Modular curves and bad reduction

Résumé Technique : Courbes Modulaires et Mauvaise Réduction

1. Problématique

L'article aborde une question fondamentale en théorie des nombres : la relation entre la structure de la torsion rationnelle d'une courbe elliptique et l'ensemble de ses places de mauvaise réduction.

• Contexte : Habituellement, les résultats connus établissent des restrictions sur la torsion en fonction des places de mauvaise réduction (par exemple, une réduction additive implique que la torsion est un $p$-groupe).
• Objectif : Les auteurs inversent cette logique. Ils cherchent à démontrer que la présence d'une structure de torsion spécifique (correspondant à un point sur une courbe modulaire) force l'existence de mauvaises réductions à certaines places, et ce, même si la réduction n'est pas seulement mauvaise, mais non potentiellement bonne.
• Cas concret motivant : Toutes les courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}(\sqrt{-11})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{17})$ possédant un sous-groupe de torsion cyclique d'ordre 20 ont une mauvaise réduction à toutes les places au-dessus de 3.

2. Méthodologie

La stratégie repose sur l'analyse géométrique des courbes modulaires $X_0(N)$ et $X_1(N)$, en particulier celles de genre 1.

• Correspondance Courbe-Point : Une courbe elliptique $E$ avec une structure de torsion donnée correspond à un point rationnel sur une courbe modulaire $C$.
• Réduction modulo $p$ : L'idée centrale est d'étudier le comportement de ces points rationnels modulo un nombre premier $\ell$.
• Rôle des pointes (Cusps) : Les pointes de la courbe modulaire correspondent à des courbes elliptiques avec une réduction singulière (j-invariant infini). Si un point rationnel $P \in C(k)$ se réduit modulo $\ell$ vers une pointe, alors la courbe elliptique associée a un j-invariant non entier en $\ell$, ce qui implique une mauvaise réduction (non potentiellement bonne).
• Outils Algébriques :
  • Théorème de Mordell-Weil : Utilisation de la structure du groupe de points rationnels $C(k)$ (partie libre et partie de torsion).
  • Descente par 2 : Pour prouver la surjectivité de certaines applications entre groupes de points sur des corps quadratiques, les auteurs utilisent la théorie de la descente sur les courbes elliptiques (calcul du groupe de Selmer).
  • Analyse locale : Étude des points rationnels sur les corps finis $\mathbb{F}_q$ et leur relèvement.

3. Résultats Principaux

Les auteurs établissent plusieurs théorèmes reliant la géométrie de la courbe modulaire à la réduction des courbes elliptiques.

A. Théorèmes Généraux (Théorèmes 2.1 à 2.4)

• Hypothèse clé : La courbe modulaire $C$ est de genre 1.
• Théorème 2.1 & 2.3 : Si tous les points rationnels d'une courbe modulaire $C$ (sur un corps $k$) se réduisent modulo un premier $\ell$ vers une pointe (c'est-à-dire que l'image de réduction est dans l'ensemble des pointes), alors toute courbe elliptique correspondante a une mauvaise réduction en $\ell$.
  • Cela s'applique lorsque le rang de Mordell-Weil est tel que les générateurs du groupe libre tombent dans la « zone à l'infini » modulo $\ell$.
• Théorème 2.4 (Cas Quadratique) : Pour un corps quadratique $K$ et un premier $p$ inerte dans $K$, si la courbe modulaire $E$ a la propriété que tous ses points sur $\mathbb{F}_p$ proviennent de pointes, et si l'application naturelle $E(\mathbb{Q}) \oplus E^\sigma(\mathbb{Q}) \to E(K)$ est surjective (où $E^\sigma$ est la tordue), alors toute courbe sur $K$ a une mauvaise réduction en $p$.

B. Application aux Courbes d'Ordre 20 (Théorème 2.2)

• Pour la courbe $X_0(20)$ (genre 1, 6 pointes), le groupe de Mordell-Weil sur $\mathbb{Q}$ est de torsion d'ordre 6 (les pointes).
• Si $k$ est un corps où 3 est totalement décomposé, alors tout point $k$-rationnel de $X_0(20)$ se réduit modulo 3 vers une pointe.
• Conclusion : Toute courbe elliptique sur un tel corps $k$ avec un sous-groupe de torsion d'ordre 20 a une mauvaise réduction à toutes les places au-dessus de 3.

