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Asymptotic e-processes

यह शोधपत्र अनुक्रमिक परिकल्पना परीक्षण (sequential hypothesis testing) में व्यावहारिक चुनौतियों को संबोधित करने के लिए 'एसिम्प्टोटिक ई-प्रोसेस' (asymptotic e-processes) की अवधारणा प्रस्तुत करता है, जहाँ ई-चर (e-variables) का निर्माण अनुमानित रूप से किया जाता है, जिसमें विचलन की संभावनाओं (excursion probabilities) को सीमित करने के लिए विले के असमानता (Ville's inequality) के एक एसिम्प्टोटिक संस्करण को व्युत्पन्न किया गया है और इसके सैद्धांतिक गुणों एवं निर्माण विधियों का अन्वेषण किया गया है।

मूल लेखक: Pierre-François Massiani, Sebastian Schulze, Mattes Mollenhauer

प्रकाशित 2026-04-22

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Pierre-François Massiani, Sebastian Schulze, Mattes Mollenhauer

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य विचार: "हमेशा वाला" खेल (The "Forever" Game)

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो एक अपराधी (Null Hypothesis) को पकड़ने की कोशिश कर रहे हैं। आप नहीं जानते कि अपराधी कब हमला करेगा, या क्या वह हमला करेगा भी या नहीं। आप उनकी 24/7 निगरानी कर रहे हैं।

पुराने समय के सांख्यिकी (statistics) में, आपको प्रयोग शुरू करने से पहले ही यह तय करना होता था कि आप कितनी देर तक निगरानी करेंगे। यदि आप अपना निर्णय बदलते और बेहतर सबूत दिखने पर अधिक समय तक निगरानी करते, तो आपका गणित बिगड़ जाता और आपका निष्कर्ष अमान्य हो जाता। यह एक न्यायाधीश की तरह है जो कहता है, "मैं आपको केवल तभी सजा दे सकता हूँ यदि मैंने वादा किया हो कि मैं ठीक शाम 5 बजे सुनवाई समाप्त कर दूँगा।"

Safe Anytime-Valid Inference (SAVI) ने इस खेल को बदल दिया। इसने एक उपकरण पेश किया जिसे e-process कहा जाता है। e-process को एक "संदेह मीटर" (Suspicion Meter) के रूप में सोचें।

यदि अपराधी निर्दोष है, तो मीटर कम रहता है (1 के करीब)।
यदि अपराधी दोषी है, तो मीटर ऊपर चढ़ने लगता है।
SAVI का जादू यह है कि आप किसी भी समय मीटर की जांच कर सकते हैं। यदि यह एक निश्चित सीमा (मान लीजिए 20) से ऊपर चला जाता है, तो आप रुक सकते हैं और कह सकते हैं, "मुझे 95% यकीन है कि वे दोषी हैं," और गणित सही रहेगा, चाहे आपने किसी भी समय रुकने का निर्णय लिया हो।

समस्या: "अपूर्ण जासूस" (The "Imperfect Detective")

पेपर एक वास्तविक दुनिया की समस्या की ओर इशारा करता है: हमारे पास शायद ही कभी पूर्ण जानकारी होती है।

एक आदर्श "संदेह मीटर" बनाने के लिए, आपको आमतौर पर खेल के सटीक नियमों (वास्तविक प्रायिकता वितरण/true probability distribution) को जानने की आवश्यकता होती है। लेकिन वास्तविक जीवन में, हमें इन नियमों का अनुमान (estimate) लगाना पड़ता है। हम एक ऐसे मॉडल का उपयोग करते हैं जो लगभग सही है, लेकिन पूरी तरह से नहीं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक सस्पेंशन ब्रिज बना रहे हैं। गणित कहता है कि यह सुरक्षित है यदि स्टील 100% शुद्ध है। लेकिन वास्तव में, आपका स्टील 99% शुद्ध है। यदि आप ऐसा ब्रिज बनाते हैं जो 100% शुद्धता पर निर्भर है, तो वह ढह सकता है।
मुद्दा: जब आप अपने e-process को बनाने के लिए इन "अपूर्ण" अनुमानों का उपयोग करते हैं, तो छोटी त्रुटियाँ (1% अशुद्धि) जुड़ती (compound) जाती हैं। हर बार जब आप मीटर की जांच करते हैं, तो एक छोटी सी त्रुटि जुड़ जाती है। समय के साथ, भले ही अपराधी निर्दोष हो, मीटर धीरे-धीरे ऊपर की ओर बढ़ सकता है क्योंकि गणित गलत है, जिससे आपको भ्रम हो सकता है कि आपने अपराधी ढूंढ लिया है।

