On de Rham--Witt Cohomology of Classifying Stacks

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans l'étude de la cohomologie de de Rham–Witt des variétés lisses et propres sur un corps parfait $k$ de caractéristique $p > 0$. Introduite par Illusie, cette théorie fournit des invariants numériques appelés nombres de Hodge–Witt, notés $h^{i,j}_W(X)$. Ces nombres sont conçus comme des analogues en caractéristique $p$ des nombres de Hodge classiques $h^{i,j}(X)$.

Une question fondamentale ouverte depuis les travaux d'Ekedahl (années 1980) concerne la symétrie de Hodge pour ces nombres. Alors que la dualité de Serre ($h^{i,j}_W = h^{N-i, N-j}_W$) est bien établie, la symétrie $h^{i,j}_W = h^{j,i}_W$ (valide en caractéristique 0) reste incertaine en caractéristique $p$.

• Ekedahl a démontré que cette symétrie tient pour les degrés totaux $i+j \le 2$ et pour toutes les variétés de dimension $\le 3$.
• Il a émis l'hypothèse que cette symétrie pourrait échouer en dimensions supérieures, mais aucun contre-exemple n'avait été construit dans la littérature jusqu'à ce papier.

L'objectif principal de l'article est de construire un contre-exemple explicite montrant que la symétrie de Hodge pour les nombres de Hodge–Witt échoue, et ce, dès la dimension 4 et le degré cohomologique total 3.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche combinant la théorie des champs algébriques (stacks) et l'algèbre homologique des modules sur l'anneau de Cartier–Dieudonné–Raynaud.

A. Cadre théorique et Outils

1. Cohomologie de de Rham–Witt des Champs (Stacks) :
   Les auteurs étendent la définition du complexe de de Rham–Witt aux champs d'Artin géométriques lisses. Ils établissent que pour un champ « Hodge-propre » (au sens de Kubrak–Prikhodko), les groupes de cohomologie sont cohérents au sens d'Illusie–Raynaud.
2. Approximation par des Variétés :
   S'inspirant des travaux d'Antieau, Bhatt et Mathew [ABM21], ils utilisent le fait que le champ classifiant $B\alpha_p$ (où $\alpha_p$ est le noyau de la Frobenius sur le groupe additif) peut être approché par des variétés projectives lisses via des équivalences de Hodge et de de Rham–Witt. Si l'on trouve une asymétrie sur $B\alpha_p$, elle se transfère à une variété projective de dimension suffisante.
3. Algèbre Homologique sur l'anneau $R$ :
   Le cœur technique réside dans l'étude de la catégorie dérivée $\infty$-catégorique $DGr(R)$ des modules gradués à gauche sur l'anneau $R$ (l'anneau de Cartier–Dieudonné–Raynaud).
   • Structure $\infty$-catégorique : Les auteurs reformulent les résultats d'Ekedahl dans le langage moderne des $\infty$-catégories, étendant la construction du produit étoile (star product) et de la dualité au-delà des catégories d'homotopie.
   • Structure $t$ diagonale : Ils généralisent la structure $t$ diagonale d'Ekedahl à toute la catégorie des modules cohérents, permettant de filtrer la cohomologie et d'analyser les termes de bas degré.
   • Produit étoile ($\star$) : Ils utilisent le produit étoile pour calculer la cohomologie de produits de champs, en particulier $B\alpha_p \times B\mathbb{G}_m$.

B. Stratégie de Calcul

L'approche consiste à calculer explicitement les groupes de cohomologie de Hodge–Witt du champ $B\alpha_p$ :

1. Utilisation d'une résolution simpliciale de $B\alpha_p$ via un revêtement par une variété abélienne supersingulière $E$ (où $E \to E^{(1)}$ est un $\alpha_p$-torseur).
2. Mise en place d'une suite spectrale basée sur la structure $t$ diagonale pour calculer $R\Gamma(B\alpha_p, W\Omega^\bullet)$.
3. Analyse détaillée des termes de la suite spectrale, en particulier les groupes $E_2^{p,q}$, en exploitant les propriétés des modules de dominoes élémentaires ($U_t$) et des modules de Dieudonné.