C. Classification et Exemples (Tableau 1)
Les auteurs identifient les niveaux $N$ pour lesquels $X_0(N)$ est de genre 1 et vérifient les conditions des théorèmes pour divers premiers $p$.

• Niveaux concernés : $N = 20, 24, 32, 36, 49$.
• Exemple notable : Pour $N=24$, sur $K=\mathbb{Q}(\sqrt{10})$, toute courbe avec un sous-groupe d'ordre 24 a une mauvaise réduction en 5.

D. Analyse des Courbes $X_1(N)$ (Exemple 2.6)

• Les auteurs étendent l'analyse aux courbes $X_1(N)$ (ex: $N=11, 13, 14, 15$).
• Ils montrent que pour certains $N$ et certains premiers $p$, les conditions sont satisfaites, imposant ainsi des contraintes de réduction pour les courbes ayant un point d'ordre $N$.

D. Résultats sur la Surjectivité (Théorème 3.1 et Corollaire 3.2)

• Pour valider l'hypothèse de surjectivité du Théorème 2.4, les auteurs analysent la descente par 2 sur la tordue $E^\sigma$ de la courbe $y^2 = x^3 + x^2 + 4x + 4$.
• Théorème 3.1 : Détermine la surjectivité de $E(\mathbb{Q}) \oplus E^\sigma(\mathbb{Q}) \to E(\mathbb{Q}(\sqrt{q}))$ en fonction de $q \pmod{20}$.
  • Si $q \equiv 13, 17 \pmod{20}$, la carte est surjective.
  • Si $q \equiv 11, 19 \pmod{20}$, elle ne l'est pas (sous hypothèse de finitude du 2-partie du groupe de Tate-Shafarevich).
• Corollaire 3.2 : Combine ces résultats pour prouver que pour $q$ premier tel que $\left(\frac{-20}{q}\right) = -1$ et certaines conditions de réciprocité, toute courbe sur $\mathbb{Q}(\sqrt{q})$ avec torsion d'ordre 20 a une mauvaise réduction en 3.

4. Contributions Clés

1. Inversion de la logique : Passage de « mauvaise réduction $\implies$ restrictions de torsion » à « torsion spécifique $\implies$ mauvaise réduction forcée ».
2. Utilisation systématique du genre 1 : Démonstration que les courbes modulaires de genre 1 offrent un cadre puissant pour lier la torsion et la réduction via l'arithmétique des points rationnels.
3. Nouveaux exemples explicites : Identification de familles infinies de courbes elliptiques sur des corps quadratiques (ex: $\mathbb{Q}(\sqrt{142})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{4966})$) qui doivent avoir une mauvaise réduction à des premiers spécifiques (3, 7, 31, etc.).
4. Distinction de la réduction : Mise en évidence que la réduction n'est pas seulement mauvaise, mais non potentiellement bonne (le j-invariant n'est pas entier), ce qui est une condition plus forte.

5. Signification et Limites

• Signification : Ce travail éclaire la structure profonde des courbes elliptiques en reliant des propriétés globales (torsion) à des propriétés locales (réduction). Il fournit des critères constructifs pour détecter la mauvaise réduction sans calculer explicitement le discriminant de la courbe.
• Limites :
  • La méthode repose principalement sur le fait que la courbe modulaire est de genre 1.
  • Pour les courbes de genre $\ge 2$, le théorème de Faltings (Mordell) implique qu'il n'y a qu'un nombre fini de points rationnels sur un corps de nombres donné. Ainsi, bien que les principes s'appliquent, les résultats ne concernent qu'un nombre fini de classes d'isomorphisme de courbes elliptiques, contrairement au cas de genre 1 où il peut y avoir une infinité.
  • La surjectivité des applications entre groupes de points (Théorème 2.4) nécessite des calculs de descente complexes et dépend de conjectures sur le groupe de Tate-Shafarevich.

En résumé, Logan et McKinnon démontrent que la géométrie des courbes modulaires de genre 1 impose des contraintes arithmétiques rigides sur les courbes elliptiques qu'elles paramètrent, forçant l'existence de mauvaises réductions à des places précises dès lors qu'une structure de torsion particulière est présente.