समाधान: "एसिम्प्टोटिक e-process" (The "Asymptotic e-process")

लेखक एक नई अवधारणा पेश करते हैं: Asymptotic e-process।

मीटर को अभी एकदम सटीक होने की मांग करने के बजाय, वे स्वीकार करते हैं कि शुरुआत में यह थोड़ा "डगमगाता" (wobbly) रहेगा, लेकिन जैसे-जैसे आप अपने मॉडल में सुधार करेंगे (जैसे-जैसे आपके पास डेटा बढ़ेगा), यह बेहतर होता जाएगा।

वे एक चतुर तकनीक का उपयोग करते हैं जिसमें एक समय सीमा (Time Limit) शामिल है जो आपके कौशल के साथ बढ़ती है।

उपमा: "ट्रेनिंग व्हील्स" का क्षितिज (The "Training Wheels" Horizon)

कल्पना कीजिए कि आप एक बच्चे को साइकिल चलाना सिखा रहे हैं।

एप्रोक्सिमेशन इंडेक्स ( $m$ ): यह बच्चे का कौशल स्तर है। $m=1$ एक छोटा बच्चा है; $m=1000$ एक पेशेवर है।
मॉनिटरिंग टाइम ( $n$ ): यह उनके द्वारा तय की गई दूरी है।
क्षितिज ( $r_m$ ): यह उस विशिष्ट कौशल स्तर के लिए समय सीमा या दूरी की सीमा है।

अंतर्दृष्टि:

यदि बच्चा छोटा है ( $m$ छोटा है), तो उसका संतुलन डगमगाता है। वह केवल कम दूरी तक सुरक्षित रूप से चल सकता है ( $r_m$ छोटा है)। यदि वह बहुत दूर तक जाता है, तो वह गिर जाएगा (त्रुटि बढ़ती है, और मीटर टूट जाता है)।
यदि वह एक पेशेवर है ( $m$ बहुत बड़ा है), तो उसका संतुलन लगभग पूर्ण है। वह मीलों तक सुरक्षित रूप से चल सकता है ( $r_m$ बहुत बड़ा है)।

पेपर की सफलता:
लेखकों का कहना है: "हमें साइकिल को हमेशा के लिए पूर्ण होने की आवश्यकता नहीं है। हमें बस यह जानने की आवश्यकता है कि जैसे-जैसे बच्चा बेहतर होता जाता है (जैसे-जैसे $m \to \infty$ ), सुरक्षित दूरी ( $r_m$ ) लंबी होती जाती है।"

अंततः, जैसे-जैसे बच्चा एक उस्ताद बनता है ( $m \to \infty$ ), सुरक्षित दूरी अनंत हो जाती है। उस बिंदु पर, "डगमगाहट" गायब हो जाती है, और मीटर किसी भी समय के लिए भरोसेमंद होता है।

यह कैसे काम करता है ("Ville's Inequality" का अपडेट)

पुराने युग में, Ville's Inequality एक नियम था जिसने कहा था: "यदि मीटर निर्दोष है, तो इसके कभी भी रेखा से ऊपर जाने की संभावना बहुत कम है।"

लेखकों ने एक Asymptotic Ville's Inequality बनाया। यह कहता है:

"यदि आप एक थोड़े अपूर्ण मॉडल का उपयोग करते हैं, तो मीटर रेखा से ऊपर जा सकता है यदि आप बहुत लंबे समय तक प्रतीक्षा करते हैं। लेकिन, यदि आप उस विशिष्ट मॉडल की गुणवत्ता के लिए 'सुरक्षा क्षितिज' ( $r_m$ ) से पहले रुक जाते हैं, तो गलत अलार्म (false alarm) की संभावना अभी भी बहुत कम है। और जैसे-जैसे आपका मॉडल बेहतर होता है, आपका सुरक्षा क्षितिज अनंत तक खिंच जाता है।"

