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Modular curves and bad reduction

यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि विशिष्ट संख्या क्षेत्रों (number fields) पर दीर्घवृत्तीय वक्र (elliptic curves), जो मॉड्यूलर वक्रों के बिंदुओं के अनुरूप हैं, जैसे कि $\mathbb{Q}(\sqrt{-11})$ या $\mathbb{Q}(\sqrt{17})$ पर क्रम 20 के चक्रीय टॉर्सन (cyclic torsion) वाले वक्र, अनिवार्य रूप से 3 के अभाज्य पर खराब न्यूनीकरण (bad reduction) प्रदर्शित करते हैं, जिसमें इस बात पर निर्भर अलग-अलग प्रमाण तकनीकों का उपयोग किया गया है कि 3 क्षेत्र में विभाजित (split) होता है या अभाज्य (inert) रहता है।

मूल लेखक: Adam Logan, David McKinnon

प्रकाशित 2026-04-13

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Adam Logan, David McKinnon

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो एक बहुत ही विशेष प्रकार की गणितीय वस्तु जिसे एलिप्टिक कर्व (elliptic curve) कहा जाता है, के बारे में एक रहस्य सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं। ये कर्व्स संख्याओं की दुनिया में मौजूद जटिल, घुमावदार रोलरकोस्टर की तरह हैं।

आमतौर पर, गणितज्ञ इन रोलरकोस्टर्स की दो अलग-अलग विशेषताओं को अलग-अलग देखते हैं:

"टोरशन" (द लूप - The Torsion): यह एक विशिष्ट, दोहराव वाला पैटर्न है जो कर्व बनाता है। इसे एक लूप-डी-लूप की तरह समझें जिसमें रोलरकोस्टर की गाड़ी एक निश्चित संख्या में चक्कर लगाने के बाद फंस सकती है और फिर आगे बढ़ सकती है।
"बैड रिडक्शन" (द क्रैश - The Bad Reduction): यह तब होता है जब रोलरकोस्टर एक विशिष्ट स्थान (एक अभाज्य संख्या/prime number) पर ट्रैक के ऊबड़-खाबड़ हिस्से से टकराता है। इसके बजाय कि यह सुचारू रूप से फिसले, ट्रैक टूट जाता है या बिखर जाता है।

लंबे समय तक, गणितज्ञों को लगा कि इन दोनों का आपस में कोई लेना-देना नहीं है। उन्होंने सोचा कि आपके पास एक पूर्ण लूप-डी-लूप (टोरशन) वाला एक ऐसा ट्रैक हो सकता है जो हर जगह पूरी तरह से चिकना हो, या बिना किसी लूप वाला एक टूटा हुआ ट्रैक हो सकता है।

बड़ी खोज
एडम लोगन और डेविड मैकिनन, इस शोध पत्र के लेखक, ने एक आश्चर्यजनक नियम खोजा: कभी-कभी, यदि आपके रोलरकोस्टर में एक विशिष्ट, बड़ा लूप-डी-लूप है, तो यह गणितीय रूप से असंभव है कि ट्रैक कुछ स्थानों पर चिकना रहे। यदि लूप मौजूद है, तो क्रैश (टक्कर) होना अनिवार्य है।

जादुई मानचित्र: द मॉडुलर कर्व (The Magic Map: The Modular Curve)

इस प्रमाण को सिद्ध करने के लिए, लेखक एक "जादु적인 मानचित्र" का उपयोग करते हैं जिसे मॉडुलर कर्व (विशेष रूप से उनके मुख्य उदाहरण में $X_0(20)$ ) कहा जाता है।

इस जादुविक मानचित्र को एक विशाल कैटलॉग या मेनू की तरह समझें। ब्रह्मांड में मौजूद प्रत्येक एलिप्टिक कर्व जिसका एक विशिष्ट प्रकार का लूप (इस मामले में, 20 आकार का लूप) है, उसे इस मानचित्र पर सूचीबद्ध किया गया है। यदि आप मानचित्र पर एक बिंदु चुनते हैं, तो वह आपको बताता है कि आपका रोलरकोस्टर वास्तव में कैसा दिखता है।

