांचे में काम करने के लिए ठीक किया।

भूत को स्कैन करना (अनुभाग 5):
उन्होंने अपने सुपर-स्कैनर को भूतिया स्टैक $B\alpha_p$ पर केंद्रित किया।

उन्होंने इस भूत के लिए "हॉज-विट संख्याएँ" (Hodge–Witt numbers) की गणना की।
परिणाम: उन्होंने पाया कि कुल डिग्री 3 (एक विशिष्ट 3D तरीके से छेद गिनना) के लिए, संख्याएँ असममित (asymmetric) थीं।
संख्याएँ: उन्होंने पाया कि $h^{0,3} = 1$ और $h^{1,2} = -2$ ।
इतने नकारात्मक छेद? हाँ! इस अमूर्त गणित में, ये संख्याएँ नकारात्मक हो सकती हैं। यह यह कहने जैसा है कि एक दिशा में दूसरी दिशा की तुलना में आकार में "नकारात्मक मात्रा में स्थान" है। यही वह "दरार" है।

छाया कठपुतली (अनुभाग 5, कोरोलरी 5.12):
उन्होंने महसूस किया कि यदि वे इस भूत की तरह दिखने वाला एक वास्तविक 4D आकार पा सकें, तो उस वास्तविक आकार में भी ये अजीब, नकारात्मक, असममित संख्याएँ होंगी।

अन्य गणितज्ञों (एंटीओ, भट्ट और मैथ्यू) के पिछले परिणाम का उपयोग करते हुए, वे जानते थे कि ऐसा वास्तविक आकार मौजूद है।
उन्होंने भूत के डेटा को वास्तविक आकार के अस्तित्व के साथ जोड़ा और सिद्ध किया: "हाँ, एक वास्तविक 4D मूर्ति है जहाँ समरूपता टूट जाती है।"

यह क्यों मायने रखता है?

यह 40 साल पुराने प्रश्न को सुलझाता है: एकेडल ने स्वयं कहा था, "मुझे कोई कारण नहीं दिखता कि यह समरूपता सामान्य रूप से बनी रहेगी," लेकिन आज तक कोई भी काउंटरएग्जांपल नहीं मिला था। यह शोध पत्र पहला ठोस प्रमाण प्रदान करता है कि आयाम 4 में यह समरूपता विफल हो जाती है।
यह "शार्प" (Sharp) है: लेखकों ने सिद्ध किया कि यह वह सबसे छोटा संभव आयाम है जहाँ ऐसा हो सकता है। आप 3D या उससे कम आयाम में इस टूटी हुई समरूपता को नहीं पा सकते। यह वह सटीक टिपिंग पॉइंट है जहाँ गणित अजीब हो जाता है।
यह उपकरणों को मान्य करता है: आधुनिक "इन्फिनिटी-कैटेगरी" उपकरणों का उपयोग करके एक पुराने प्रश्न को हल करके, यह शोध पत्र दिखाता है कि यह नई, जटिल गणितीय भाषा कितनी शक्तिशाली और ज्यामिति की गहरी संरचना को समझने के लिए आवश्यक है।

एक वाक्य में सारांश

लेखकों ने एक पुराने गणितीय इंजन को पुनर्गठित किया, उसका उपयोग एक "भूतिया" आकार को स्कैन करने के लिए किया, पाया कि उस आकार में एक टूटी हुई समरूपता (असममित संख्याएँ) है, और फिर सिद्ध किया कि एक वास्तविक, ठोस 4-आयामी मूर्ति मौजूद है जो इस टूटी हुई समरूपता को साझा करती है, जिससे दशकों पुराने ज्यामितीय समरूपता के सीमाओं के रहस्य को सुलझाया गया।

यहाँ शिजैंग ली और युआन यांग के शोध पत्र "On de Rham–Witt Cohomology of Classifying Stacks" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र धनात्मक अभिलक्षण (characteristic) $p > 0$ वाले वेरिएंट्स की अरिथमेटिक ज्योमेट्री के एक मौलिक प्रश्न को संबोधित करता है: क्या Hodge–Witt संख्याएँ Hodge समरूपता (Hodge symmetry) का पालन करती हैं?