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यथार्थवाद (Realism): यह स्वीकार करता है कि विज्ञान और चिकित्सा में, हमें अक्सर अनुमानित मॉडलों का उपयोग करना पड़ता है। हमें परीक्षण शुरू करने के लिए पूर्ण ज्ञान की आवश्यकता नहीं है; हमें बस यह जानने की आवश्यकता है कि हम अपने "अपूर्ण" परीक्षण पर कब तक भरोसा कर सकते हैं।
लचीलापन (Flexibility): यह शोधकर्ताओं को अपने प्रयोगों को कभी भी शुरू करने और रोकने की अनुमति देता है, भले ही उनके सांख्यिकीय मॉडल अभी पूर्ण न हों, जब तक कि वे "सुरक्षा क्षितिज" का सम्मान करते हैं।
"संचयी उत्पाद" (Cumulative Product) सुधार: पेपर दिखाता है कि कैसे हम साक्ष्य के छोटे टुकड़ों को आपस में गुणा करके इन मीटरों को बना सकते हैं। अतीत में, यदि टुकड़े थोड़े "गलत" होते थे, तो पूरा उत्पाद अनियंत्रित होकर बढ़ जाता था। लेखक दिखाते हैं कि यदि आप उन्हें गुणा करने के समय (क्षितिज $r_m$ ) को सीमित करते हैं, तो विस्फोट नियंत्रित रहता है, और लंबे समय में गणित सही रहता है।

एक वाक्य में सारांश

यह पेपर सांख्यिकीय परीक्षण करने का एक नया तरीका आविष्कार करता है जो यह स्वीकार करता है कि हमारे मॉडल अपूर्ण हैं, जिससे हमें अपने परिणामों पर तब तक भरोसा करने की अनुमति मिलती है जब तक कि हमारे मॉडल पर्याप्त अच्छे हैं, इस गारंटी के साथ कि जैसे-जैसे हमारे मॉडल पूर्ण होते जाएंगे, हमारा भरोसा असीमित होता जाएगा।

यहाँ मासियानी, शुलज़ और मोलनहाउर के शोध पत्र "Asymptotic e-processes" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

क्रमिक परिकल्पना परीक्षण (Sequential hypothesis testing) "सेफ एनीटाइम-वैलिड इन्फरेंस" (SAVI) प्रदान करने के लिए e-processes (और उनके निर्माण खंडों, e-variables) पर निर्भर करता है। शास्त्रीय p-values के विपरीत, e-processes लचीले स्टॉपिंग रूल्स (optional stopping) की अनुमति देते हैं जबकि सख्त टाइप I एरर नियंत्रण बनाए रखते हैं। विशेष रूप से, यदि नल हाइपोथीसिस (null hypothesis) सत्य है, तो एक e-process उच्च प्रायिकता के साथ छोटा रहता है; यदि नल हाइपोथीसिस गलत है, तो यह बढ़ता है।

हालाँकि, व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, सटीक e-processes का निर्माण करना अक्सर असंभव होता है क्योंकि इसके लिए अज्ञात मात्राओं (जैसे, वास्तविक वितरण या पैरामीटर) का सटीक ज्ञान आवश्यक होता है जिन्हें डेटा से अनुमानित किया जाना चाहिए। इससे मॉडल मिसस्पेसिफिकेशन (model misspecification) या अनुमान त्रुटियाँ (estimation errors) उत्पन्न होती हैं।