लेखकों ने पाया कि इस विशिष्ट मानचित्र का एक विशेष आकार है: यह एक जीनस 1 कर्व (genus 1 curve) है। सरल शब्दों में, इसका मतलब है कि मानचित्र स्वयं एक डोनट (टोरस) के आकार का है। यह आकार महत्वपूर्ण है क्योंकि यह उन्हें "मॉर्डेल-वील ग्रुप" (Mordell-Weil group - एक शानदार तरीका जिससे वे मानचित्र पर जोड़ने योग्य बिंदुओं के समूह को समझते हैं) से शक्तिशाली उपकरणों का उपयोग करने की अनुमति देता है।

जासूसी कार्य: प्रमाण कैसे काम करता है

यहाँ उनके तर्क का सादृश्य (analogy) दिया गया है:

"इन्फिनिटी" स्पॉट: इस जादुई मानचित्र पर, "कस्प्स" (cusps) नामक विशेष बिंदु होते हैं। कल्पना करें कि ये मानचित्र पर "लाइन के अंत" या "इन्फिनिटी" के स्थान हैं। यदि कोई रोलरकोस्टर "इन्फिनिटी" के पास के बिंदु को दर्शाता है, तो इसका मतलब है कि ट्रैक एक विशिष्ट अभाज्य संख्या (जैसे संख्या 3) पर टूटा हुआ है (बैड रिडक्शन)।
द ट्रैप (जाल): लेखकों ने सिद्ध किया कि कुछ नंबर फील्ड्स (जैसे $\mathbb{Q}(\sqrt{-11})$ ) के लिए, इस जादुई मानचित्र पर मौजूद प्रत्येक एकल बिंदु, जो एक वैध रोलरकोस्टर का प्रतिनिधित्व करता है, संख्या 3 के लेंस से देखने पर "इन्फिनिटी" के एक बिंदु के "करीब" होने के लिए गणितीय रूप से मजबूर है।
निष्कर्ष: चूंकि प्रत्येक वैध रोलरकोस्टर "इन्फिनिटी" के स्पॉट के करीब होने के लिए मजबूर है, इसलिए उन सभी का ट्रैक संख्या 3 पर टूटा हुआ (बैड रिडक्शन) होना ही चाहिए।

संख्या 3 क्यों महत्वपूर्ण है

पेपर में संख्या 3 से जुड़े दो अलग-अलग परिदृश्यों पर प्रकाश डाला गया है, जो एक चाबी की तरह दरवाजा खोलने का काम करती है:

परिदृश्य A (स्प्लिटिंग - Splitting): कुछ नंबर वर्ल्ड्स में, संख्या 3 दो अलग-अलग टुकड़ों में विभाजित हो जाती है (जैसे सड़क पर दोराहा)। लेखक दिखाते हैं कि यदि आपका लूप आकार 20 है, तो आप उस पथ पर जाने के लिए मजबूर हैं जो दोनों हिस्सों में क्रैश (टक्कर) की ओर ले जाता है।
परिदृश्य B (इनर्ट - Inert): अन्य नंबर वर्ल्ड्स में, संख्या 3 एक ठोस ब्लॉक के रूप में रहती है (यह विभाजित नहीं होती है)। लेखक इस मानचित्र के "ट्विस्ट" (twists) का उपयोग करके एक अलग तकनीक का उपयोग करते हैं, यह दिखाने के लिए कि यहाँ भी, लूप एक क्रैश को मजबूर करता है।

"जीनस" की समस्या

लेखक उल्लेख करते हैं कि एक पेच है। उनकी विधि तब सबसे अच्छा काम करती है जब जादुविक मानचित्र एक डोनट (जीनस 1) के आकार का होता है।

डोनट (जीनस 1): आपके पास अनंत रोलरकोस्टर्स हो सकते हैं, और यह नियम उन सभी पर लागू होता है।
उच्च आकार (जीनस 2+): यदि मानचित्र एक प्रेट्ज़ल (pretzel) या किसी अधिक जटिल चीज़ के आकार का है, तो "फाइनाइटनेस थ्योरम" (Finiteness Theorem) लागू हो जाता है। इसका मतलब है कि मानचित्र पर केवल सीमित संख्या में रोलरकोस्टर्स हैं। इसलिए, हालांकि नियम अभी भी काम करता है, यह केवल कर्व्स की एक छोटी, सीमित सूची पर लागू होता है, न कि अनंत परिवारों पर।