3. Résultats Clés

A. Calcul pour le champ $B\alpha_p$

Les auteurs parviennent à déterminer la structure de la cohomologie de de Rham–Witt de $B\alpha_p$ en bas degré. Le résultat central (Théorème 5.11) montre que les groupes de cohomologie diagonale $H^j(W\Omega^\bullet(B\alpha_p))^{[i,i]}$ sont :

• Pour $(i,j) = (0,0)$ : $W$ (les entiers de Witt).
• Pour $(i,j) = (0,2)$ : $D(\alpha_p)$ (module de Dieudonné associé à $\alpha_p$).
• Pour $(i,j) = (0,3)$ : $U_0$ (un domino élémentaire).
• Pour $(i,j) = (1,1)$ : $0$ (après analyse fine montrant qu'une suite exacte ne se scinde pas).

B. Construction du Contre-Exemple

En combinant le calcul sur $B\alpha_p$ avec le théorème d'approximation de [ABM21] (Corollaire 4.15), ils construisent une variété projective lisse $X$ de dimension 4 sur $k$.

• Théorème 1.1 (Corollaire 5.12) : Il existe une variété propre lisse de dimension 4 telle que les nombres de Hodge–Witt en degré total 3 sont :
  $$h^{0,3}_W = 1, \quad h^{1,2}_W = -2, \quad h^{2,1}_W = 1, \quad h^{3,0}_W = 0$$
  (Note : La valeur $-2$ pour $h^{1,2}_W$ est obtenue via la formule reliant les nombres de Hodge–Witt aux nombres de dominoes et aux pentes, reflétant la structure non triviale du domino $U_0$).

C. Asymétrie

Ces nombres violent clairement la symétrie de Hodge :
$$h^{1,2}_W = -2 \neq h^{2,1}_W = 1$$
De plus, $h^{0,3}_W = 1 \neq h^{3,0}_W = 0$.

4. Contributions Techniques et Significatives

1. Résolution d'une conjecture ouverte : L'article fournit le premier contre-exemple à la symétrie de Hodge pour les nombres de Hodge–Witt, confirmant l'intuition d'Ekedahl. Il démontre que l'asymétrie apparaît exactement en dimension 4 et degré 3, rendant le résultat optimal (sharp) tant en dimension qu'en degré total.
2. Modernisation de la théorie d'Ekedahl : L'article réinterprète les structures profondes de la cohomologie de de Rham–Witt (dualité, produit étoile, structure $t$ diagonale) dans le cadre des $\infty$-catégories. Cela permet de lever les restrictions de bornitude qui limitaient les travaux précédents et de définir rigoureusement la cohomologie sur les champs d'Artin.
3. Calculs explicites sur les champs : Le calcul détaillé de la cohomologie de $B\alpha_p$ et de ses relations avec les modules de Dieudonné et les dominoes constitue une avancée technique majeure, reliant la géométrie des champs à l'arithmétique fine des variétés abéliennes supersingulières.
4. Optimalité : Le résultat montre que pour les dimensions $d \le 3$, la symétrie est garantie (comme prouvé par Ekedahl), et que le contre-exemple ne peut pas être construit en dimension inférieure.

Conclusion

Cet article établit que la symétrie de Hodge, une propriété fondamentale en géométrie complexe et en caractéristique 0, n'est pas préservée par les nombres de Hodge–Witt en caractéristique $p$ dès la dimension 4. La méthode, qui passe par l'analyse fine de la cohomologie de de Rham–Witt du champ classifiant $B\alpha_p$ via des outils d'algèbre homologique moderne, ouvre de nouvelles perspectives pour l'étude de l'arithmétique des variétés en caractéristique positive et la structure des invariants cohomologiques.