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Forecasting Tangency Portfolios and Investing in the Minimum Euclidean Distance Portfolio to Maximize Out-of-Sample Sharpe Ratios

यह शोध पत्र एक नवीन परिसंपत्ति आवंटन मॉडल प्रस्तावित करता है जो कुशल सीमा (एफिशिएंट फ्रंटियर) के कार्यात्मक रूप को व्याख्यात्मक गुणांकों में विघटित करके भविष्य के टेंजेंसी पोर्टफोलियो का पूर्वानुमान लगाता है और फिर बेहतर आउट-ऑफ-सैंपल शार्प अनुपात प्राप्त करने के लिए न्यूनतम यूक्लिडियन दूरी वाले पोर्टफोलियो में निवेश करता है, जिससे पारंपरिक विधियों की सीमाओं को दूर किया जा सके जो स्थिर रिटर्न और सहप्रसरण अनुमानों पर निर्भर करती हैं।

मूल लेखक: Nolan Alexander, William Scherer

प्रकाशित 2026-04-07

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Nolan Alexander, William Scherer

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, अप्रत्याशित महासागर में एक जहाज लेकर यात्रा करने की कोशिश कर रहे हैं। आपका लक्ष्य एक गंतव्य (अधिकतम लाभ) तक पहुँचना है जबकि तूफानों (जोखिम) से बचना है।

निवेश की दुनिया में, एक प्रसिद्ध मानचित्र है जिसे एफिशिएंट फ्रंटियर (Efficient Frontier) कहा जाता है। इस मानचित्र को सभी संभावित "सर्वश्रेष्ठ" मार्गों को दर्शाने वाली एक घुमावदार रेखा के रूप में सोचें। कुछ मार्ग तेज़ लेकिन खतरनाक हैं; कुछ धीमे लेकिन सुरक्षित हैं। इस मानचित्र पर "परफेक्ट" स्थान को टैंजेंसी पोर्टफोलियो (Tangency Portfolio) कहा जाता है। यह वह सटीक बिंदु है जहाँ आपको कम से कम खतरे के लिए सबसे अधिक गति मिलती है।

समस्या: मानचित्र एक झूठ है

इस परफेक्ट स्पॉट को खोजने का पुराना तरीका कल के मौसम रिपोर्ट को देखकर कल के तूफान का अनुमान लगाने जैसा है। निवेशक आमतौर पर यह मान लेते हैं कि जो अतीत में हुआ (ऐतिहासिक डेटा), वही भविष्य में बिल्कुल वैसा ही होगा।

लेकिन बाजार समुद्र की तरह है: यह बदलता रहता है। आज का शांत समुद्र कल का तूफान बन सकता है। जब निवेशक पुराने डेटा पर भरोसा करते हैं, तो वे अक्सर निर्देशांक (coordinates) गलत निकाल लेते हैं। वे सोचते हैं कि वे परफेक्ट स्पॉट की ओर बढ़ रहे हैं, लेकिन वे एक चट्टान से टकरा जाते हैं क्योंकि मानचित्र पुराना हो चुका था।

नया समाधान: गंतव्य का पूर्वानुमान लगाना

इस शोध पत्र के लेखक, नोलन अलेक्जेंडर और विलियम शेरर, एक चतुर नया तरीका प्रस्तावित करते हैं। कल की हवा की गति और लहरों की ऊंचाई (रिटर्न और वोलैटिलिटी) का अनुमान लगाने के बजाय, उन्होंने इस मानचित्र के आकार का पूर्वानुमान लगाने का निर्णय लिया।

यहाँ बताया गया है कि उन्होंने इसे सरल चरणों में कैसे किया:

1. मानचित्र को सरल बनाना (तीन जादुई संख्याएँ)

हर एक दिन के लिए एक जटिल वक्र (curve) बनाना कठिन है। इसलिए, लेखकों ने महसूस किया कि इस "एफिशिएंट फ्रंटियर" वक्र को केवल तीन सरल संख्याओं (गुणांकों) द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

सबसे निचला बिंदु: मानचित्र का सबसे सुरक्षित, शांत स्थान।
ऊंचाई: वक्र कितना ऊपर जाता है (कितना रिटर्न मिल सकता है)।
वक्रता (Curvature): मानचित्र कितना "मुड़ा हुआ" है। एक बहुत अधिक मुड़ा हुआ मानचित्र मतलब आपको छोटे रिवॉर्ड के लिए बड़ा जोखिम उठाना पड़ेगा; एक सपाट मानचित्र का मतलब है कि आप कम जोखिम के लिए शानदार रिवॉर्ड पा सकते हैं।