संदर्भ: एक पूर्ण क्षेत्र (perfect field) $k$ के ऊपर एक स्मूथ प्रोपर वैराइटी $X$ के लिए, de Rham–Witt कॉम्प्लेक्स $W\Omega^\bullet_{X/k}$ एक कोहोमोलॉजी सिद्धांत प्रदान करता है जो क्रिस्टलाइन कोहोमोलॉजी (crystalline cohomology) को लिफ्ट करता है। इससे जुड़ी हुई Hodge–Witt संख्याएँ $h^{i,j}_W(X)$ हैं, जिन्हें एकेडल (Ekedahl) द्वारा परिभाषित किया गया है। ये शास्त्रीय Hodge संख्याओं $h^{i,j}(X)$ के characteristic $p$ एनालॉग हैं।
ज्ञात समरूपताएँ: एकेडल ने सिद्ध किया कि Hodge–Witt संख्याएँ Serre द्वैतता (Serre duality) ( $h^{i,j}_W = h^{N-i, N-j}_W$ ) का पालन करती हैं।
खुला प्रश्न: यह अज्ञात था कि क्या Hodge–Witt संख्याओं के लिए Hodge समरूपता ( $h^{i,j}_W = h^{j,i}_W$ $h_{W}^{i, j} = h_{W}^{j, i}$ ) सामान्य रूप से लागू होती है।
- एकेडल ने सिद्ध किया कि यह $i+j \le 2$ के लिए और आयाम $\le 3$ वाली सभी स्मूथ प्रोपर वैराइटी के लिए लागू होती है।
- उन्होंने अनुमान लगाया कि यह उच्च आयामों में विफल हो सकती है, लेकिन साहित्य में कोई प्रति-उदाहरण (counterexample) नहीं पाया।
लक्ष्य: लेखकों का लक्ष्य Hodge–Witt संख्याओं के लिए Hodge समरूपता के विरुद्ध एक प्रति-उदाहरण का निर्माण करना है, विशेष रूप से यह निर्धारित करना कि यह विफलता न्यूनतम किस आयाम और डिग्री में होती है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक आधुनिक होमोटॉपी थ्योरी, स्टैक ज्योमेट्री और शास्त्रीय de Rham–Witt थ्योरी के एक परिष्कृत मिश्रण का उपयोग करते हैं।

A. एकेडल के ढांचे का आधुनिकीकरण (Modernizing Ekedahl's Framework)

शोध पत्र पहले 1980 के दशक के इलूसिए (Illusie), रेनॉड (Raynaud) और एकेडल के कार्यों को पुनर्व्याख्यायित और विस्तारित करने के लिए $\infty$ -categories का उपयोग करके एक कठोर आधार स्थापित करता है।

Graded Left $R$ -modules: वे Cartier–Dieudonné–Raynaud रिंग $R$ के ऊपर बाएं ग्रेडेड मॉड्यूल्स की $\infty$ -category $DGr(R)$ के भीतर कार्य करते हैं।
Completion और Duality: वे एक पूर्णता फलन (completion functor) $\widehat{(-)}$ और एक द्वैत फलन (dualizing functor) $D_R$ को परिभाषित करते हैं, जो एकेडल के परिणामों को $\infty$ -categorical सेटिंग में विस्तारित करता है।
Diagonal $t$ -structure: वे कोहेरेंट कॉम्प्लेक्स की श्रेणी पर एकेडल की "diagonal $t$ -structure" को अनबाउंडेड (unbounded) सेटिंग तक विस्तारित करते हैं, जिससे कोहोमोलॉजिकल और ग्रेडिंग शिफ्ट पर सटीक नियंत्रण मिलता है।
Star Product: वे $DGr(R)$ पर एक सिमेट्रिक मोनोइडल संरचना (जिसे "star product" $\star$ कहा जाता है) का निर्माण करते हैं, जो de Rham–Witt कोहोमोलॉजी के लिए कुनिथ फॉर्मूला (Künneth formula) के अनुरूप है।