वास्तविक दुनिया का निष्कर्ष

पेपर एक विशिष्ट "लेवल्स" (लूप के आकार) और "प्राइम्स" (क्रैश के स्थान) की सूची के साथ समाप्त होता है।

मुख्य परिणाम सरल अंग्रेजी (हिंदी) में:
"यदि आप एक विशिष्ट नंबर फील्ड पर परिभाषित एक एलिप्टिक कर्व (रोलरकोस्टर) पाते हैं जिसमें 20 आकार का दोहराव वाला लूप है, तो आप 100% निश्चित हो सकते हैं कि ट्रैक संख्या 3 पर टूट जाएगा। आप इसे बनाने की कितनी भी कोशिश करें, गणित इसे वहां क्रैश होने के लिए मजबूर करता है।"

वे अन्य लूप आकारों (जैसे 24, 32, आदि) और अन्य क्रैश स्थानों (जैसे 5, 7, 11) के लिए एक रेसिपी भी प्रदान करते हैं, जो यह दर्शाता है कि यह एक व्यापक घटना है, न कि केवल एक बार होने वाली घटना।

संक्षेप में, यह पेपर एक विशेष "डोनट-आकार" के मानचित्र का उपयोग करके गणितीय कर्व्स की दो अलग-अलग विशेषताओं (उनके लूप और उनके टूटे हुए ट्रैक) को जोड़ता है। वे सिद्ध करते हैं कि एक बड़ा लूप होने से विशिष्ट संख्याओं पर ट्रैक का टूटना अनिवार्य हो जाता है, जिससे एक रहस्य एक अनुमानित नियम में बदल जाता है।

यहाँ एडम लोगन और डेविड मैककिनन के शोध पत्र "Modular Curves and Bad Reduction" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र एलिप्टिक कर्व्स (elliptic curves) के अंकगणित (arithmetic) के एक मौलिक प्रश्न को संबोधित करता है: एक एलिप्टिक कर्व के टॉर्शन स्ट्रक्चर (torsion structure) और उसके बैड रिडक्शन के स्थानों (places of bad reduction) के बीच का संबंध।

संदर्भ (Context): पारंपरिक रूप से, इस क्षेत्र के परिणाम बैड रिडक्शन से टॉर्शन की ओर बढ़ते हैं (उदाहरण के लिए, यदि किसी कर्व का प्राइम $p$ पर एडिटिव रिडक्शन है, तो उसका रेशनल टॉर्शन एक $p$ -ग्रुप होगा)।
अंतराल (The Gap): लेखक विपरीत दिशा की जाँच करते हैं: क्या विशिष्ट टॉर्शन स्ट्रक्चर, विशिष्ट प्राइम्स पर बैड रिडक्शन के अस्तित्व को मजबूर कर सकते हैं?
विशिष्ट फोकस (Specific Focus): यह शोध पत्र उन एलिप्टिक कर्व्स $E$ पर केंद्रित है जो एक संख्या क्षेत्र (number field) $k$ पर परिभाषित हैं और जिनमें एक विशिष्ट क्रम (order) (जैसे, क्रम 20) का रेशनल साइक्लिक टॉर्शन सबग्रुप है। लक्ष्य यह सिद्ध करना है कि ऐसे कर्व्स को कुछ प्राइम्स $\mathfrak{p}$ पर बैड रिडक्शन (विशेष रूप से, पोटेंशियल गुड रिडक्शन नहीं) होना ही चाहिए।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

मुख्य कार्यप्रणाली मॉड्यूलर कर्व्स (modular curves) की ज्यामिति पर आधारित है, विशेष रूप से $X_0(N)$ और $X_1(N)$ , जो विशिष्ट टॉर्शन स्ट्रक्चर वाले एलिप्टिक कर्व्स को पैरामीटराइज़ करते हैं।