अंतराल (The Gap): जबकि एसिम्प्टोटिक e-variables (e-variables की अनुक्रम जो e-variables की ओर अभिसरित होते हैं) को परिभाषित किया गया है, अप्रॉक्सिमेशन एरर्स की उपस्थिति में एनीटाइम-वैलिडिटी गारंटी बनाए रखने वाले एसिम्प्टोटिक e-processes के लिए एक कठोर ढांचा गायब था।
नाइव अप्रोच की विफलता (The Naive Approach Failure): एसाइम्प्टोटिक सेटिंग में e-processes का सीधा सामान्यीकरण (जिसके लिए विले के इनइक्वालिटी (Ville's inequality) का सभी समय क्षितिज $n$ के लिए सत्य होना आवश्यक है) बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक है। विशेष रूप से, यदि एक e-variable में थोड़ा अतिरिक्त माध्य ( $1+\delta_m$ ) है, तो संचयी उत्पाद निर्माण (cumulative product construction - जो e-processes के लिए मानक है) इस त्रुटि को घातीय रूप से (exponentially) बढ़ा देता है, जिससे प्रक्रिया विचलन (diverge) करती है और किसी भी निश्चित $m$ के लिए e-process की स्थिति का उल्लंघन करती है।

2. कार्यप्रणाली और मुख्य अवधारणा (Methodology and Core Concept)

लेखक $r$ -asymptotic e-processes पेश करते हैं, जो एक दोहरे सूचकांक वाला स्टोकेस्टिक प्रोसेस $(E_{m,n})_{m,n \in \mathbb{N}}$ है, जहाँ:

$n$ : निगरानी समय (monitoring time/sequential observation index)।
$m$ : अप्रॉक्सिमेशन इंडेक्स (अनुमान की गुणवत्ता या मॉडल का प्रतिनिधित्व करने वाला, जहाँ $m \to \infty$ बेहतर अप्रॉक्सिमेशन को दर्शाता है)।

मुख्य नवाचार: मॉनिटरिंग होराइजन $r_m$ (Key Innovation: The Monitoring Horizon $r_m$ )
सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए वैधता की मांग करने के बजाय, लेखक एक ऐसा निगरानी क्षितिज (monitoring horizon) $r_m$ परिभाषित करते हैं जो अप्रॉक्सिमेशन की गुणवत्ता $m$ पर निर्भर करता है।

अंतर्ज्ञान (Intuition): जैसे-जैसे अप्रॉक्सिमेशन में सुधार होता है ( $m \to \infty$ ), अनुमत मॉनिटरिंग होराइजन $r_m$ बढ़ता जाता है ( $r_m \to \infty$ )।
तंत्र (Mechanism): $r_m$ को इस तरह चुना जाता है कि अंतराल $[0, r_m]$ पर संचित अप्रॉक्सिमेशन एरर नगण्य बना रहे। यह संचयी उत्पादों (cumulative products) में निहित "कंपाउंडिंग एरर" की समस्या को रोकता है।

औपचारिक परिभाषा (Formal Definition):
एक प्रोसेस $E$ एक $r$ -asymptotic e-process है यदि, किसी भी बाउंडेड सीक्वेंस ऑफ स्टॉपिंग टाइम्स $\tau = (\tau_m)$ के लिए, सीक्वेंस $(E_{m, \tau_m})_m$ एक यूनिफॉर्मली स्ट्रॉन्गली एसिम्प्टोटिक e-variable है (अर्थात $\limsup_{m \to \infty} \sup_{P \in \mathcal{P}} \mathbb{E}_P[E_{m, \tau_m}] \le 1$ )।

3. मुख्य योगदान और सैद्धांतिक परिणाम (Key Contributions and Theoretical Results)

A. लक्षण वर्णन और तुल्यता (Characterization and Equivalence)

थ्योरम 3.3: यह दिखाता है कि यदि कोई प्रोसेस किसी भी बाउंडेड सीक्वेंस $r$ के लिए $r$ -asymptotic e-process है, तो यह उस सीक्वेंस के लिए भी $r$ -asymptotic e-process है जहाँ $r_m \to \infty$ । यह बढ़ते हुए होराइजन्स पर ध्यान केंद्रित करने को न्यायसंगत बनाता है।
थ्योरम 3.4 (सुपरमार्टिंगेल कनेक्शन): यह स्थापित करता है कि $r$ -asymptotic e-processes उन प्रोसेस के समकक्ष हैं जो एक सुपरमार्टिंगेल (समय $r_m$ तक) द्वारा ऊपरी रूप से सीमित हैं जो एक एसिम्प्टोटिक कैलिब्रेशन कंडीशन को संतुष्ट करता है। यह शास्त्रीय परिणाम का सामान्यीकरण है कि e-processes टेस्ट सुपरमार्टिंगल्स द्वारा सीमित होते हैं।
थ्योरम 3.7 (सीमा व्यवहार): यह सिद्ध करता है कि यदि एक प्रोसेस का अनुक्रम एक लिमिट प्रोसेस $F$ की ओर $L^1$ में अभिसरित होता है, तो वह अनुक्रम $r$ -asymptotic e-process है (जहाँ $r_m \to \infty$ ) यदि और केवल यदि लिमिट $F$ एक वास्तविक e-process है।