वे इन संख्याओं को $r_{min}$ , $\sigma_{min}$ , और $u$ कहते हैं। इन्हें अपने निवेश मानचित्र के जीपीएस निर्देशांक, ऊंचाई और इलाके के प्रकार के रूप में समझें।

2. भविष्य के आकार का पूर्वानुमान लगाना

कल के स्टॉक की कीमतों का अनुमान लगाने के बजाय, उन्होंने एक कंप्यूटर मॉडल (जिसे VARX कहा जाता है) का उपयोग यह भविष्यवाणी करने के लिए किया कि अगले महीने ये तीन संख्याएँ कैसे बदलेंगी।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप नहीं जानते कि तूफान कहाँ टकराएगा, लेकिन आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि समुद्र "अधिक उबड़-खाबड़" (वक्रता में बदलाव) हो जाएगा और "सबसे शांत स्थान" थोड़ा बाईं ओर खिसक जाएगा। आप हर एक लहर के बजाय समुद्र के आकार की भविष्यवाणी कर रहे हैं।

3. "न्यूनतम दूरी" की रणनीति (The "Minimum Distance" Strategy)

यहाँ पेचीदा हिस्सा है। एक बार जब वे भविष्यवाणी कर लेते हैं कि अगला महीना कैसा होना चाहिए (टैंजेंसी पोर्टफोलियो), तो उन्हें एहसास होता है कि वह स्थान वास्तव में आज के मानचित्र पर मौजूद भी नहीं हो सकता है। बाजार बहुत अराजक है।

इसलिए, एक ऐसे स्थान पर जबरदस्ती पहुँचने के बजाय जो मौजूद ही नहीं है, वे पूछते हैं: "हमारे अनुमानित गंतव्य जैसा दिखने वाला सबसे करीबी सुरक्षित बंदरगाह कौन सा है जिसे हम अभी तक प्राप्त कर सकते हैं?"

वे मिनिममм यूक्लिडियन डिस्टेंस (Minimum Euclidean Distance) की गणना करते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक चलती हुई दीवार पर लक्ष्य साध रहे हैं। आप अपने लक्ष्य के ठीक केंद्र में नहीं पहुँच सकते क्योंकि दीवार हिल रही है। इसलिए, आप दीवार के उस स्थान को निशाना बनाते हैं जो आपके लक्ष्य के भौतिक रूप से सबसे करीब है। आप बुल्सआई (bullseye) पर तो नहीं पहुँचते, लेकिन आप अपने लक्ष्य के सबसे करीब पहुँचते हैं, जिससे आपकी त्रुटि न्यूनतम हो जाती है।

यह बेहतर क्यों काम करता है

इस शोध पत्र ने 20+ वर्षों में चार अन्य लोकप्रिय रणनीतियों (जैसे पूरे बाजार को खरीदना, या एक मानक 60/40 मिश्रण) के मुकाबले इस पद्धति का परीक्षण किया।

परिणाम: उनका "मिनिमम डिस्टेंस" वाला जहाज अधिक सुचारू रूप से और तेज़ी से चला। इसने प्रति इकाई जोखिम पर अधिक पैसा बनाया (एक उच्च शार्प रेशियो) और बड़े बाजार क्रैश (जैसे 2008 और 2020) के दौरान कम नुकसान सहा।
सीक्रेट सॉस: विशिष्ट स्टॉक की कीमतों का अनुमान लगाने के बजाय निवेश की संभावनाओं के आकार पर ध्यान केंद्रित करके, उन्होंने पुराने डेटा के आधार पर अत्यधिक अनुकूलन (over-optimizing) के जाल से बचने में सफलता पाई। उन्होंने स्वीकार किया कि भविष्य अनिश्चित है, इसलिए उन्होंने एक पूर्ण लेकिन असंभव लक्ष्य के बजाय "सबसे करीबी संभव मिलान" को चुना।

संक्षेप में

अधिकांश निवेशक सटीक भविष्य का अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं (जो असंभव है)।
इन लेखकों ने भविष्य के सामान्य आकार की भविष्यवाणी की और फिर अपने जहाज को आज के सबसे करीबी सुरक्षित स्थान की ओर मोड़ दिया। यह निवेश करने का एक स्मार्ट और अधिक विनम्र तरीका है जो यह स्वीकार करता है कि हम भविष्य को पूरी तरह से नहीं देख सकते, लेकिन फिर भी हम प्रतिस्पर्धा से बेहतर तरीके से इसका संचालन कर सकते हैं।