B. स्टैक्स तक विस्तार (Extension to Stacks)

लेखक smooth geometric Artin stacks के लिए de Rham–Witt कोहोमोलॉजी की परिभाषा को स्मूथ स्कीम्स से सामान्यीकृत करते हैं।

वे स्मूथ कवर्स (smooth covers) के डेसेंट (descent/Čech nerve) के माध्यम से स्टैक $\mathcal{X}$ के लिए $W\Omega^\bullet_{\mathcal{X}/k}$ को परिभाषित करते हैं।
वे विशिष्ट परिमितता शर्तों (Hodge-properness) के तहत स्टैक्स के उत्पादों के de Rham–Witt कोहोमोलॉजी के लिए एक Künneth formula स्थापित करते हैं।
वे Hodge $d$ -equivalence और de Rham–Witt $d$ -equivalence की अवधारणा पेश करते हैं, और यह दिखाते हैं कि यदि स्टैक्स के बीच का मानचित्र एक Hodge equivalence है, तो यह निम्न डिग्री में de Rerm–Witt कोहोमोलॉजी पर एक equivalence प्रेरित करता है।

C. प्रति-उदाहरण का निर्माण (The Counterexample Construction)

मुख्य रणनीति समूह स्कीम $\alpha_p$ (एडिटिव ग्रुप $\mathbb{G}_a$ पर फ्रोबेनियस का कर्नेल) के क्लासिफाइंग स्टैक की कोहोमोलॉजी की गणना करना है।

Target Stack: $W\Omega^\bullet_{B\alpha_p}$ की गणना करें।
Approximation: Antieau–Bhatt–Mathew (ABM) के परिणाम का उपयोग करें जो कहता है कि किसी भी $d$ के लिए, एक स्मूथ प्रोजेक्टिव वैराइटी $X$ और एक मानचित्र $X \to B\alpha_p \times B\mathbb{G}_m$ मौजूद है जो एक Hodge $d$ -equivalence है।
Transfer: चूंकि $X$ स्टैक को निम्न डिग्री में अनुमानित (approximate) करता है, इसलिए कुल डिग्री $\le d$ में $X$ की Hodge–Witt संख्याएँ स्टैक के समान होती हैं।
Specifics: वे $d=4$ चुनते हैं और टोरसर (torsor) $E \to E^{(1)}$ (जहाँ $E$ एक सुपरसिंगुलर एलिप्टिक कर्व है) के Čech nerve से प्राप्त स्पेक्ट्रल सीक्वेंस का उपयोग करके $B\alpha_p$ की कोहोमोलॉजी की गणना करते हैं।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

A. सैद्धांतिक प्रगति (Theoretical Advances)

$\infty$ -Categorical Reformulation: शोध पत्र de Rham–Witt कॉम्प्लेक्स (विशेष रूप से कोहेरेंट $R$ -मॉड्यूल्स और डोमिनो (dominoes) के सिद्धांत) को स्थिर $\infty$ -categories की भाषा में सफलतापूर्वक उठाता है। इसमें डायगोनल $t$ -structure और स्टार प्रोडक्ट को इस आधुनिक ढांचे में परिभाषित करना शामिल है।
Stack Cohomology: यह स्मूथ Artin स्टैक्स के लिए de Rerm–Witt कोहोमोलॉजी की पहली व्यवस्थित परिभाषा और गणना प्रदान करता है, जो आवश्यक परिमितता गुणों और एक Künneth formula को स्थापित करता है।

B. कम्प्यूटेशनल सफलता (Computational Breakthrough)

$B\alpha_p$ की कोहोमोलॉजी: लेखक $B\alpha_p$ की निम्न-डिग्री Hodge–Witt कोहोमोलॉजी की स्पष्ट रूप से गणना करते हैं। वे डायगोनल $t$ -structure से जुड़ी स्पेक्ट्रल सीक्वेंस का उपयोग करके पदों का विश्लेषण करने के लिए इसका उपयोग करते हैं।
Extensions का Non-splitting: स्पेक्ट्रल सीक्वेंस के $E_2$ -पेज में एक विशिष्ट शॉर्ट एक्ज़ैक्ट सीक्वेंस (जिसमें प्रारंभिक डोमिनो $U_{-1}$ और $U_1$ शामिल हैं) के न बढ़ने (non-splitting) को सिद्ध करना एक महत्वपूर्ण तकनीकी चरण है। यह गैर-विभाजन (non-splitting) विषमता उत्पन्न करने के लिए आवश्यक है।