B. एसिम्प्टोटिक सुपरमार्टिंगल्स (ASMs)

लेखक Asymptotic Supermartingales (ASMs) और Asymptotic Supermartingale Property (ASP) को परिभाषित करते हैं।

ASP: यह सुपरमार्टिंगेल की ओर $L^1$ अभिसरण की तुलना में एक कमजोर स्थिति है। यह आवश्यक है कि "ड्रिफ्ट" (अतिरिक्त माध्य) एसिम्प्टोटिक रूप से शून्य हो जाए: $\lim_{m \to \infty} \sup_{P} \mathbb{E}_P[(\mathbb{E}[E_{m,n+1}|\mathcal{F}_{m,n}] - E_{m,n})^+] = 0$ ।
थ्योरम 4.6: एक प्रोसेस के $r$ -asymptotic e-process होने के लिए एक पर्याप्त स्थिति (sufficient condition) प्रदान करता है। यदि किसी प्रोसेस में ASP है और वह एसिम्प्टोटिक रूप से कैलिब्रेटेड है, तो वह किसी भी अनुक्रम $r$ के लिए $r$ -asymptotic e-process है जो निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:
$\lim_{m \to \infty} \sup_{P} \mathbb{E}_P \left[ \sum_{n=0}^{r_m-1} \delta^+_{m,n} \right] = 0$
यह इस अंतर्ज्ञान को औपचारिक रूप देता है कि $r_m$ को इतना धीरे बढ़ना चाहिए कि त्रुटि संचय (error accumulation) को रोका जा सके।

C. एसिम्प्टोटिक विले की इनइक्वालिटी (Asymptotic Ville's Inequality)

थ्योरम 5.1 व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए केंद्रीय परिणाम है। यह बताता है कि एक $r$ -asymptotic e-process $E$ और किसी थ्रेशोल्ड $1/\alpha$ के लिए:
$\limsup_{m \to \infty} \sup_{P \in \mathcal{P}} P \left( \sup_{n \in \{1, \dots, r_m\}} E_{m,n} \ge \frac{1}{\alpha} \right) \le \alpha$
यह गारंटी देता है कि प्रोसेस द्वारा थ्रेशोल्ड पार करने की प्रायिकता (टाइप I एरर) एसिम्प्टोटिक रूप से $\alpha$ द्वारा सीमित है, बशर्ते कि मॉनिटरिंग $r_m$ से पहले समाप्त हो जाए।

D. निर्माण विधियाँ (Construction Methods)

शोध पत्र दिखाता है कि कैसे इन प्रोसेसों को एसिम्प्टोटिक e-variables से बनाया जाता है:

संचयी उत्पाद (Cumulative Product): मानक निर्माण $E_{m,n} = \prod_{i=0}^n e_{m,i}$ । लेखक दिखाते हैं कि यह तब काम करता है जब अप्रॉक्सिमेशन एरर $\delta_m$ पर्याप्त तेज़ी से $r_m$ के सापेक्ष घटता है (विशेष रूप से $r_m \cdot \delta_m \to 0$ )।
टाइम मिक्सचर (Time Mixture): e-variables का भारित औसत (weighted average)। पेपर नोट करता है कि टाइम-मिक्सचर e-processes अक्सर ASP को संतुष्ट नहीं करते हैं (वे सुपरमार्टिंगल्स नहीं हैं), फिर भी वे एसिम्प्टोटिक e-processes हो सकते हैं, जो नए परिभाषा की व्यापकता को दर्शाता है।
एनीटाइम p-values का कैलिब्रेशन: लेखक दिखाते हैं कि कैसे P-uniform anytime p-values (Waudby-Smith et al., 2026 से) को एसिम्प्टोटिक e-processes में बदला जा सकता है। वे पहचानते हैं कि 'anytime p-values' की मानक परिभाषा एक "यूनिफॉर्मली एसिम्प्टोटिक" e-variable देती है, जो उनके ढांचे के लिए अपर्याप्त है। वे एक मजबूत परिभाषा (P-uniform strongly anytime p-values) प्रस्तावित करते हैं ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि परिणामी e-process वैध है।