यहाँ नोलन अलेक्जेंडर और विलियम शेरे द्वारा लिखित शोध पत्र "Forecasting Tangency Portfolios and Investing in the Minimum Euclidean Distance Portfolio to Maximize Out-of-Sample Sharpe Ratios" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

पारंपरिक मॉडर्न पोर्टफोलियो थ्योरी (MPT) और मीन-वेरिएंस ऑप्टिमाइजेशन (Mean-Variance Optimization) ऐतिहासिक डेटा के आधार पर भविष्य के अपेक्षित रिटर्न और कोवेरिएंस मैट्रिसेस (covariance matrices) के अनुमान पर बहुत अधिक निर्भर करते हैं। यह दृष्टिकोण यह मान लेता है कि भविष्य के बाजार पैरामीटर स्थिर (stationary) हैं (अर्थात, वे ऐतिहासिक डेटा के समान ही रहेंगे)। हालांकि, व्यवहार में, बाजार गैर-स्थिर (non-stationary) होते हैं, जिससे अनुमान में महत्वपूर्ण त्रुटियां होती हैं।

सीमा (The Limitation): जैसा कि डिकिन्सनन [4] और कान एवं झोउ [5] द्वारा उल्लेख किया गया है, इन मापदंडों का गलत अनुमान लगाने से पोर्टफोलियो वेट्स अस्थिर हो जाते हैं और आउट-ऑफ-सैंपल प्रदर्शन खराब हो जाता है।
मौजूदा समाधान (Existing Solutions): ब्लैक-लिटरलमैन (Black–Litterman), कोवेरिएंस मैट्रिक्स श्रिंकेज (Covariance Matrix Shrinkage), और DCC MV-GARCH जैसे मॉडल मापदंडों के अनुमान में सुधार करने का प्रयास करते हैं। हालांकि, उन्हें अक्सर जटिल इनपुट्स (जैसे, निवेशक के विचार) की आवश्यकता होती है, वे रिटर्न वेक्टर्स को प्रभावी ढंग से अनुमानित करने में विफल रहते हैं, या निवेशकों के लिए उन्हें समझना और उन पर भरोसा करना कठिन होता है।
अंतराल (The Gap): एक ऐसे तरीके की आवश्यकता है जो सीधे रिटर्न और कोवेरिएंस के अनुमान को दरकिनार कर सीधे अनुकूलतम पोर्टफोलियो (optimal portfolio) का पूर्वानुमान लगा सके, जिससे आउट-ऑफ-सैंपल शार्प रेशियो (Sharpe ratios) में सुधार हो सके।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक नवीन दो-चरणीय ढांचा प्रस्तावित करते हैं: एफिशिएंट फ्रंटियर डीकंपोजिशन (efficient frontier decomposition) के माध्यम से टैन्जेंसी पोर्टफोलियो (tangency portfolio) का पूर्वानुमान लगाना, और पूर्वानुमानित पोर्टफोलियो के सापेक्ष न्यूनतम यूक्लिडियन दूरी वाले पोर्टफोलियो (minimum Euclidean distance portfolio) में निवेश करना।

A. एफिशिएंट फ्रंटियर का अपघटन (Decomposition of the Efficient Frontier)

वेट्स (weights) को सीधे ऑप्टिमाइज़ करने के बजाय, यह मॉडल एफिशिएंट फ्रंटियर के कार्यात्मक रूप (functional form) का अपघटन करता है।

मर्टन का व्युत्पन्न (Merton's Derivation): एफिशिएंट फ्रंटियर को पारंपरिक रूप से कोवेरिएंस मैट्रिक्स ( $V$ ) और रिटर्न वेक्टर ( $r$ ) से प्राप्त गुणांकों $A, B, C$ के साथ एक स्क्वायर रूट सेकंड-ऑर्डर पॉलीनोमियल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
नवीन गुणांक (Novel Coefficients): लेखक $A, B, C$ $A, B, C$ को बदलने के लिए तीन व्याख्या योग्य गुणांकों (interpretable coefficients) को व्युत्पन्न करते हैं:
1. $r_{min}$ : मिनिमम वेरिएंस पोर्टफोलियो (MVP) का रिटर्न।
2. $\sigma_{min}$ : MVP का मानक विचलन (standard deviation)।
3. $u$ : एफिशिएंट फ्रंटियर के वक्रता दर (rate of curvature) का प्रतिनिधित्व (जो मीन-वेरिएंस ऑप्टिमाइजेशन के लिए एसेट सेट की उपयोगिता को दर्शाता है)।
- व्याख्या (Interpretation): $r_{min}$ बाजार रिटर्न की मांग को दर्शाता है; $\sigma_{min}$ आधारभूत जोखिम (baseline risk) को दर्शाता है; $u$ जोखिम-रिटर्न के बीच तालमेल की गुणवत्ता को दर्शाता है (उच्च $u$ बेहतर जोखिम-रिटर्न ट्रेड-ऑफ का संकेत देता है)।
- गणितीय अंतर्दृष्टि (Mathematical Insight): $u$ को शून्य वेक्टर के प्रति रिटर्न वेक्टर की महालानोबिस दूरी (Mahalanobis distance) और रिटर्न वेक्टर तथा 'ones' के वेक्टर के बीच कोसाइन समानता (cosine similarity) के फलन के रूप में दिखाया गया है।