मॉड्यूलर कर्व पत्राचार (Modular Curve Correspondence): एक विशिष्ट क्रम $N$ का साइक्लिक टॉर्शन सबग्रूब रखने वाला एक एलिप्टिक कर्व $E/k$ , मॉड्यूलर कर्व $C = X_0(N)$ (या $X_1(N)$ ) पर एक $k$ -रेशनल पॉइंट $P$ के अनुरूप होता है।
जीनस 1 प्रतिबंध (Genus 1 Constraint): लेखक अपने प्राथमिक विश्लेषण को जीनस 1 के मॉड्यूलर कर्व्स तक सीमित रखते हैं। यह अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि:
- जीनस 1 के कर्व पर रेशनल पॉइंट्स का सेट एक फिनाइटली जेनरेटेड एबेलियन ग्रुप (Mordell-Weil group) बनाता है।
- यदि कर्व की रैंक पॉजिटिव है, तो विचार करने के लिए अनंत आइसोमॉर्फिज्म क्लासेस मौजूद होती हैं।
$\mathfrak{p}$ के मॉड्यूल रिडक्शन (Reduction Modulo $\mathfrak{p}$ ): प्रमाण की रणनीति मॉड्यूलर कर्व $C$ $C$ के प्राइम $\mathfrak{p}$ $p$ के मॉड्यूल रिडक्शन का विश्लेषण करने पर आधारित है।
- कस्प्स के रूप में टॉर्शन (Cusps as Torsion): मॉड्यूलर कर्व के कस्प्स (cusps) डिजेनरेट एलिप्टिक कर्व्स (जहाँ $j$ -invariant $\infty$ होता है) के अनुरूप होते हैं। ये बिंदु Mordell-Weil ग्रुप में टॉर्शन पॉइंट्स होते हैं।
- "लॉकस एट इनफिनिटी" (The "Locus at Infinity"): यदि एक बिंदु $P \in C(k)$ प्राइम $\mathfrak{p}$ के मॉड्यूल एक कस्प पर रिड्यूस होता है, तो संगत एलिप्टिक कर्व $E_P$ का $j$ -invariant $\mathfrak{p}$ पर नॉन-इंटीजर होता है, जो बैड रिडक्शन (विशेष रूप से मल्टीप्लिकेटिव या एडिटिव रिडक्शन जो पोटेंशियल गुड नहीं है) को दर्शाता है।
सरजक्टिविटी तर्क (Surjectivity Arguments): लेखक समूह-सैद्धांतिक तर्कों का उपयोग यह दिखाने के लिए करते हैं कि मॉड्यूलर कर्व पर प्रत्येक $k$ $k$ -रेशनल पॉइंट $\mathfrak{p}$ $p$ के मॉड्यूल एक कस्प पर रिड्यूस होता है। यह निम्नलिखित द्वारा प्राप्त किया जाता है:
1. Mordell-Weil ग्रुप $C(k)$ के जनरेटर्स (generators) की पहचान करना।
2. यह दिखाना कि ये जनरेटर्स (और टॉर्शन सबग्रुप) कस्प्स पर रिड्यूस होते हैं।
3. यह सिद्ध करना कि कस्प्स पर रिड्यूस होने वाले बिंदुओं का सेट एक सबग्रुप बनाता है, जिससे पूरा $C(k)$ कवर हो जाता है।
2-डेसेंट (2-Descent): क्वाड्रेटिक फील्ड्स और $X_0(20)$ वाले विशिष्ट मामलों के लिए, लेखक $E(\mathbb{Q}) \oplus E^\sigma(\mathbb{Q}) \to E(K)$ की सरजक्टिविटी का विश्लेषण करने के लिए 2-डेसेंट तकनीकों का उपयोग करते हैं, जहाँ $K$ एक क्वाड्रेटिक एक्सटेंशन है और $E^\sigma$ इसका क्वाड्रेटिक ट्विस्ट है।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

A. बैड रिडक्शन पर सामान्य प्रमेय

शोध पत्र टॉर्शन को बैड रिडक्शन से जोड़ने वाले कई प्रमेय स्थापित करता है:

Theorem 2.1 & 2.3: यदि मॉड्यूलर कर्व $C$ का जीनस 1 है और Mordell-Weil ग्रुप $C(k)$ का प्रत्येक बिंदु प्राइम $\mathfrak{p}$ के मॉड्यूल एक कस्प पर रिड्यूस होता है, तो $k$ पर प्रत्येक एलिप्टिक कर्व (जिसमें संगत टॉर्शन स्ट्रक्चर है) $\mathfrak{p}$ पर बैड रिडक्शन रखेगा।
Theorem 2.4: क्वाड्रेटिक फील्ड्स $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ के लिए एक परिष्कृत परिणाम जहाँ एक प्राइम $p$ इनर्ट (inert) है। यदि कर्व और उसके ट्विस्ट के रेशनल पॉइंट्स से कर्व के पॉइंट्स तक का मैप सरजेक्टिव है, और रिडक्शन की शर्तें पूरी होती हैं, तो बैड रिडक्शन अनिवार्य हो जाता है।

B. विशिष्ट मामला: ऑर्डर 20 टॉर्शन

लेखक $X_0(20)$ का उपयोग करके ठोस उदाहरण प्रदान करते हैं, जिसका जीनस 1 और 6 कस्प्स हैं।

Theorem 2.2: यदि एक संख्या क्षेत्र $k$ $k$ पर एक एलिप्टिक कर्व में क्रम 20 का रेशनल साइक्लिक टॉर्शन सबग्रुप है, और प्राइम 3 $k$ $k$ में टोटली स्प्लिट (totally split) है, तो कर्व का $\mathfrak{p}$ $p$ पर सभी प्राइम्स (जो 3 के ऊपर स्थित हैं) पर बैड रिडक्शन होगा।
- उदाहरण: $k = \mathbb{Q}(\sqrt{-11})$ पर, 3 स्प्लिट होता है। अतः, ऐसा कोई भी कर्व 3 के ऊपर स्थित प्राइम्स पर बैड रिडक्शन रखेगा।
Theorem 2.2 (Inert Case): यदि 3 $k$ में इनर्ट (inert) है (जैसे, $k = \mathbb{Q}(\sqrt{17})$ ), तो Mordell-Weil ग्रुप के जनरेटर्स के संबंध में विशिष्ट शर्तों के तहत परिणाम अभी भी लागू होता है।

C. लेवल्स और प्राइम्स का वर्गीकरण

लेखक विभिन्न लेवल्स $N$ के लिए जीनस 1 वाले मॉड्यूलर कर्व्स $X_0(N)$ का व्यवस्थित विश्लेषण करते हैं।

नॉन-कस्पिडल पॉइंट्स वाले लेवल्स: $N \in \{11, 14, 15, 17, 19, 21, 27\}$ के लिए, नॉन-कस्पिडल रेशनल पॉइंट्स मौजूद हैं। लेखक नोट करते हैं कि उनकी तकनीकें यहाँ आम तौर पर विफल हो जाती हैं क्योंकि सभी पॉइंट्स कस्प्स पर रिड्यूस नहीं होते हैं।
सफलता वाले लेवल्स: $N \in \{20, 24, 32, 36, 49\}$ $N \in {20, 24, 32, 36, 49}$ के लिए, शर्तें संतुष्ट होती हैं।
- Table 1 प्रत्येक $N$ के लिए उन विशिष्ट प्राइम्स $p$ को सूचीबद्ध करता है जहाँ हाइपोथीसिसिस (hypothesis) लागू होता है।
- उदाहरण: $N=24$ के लिए, $\mathbb{Q}(\sqrt{10})$ पर कोई भी एलिप्टिक कर्व जिसमें ऑर्डर 24 का सबग्रुप है, उसे 5 पर बैड रिडक्शन होना चाहिए (चूंकि 5, $\mathbb{Q}(\sqrt{10})$ में रैमिफाइड है)।

D. $X_1(N)$ पर अनुप्रयोग

लेखक $X_1(N)$ कर्व्स (जो $N$ के ऑर्डर वाले पॉइंट्स को पैरामीटराइज़ करते हैं) के विश्लेषण को विस्तारित करते हैं।