4. परिणाम और संख्यात्मक सत्यापन (Results and Numerical Validation)

काउंटर-एग्जांपल (Counterexamples): लेखक दिखाते हैं कि नैव डायगोनल संचयी उत्पाद (diagonal cumulative products) (उपयोग करते हुए $e_{i,i}$ ) विफल हो जाते हैं क्योंकि पिछली त्रुटियों को कभी भुलाया नहीं जाता है।
सिमुलेशन (सेक्शन 7): वे एक संचयी उत्पाद प्रक्रिया का सिमुलेशन करते हैं जहाँ e-variables का माध्य $1 + d_m$ $1 + d_{m}$ ( $d_m \to 0$ $d_{m} \to 0$ ) है।
- उन्होंने होराइजन $r_m = \lfloor 4m^{0.5} \rfloor$ सेट किया।
- परिणाम दिखाते हैं कि जैसे-जैसे $m$ बढ़ता है, $r_m$ से पहले थ्रेशोल्ड $1/\alpha$ को पार करने की अनुभवजन्य प्रायिकता (empirical probability) $\le \alpha$ की ओर अभिसरित होती है।
- $r_m$ के बाद थ्रेशोल्ड पार करने वाली ट्राजेक्टरीज (trajectories) बार-बार आती हैं, जो $m$ के लिए परिमित $r_m$ की आवश्यकता को दर्शाती हैं।

5. महत्व और प्रभाव (Significance and Impact)

सिद्धांत और व्यवहार के बीच सेतु: यह कार्य e-processes की सैद्धांतिक सुंदरता (जिन्हें सटीक मॉडल की आवश्यकता होती है) और अनुमान त्रुटियों की व्यावहारिक वास्तविकता के बीच के तनाव को हल करता है। यह चिकित्सकों को अनुक्रमिक परीक्षण में अनुमानित मॉडलों का उपयोग करने की अनुमति देता है जबकि कठोर त्रुटि सीमाएं बनाए रखता है।
SAVI का परिशोधन: यह एसिम्प्टोटिक सेटिंग्स में सेफ एनीटाइम-वैलिड इन्फरेंस फ्रेमवर्क का विस्तार करता है, जो बड़े पैमाने के डेटा अनुप्रयोगों के लिए एक महत्वपूर्ण कदम है जहाँ सटीक वितरण अज्ञात होते हैं।
लचीलापन: $r_m$ को पेश करके, यह ढांचा प्रोसेस के एक व्यापक वर्ग को समायोजित करता है (जिनमें से कुछ सुपरमार्टिंगल्स नहीं हैं), और अप्रॉक्सिमेशन की गुणवत्ता और मॉनिटरिंग अवधि के बीच एक ट्यूनेबल ट्रेड-ऑफ प्रदान करता है।
भविकी कार्य के लिए आधार: यह शोध पत्र विकल्पों (alternatives) के तहत टाइप II एरर (पावर) की जांच करने और कमजोर एसिम्प्टोटिक e-variables के विचारों को खोजने के लिए मार्ग प्रशस्त करता है, जो क्षेत्र को अधिक मजबूत, वास्तविक दुनिया के अनुक्रमिक विश्लेषण उपकरणों की ओर ले जाता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र एसिम्प्टोटिक e-processes के लिए एक गणितीय रूप से कठोर और व्यावहारिक रूप से लागू ढांचा प्रदान करता है, जो त्रुटि संचय को रोकने के लिए अप्रॉक्सिमेशन गुणवत्ता के साथ स्केल होने वाले एक समय क्षितिज $r_m$ को परिभाषित करता है ताकि त्रुटिपूर्ण मॉडल होने पर भी वैध अनुक्रमिक परिकल्पना परीक्षण सुनिश्चित किया जा सके।