B. टैन्जेंसी पोर्टफोलियो का पूर्वानुमान (Forecasting the Tangency Portfolio)

मॉडल: लेखक एक ऑनलाइन वेक्टर ऑटोरेग्रेशन विद एक्सोजेनस वेरिएबल्स (VARX) का उपयोग करते हैं जिसका लैग ऑर्डर 1 है।
इनपुट्स: मॉडल अपने स्वयं के लैग्स और ऐतिहासिक इक्क्वल-वेटेड रिटर्न मूविंग एवरेज का उपयोग करके तीन गुणांकों ( $r_{min}, \sigma_{min}, u$ ) के भविष्य के मूल्यों का पूर्वानुमान लगाता है।
टैन्जेंसी गणना (Tangency Calculation): पूर्वानुमानित गुणांकों और रिस्क-फ्री रेट ( $r_f$ ) का उपयोग करके, मॉडल बिना भविष्य के रिटर्न वेक्टर या कोवेरिएंस मैट्रिक्स की आवश्यकता के, पूर्वानुमानित टैन्जेंसी पोर्टफोलियो के रिटर्न ( $r_{tan}$ ) और वोलेटिलिटी ( $\sigma_{tan}$ ) के लिए विश्लेषणात्मक रूप से समाधान करता है।

C. न्यूनतम यूक्लिडियन दूरी वाला पोर्टफोलियो (The Minimum Euclidean Distance Portfolio)

चूंकि पूर्वानुमानित टैन्जेंसी पोर्टफोलियो संभवतः वर्तमान एफिशिएंट फ्रंटियर पर मौजूद नहीं होता है (बाजार की गैर-स्थिरता के कारण), इसलिए मॉडल सीधे इसमें निवेश नहीं कर सकता है।

रणनीति (Strategy): मॉडल वर्तमान एफिशिएंट फ्रंटियर पर उस पोर्टफोलियो की पहचान करता है जिसकी पूर्वानुमानित टैन्जेंसी पोर्टफोलियो से न्यूनतम यूक्लिडियन दूरी होती है।
अनुकूलन (Optimization): इसे दूरी फलन (distance function) को कम करने के रूप में तैयार किया गया है:
$\min \sqrt{(\hat{r}_{tan} - r)^2 + (\hat{\sigma}_{tan} - \sigma(r))^2}$
इसे लक्षित रिटर्न खोजने के लिए न्यूटन के मेथड (Newton's Method) का उपयोग करके हल किया जाता है, जिसके बाद विशिष्ट एसेट वेट्स प्राप्त करने के लिए मानक मीन-वेरिएंस ऑप्टिमाइजेशन का उपयोग किया जाता है।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

नवीन गुणांक: एफिशिएंट फ्रंटियर को विघटित करने वाले तीन व्याख्या योग्य गुणांकों ( $r_{min}, \sigma_{min}, u$ ) का परिचय, जो कच्चे मापदंडों के बजाय सीधे फ्रंटियर के आकार का पूर्वानुमान लगाने की अनुमति देते हैं।
पूर्वानुष्यण तंत्र (Forecasting Mechanism): एक संक्षिप्त ऑनलाइन VARX दृष्टिकोण जो ओवरफिटिंग को रोकने के लिए सीमित फीचर्स (लैग्स और मूविंग एवरेज) का उपयोग करके इन गुणांकों का पूर्वानुमान लगाता है।
निवेश रणनीति: एक मजबूत चयन विधि (न्यूनतम यूक्लिडियन दूरी) जो एक पूर्वानुमानित इष्टतम अवस्था और वर्तमान व्यवहार्य बाजार अवस्था के बीच के अंतर को पाटती है, जिससे सीधे पैरामीटर अनुमान की अस्थिरता से बचा जा सकता है।
अनुभवजन्य सत्यापन (Empirical Validation): विविध एसेट यूनिवर्स में मानक बेंचमार्क की तुलना में इस दृष्टिकोण के बेहतर प्रदर्शन का प्रदर्शन।