वे $X_1(11), X_1(14), X_1(15)$ का विश्लेषण करते हैं और विशिष्ट प्राइम्स (जैसे, 2, 3, 5) निर्धारित करते हैं जहाँ 11, 14, या 15 के ऑर्डर वाले कर्व्स के लिए बैड रिडक्शन अनिवार्य है।
वे नोट करते हैं कि कस्प स्ट्रक्चर में बदलाव के कारण परिणाम आइसोजेनी (isogeny) के तहत इनवेरिएंट (invariant) नहीं हैं।

E. डिविजिबिलिटी और रैंक विश्लेषण (Section 3)

लेखक $X_0(20)$ और क्वाड्रेटिक फील्ड्स के लिए $E(\mathbb{Q}) \oplus E^\sigma(\mathbb{Q}) \to E(\mathbb{Q}(\sqrt{q}))$ की सरजेक्टिविटी के संबंध में एक कठोर प्रमाण (Theorem 3.1) प्रदान करते हैं।

2-डेसेंट का उपयोग करते हुए, वे सेलर ग्रुप (Selmer group) की संरचना निर्धारित करते हैं।
Corollary 3.2: वे एक प्राइम $q$ पर एक शर्त प्राप्त करते हैं जिससे यह सुनिश्चित होता है कि $\mathbb{Q}(\sqrt{q})$ पर प्रत्येक एलिप्टिक कर्व जिसमें ऑर्डर 20 का साइक्लिक सबग्रुप है, उसमें 3 पर बैड रिडक्शन होगा। यह बेस फील्ड में 3 के स्प्लिट और इनर्ट दोनों मामलों को एकीकृत करता है।

4. महत्व (Significance)

तर्क को उलटना (Reversing the Logic): यह शोध पत्र एलिप्टिक कर्व्स के अध्ययन में मानक निष्कर्ष की दिशा को सफलतापूर्वक उलट देता है, यानी टॉर्शन बाधाओं से रिडक्शन गुणों की ओर बढ़ता है।
अनंत परिवार (Infinite Families): फालटिंग्स थ्योरम (Faltings' Theorem) पर आधारित परिणामों के विपरीत (जो केवल उच्च जीनस में सीमित कर्व्स पर लागू होते हैं), जीनस 1 पर ध्यान केंद्रित करने से लेखक विशिष्ट संख्या क्षेत्रों पर अनंत आइसोमॉर्फिज्म क्लासेस के बारे में बयान देने में सक्षम होते हैं।
स्पष्ट मानदंड (Explicit Criteria): यह कार्य स्पष्ट, जांचने योग्य मानदंड (लेजेंड्रे सिंबल और प्राइम्स के स्प्लिटिंग व्यवहार सहित) प्रदान करता है कि क्या किसी कर्व को विशिष्ट टॉर्शन के साथ बैड रिडक्शन रखना ही होगा।
मेथोडोलॉजिकल ब्रिज (Methodological Bridge): यह मॉड्यूलर कर्व्स के अंकगणित (Mordell-Weil groups, cusps) और एलिप्टिक कर्व्स के लोकल अंकगणित ( $j$ -invariants, reduction types) के बीच के अंतर को पाटता है।

5. निष्कर्ष (Conclusion)

लोगन और मैककिनन यह प्रदर्शित करते हैं कि जीनस 1 के मॉड्यूलर कर्व्स की ज्यामिति उन एलिप्टिक कर्व्स पर सख्त प्रतिबंध लगाती है जिन्हें वे पैरामीटराइज़ करते हैं। यह सिद्ध करके कि इन मॉड्यूलर कर्व्स के सभी रेशनल पॉइंट्स विशिष्ट प्राइम्स के मॉड्यूल कस्प्स पर रिड्यूस होते हैं, वे स्थापित करते हैं कि विशिष्ट टॉर्शन स्ट्रक्चर वाले एलिप्टिक कर्व्स उन प्राइम्स पर पोटेंशियल गुड रिडक्शन नहीं रख सकते। यह कर्व्स के अनंत परिवारों के लिए शक्तिशाली, सामान्य परिणाम देता है, विशेष रूप से 20, 24 और 32 जैसे टॉर्शन ऑर्डर्स के लिए।