C. मुख्य परिणाम (The Main Result)

यह शोध पत्र एक पूर्ण क्षेत्र $k$ (जिसका अभिलक्षण $p > 0$ है) के ऊपर एक स्मूथ प्रोपर 4-फोल्ड $X$ का निर्माण करता है जिसकी कुल डिग्री 3 में निम्नलिखित Hodge–Witt संख्याएँ हैं:

$h^{0,3}_W(X) = 1$
$h^{1,2}_W(X) = -2$
$h^{2,1}_W(X) = 1$
$h^{3,0}_W(X) = 0$

संख्याओं का महत्व:

विषमता (Asymmetry): $h^{1,2}_W \neq h^{2,1}_W$ (विशेष रूप से $-2 \neq 1$ )। यह निश्चित रूप से Hodge–Witt संख्याओं के लिए Hodge समरूपता को नकारात्मक रूप में खारिज करता है।
तीक्ष्णता (Sharpness): यह उदाहरण तीक्ष्ण (sharp) है।
- आयाम (Dimension): यह एक 4-फोल्ड है। एकेडल ने पहले ही आयाम $\le 3$ वाली सभी वैराइटी के लिए समरूपता सिद्ध की थी।
- कुल डिग्री (Total Degree): विषमता कुल डिग्री 3 ( $i+j=3$ ) में दिखाई देती है। एकेडल ने $i+j \le 2$ के लिए समरूपता सिद्ध की थी।

4. परिणाम और महत्व (Results and Significance)

अनुमान का खंडन: यह शोध पत्र इस निहित आशा को खारिज करता है कि Hodge–Witt संख्याएँ उच्च आयामों में Hodge समरूपता का पालन कर सकती हैं, जो एकेडल के संदेह की पुष्टि करता है कि कोई सामान्य सिद्धांत इस समरूपता को मजबूर नहीं करता है।
इष्टतमता (Optimality): परिणाम इष्टतम है। लेखक दिखाते हैं कि आयाम 3 या डिग्री 2 में ऐसा प्रति-उदाहरण नहीं मिल सकता, क्योंकि ये मामले मौजूदा प्रमेयों द्वारा कवर किए गए हैं।
पद्धतिगत प्रभाव: आधुनिक $\infty$ -categorical तकनीकों को de Rham–Witt थ्योरी पर सफलतापूर्वक लागू करके, यह शोध पत्र शास्त्रीय अरिथमेटिक ज्योमेट्री की समस्याओं के लिए आधुनिक होमोटोपिकल अल्जेब्रा उपकरणों को लागू करने का मार्ग खोलता है। यह 1980 के दशक के "डोमिनो" सिद्धांत और आधुनिक डेरिव्ड अल्जेब्रिक ज्योमेट्री के बीच के अंतर को पाटता है।
स्टैक्स की भूमिका: यह कार्य प्रदर्शित करता है कि परिमित समूह स्कीमों (जैसे $B\alpha_p$ ) के क्लासिफाइंग स्टैक्स स्मूथ वैराइटी की ज्योमेट्री में प्रति-उदाहरण उत्पन्न करने के लिए शक्तिशाली "परीक्षण वस्तुएं" (test objects) के रूप में कार्य करते हैं, जो कि Antieau–Bhatt–Mathew द्वारा शुरू की गई और यहाँ परिष्कृत की गई एक रणनीति है।

संक्षेप में, ली और यांग न्यूनतम संभव आयाम (4) और डिग्री (3) में Hodge–Witt संख्याओं के लिए Hodge समरूपता के लिए एक निश्चित प्रति-उदाहरण प्रदान करते हैं, जो शास्त्रीय क्रिस्टलाइन कोहोमोलॉजी सिद्धांत और आधुनिक $\infty$ -categorical विधियों के गहरे संश्लेषण का उपयोग करता है।