4. अनुभवजन्य परिणाम (Empirical Results)

मॉडल का परीक्षण Yahoo Finance और Fama-French फैक्टर्स के डेटा का उपयोग करके दो अलग-अलग एसेट यूनिवर्स पर किया गया:

यूनिवर्स 1 (GVMC): ग्रोथ/वैल्यू और लार्ज/स्मॉल कैप का प्रतिनिधित्व करने वाले 6 म्यूचुअल फंड + 1 बॉन्ड फंड। आउट-ऑफ-सैंपल परीक्षण (2000–2022)।
यूनिवर्स 2 (सेक्टर्स): 9 S&P सेक्टर ETFs + 1 बॉन्ड फंड। आउट-ऑफ-सैंपल परीक्षण (2008–2022)।

तुलना किए गए बेंचमार्क:

मानक टैन्जेंसी पोर्टफोलियो (1-महीने का रोलिंग विंडो)।
इक्वल-वेटेड पोर्टफोलियो (Equal-Weighted Portfolio)।
S&P 500 टोटल रिटर्न।
60/40 स्टॉक/बॉन्ड पोर्टफोलियो।

प्रदर्शन मेट्रिक्स:

शार्प रेशियो (Sharpe Ratio): प्रस्तावित "मिनिमम डिस्टेंस पोर्टफोलियो" ने दोनों यूनिवर्स में उच्चतम शार्प रेशियो प्राप्त किया (उदाहरण के लिए, GVMC में मानक टैन्जेंसी के 0.67 के मुकाबले 1.00; सेक्टर्स में 0.01 के मुकाबले 0.76)।
ड्रॉडाउन (Drawdowns): मॉडल ने बाजार की गिरावट के दौरान काफी कम अधिकतम ड्रॉडाउन प्रदर्शित किया (उदाहरण के लिए, GVMC के लिए -18.7% बनाम -25.0%; सेक्टर्स टेस्ट में S&P 500 के -51.8% के मुकाबले -29.3%)।
सांख्यिकीय सार्थकता (Statistical Significance): अल्फा रिग्रेशन ने पुष्टि की कि प्रस्तावित मॉडल ने सभी बेंचमार्क को सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण रूप से पछाड़ दिया (p-values < 0.05, अक्सर < $10^{-4}$ )।
दृश्य (Visuals): संचयी रिटर्न चार्ट ने दिखाया कि प्रस्तावित मॉडल बेंचमार्क की तुलना में कम अस्थिरता के साथ निरंतर रिटर्न प्रदान करता है।

5. महत्व और निष्कर्ष (Significance and Conclusion)

यह शोध पत्र कच्चे रिटर्न और कोवेरिएंस के कठिन कार्य से हटकर, एफिशिएंट फ्रंटियर की ज्यामिति (geometry) का पूर्वानुमान लगाकर परिसंपत्ति आवंटन (asset allocation) में एक प्रतिमान परिवर्तन (paradigm shift) प्रदान करता है।

मजबूती (Robustness): पूर्वानुमानित इष्टतम के सबसे करीब के पोर्टफोलियो में निवेश करके, मॉडल जटिल बेयसियन प्रायोर (Black-Litterman) या भारी रेगुलराइजेशन (Shrinkage) की आवश्यकता के बिना गैर-स्थिर बाजारों के अनुकूल हो जाता है।
व्याख्यात्मकता (Interpretability): $r_{min}, \sigma_{min},$ और $u$ का उपयोग बाजार की स्थितियों (जोखिम स्तर, रिटर्न मांग और वक्रता) के संबंध में स्पष्ट आर्थिक अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।
व्यावहारिकता (Practicality): मॉडल कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल है, इसके लिए ब्लैक-लिटरलमैन की तुलना में कम इनपुट्स की आवश्यकता होती है, और इसने 20+ वर्षों की विभिन्न बाजार व्यवस्थाओं में बेहतर जोखिम-समायोजित रिटर्न प्रदर्शित किया है।

भावी कार्य (Future Work): लेखक व्यापक बाजार यूनिवर्स पर अपने मॉडल का परीक्षण करने, लीवरेज बाधाओं (leverage constraints) के प्रभाव का अधिक गहराई से विश्लेषण करने, और गुणांकों की पूर्वानुमान सटीकता को बढ़ाने के लिए तकनीकी संकेतकों और गैर-रेखीय मॉडलों (जैसे LASSO, निर्णय वृक्ष) को शामिल करने की योजना बना रहे हैं।