📊 statistics

Asymptotic e-processes

Dit artikel introduceert het concept van asymptotische e-processen, een dubbel geïndexeerd stochastisch proces dat e-processen benadert, en levert een asymptotische versie van Ville's ongelijkheid op die nuttig is voor sequentiële hypothesetoetsing bij modelmisspecificatie.

Oorspronkelijke auteurs: Pierre-François Massiani, Sebastian Schulze, Mattes Mollenhauer

Gepubliceerd 2026-04-22

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Pierre-François Massiani, Sebastian Schulze, Mattes Mollenhauer

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

De "Asymptotische E-Proces": Een Gids voor Onzekerheid in een Onvolmaakte Wereld

Stel je voor dat je een detective bent die een moord oplost. Je verzamelt bewijsstukken (data) één voor één. Je wilt weten: Is de verdachte onschuldig?

In de statistiek noemen we dit "sequentieel testen". Traditioneel moest je van tevoren precies zeggen: "Ik stop na 100 bewijsstukken." Maar in het echte leven doen mensen dat niet. Ze stoppen als ze genoeg bewijs hebben, of als ze moe worden, of als ze een nieuwe hint zien. Dit heet "optioneel stoppen". Het probleem? Als je je stop-regels niet strikt volgt, kun je per ongeluk vals spelen en onschuldige mensen veroordelen.

Om dit op te lossen, hebben wiskundigen een slim nieuw gereedschap bedacht: de E-proces.

De E-proces als een "Schuld-meter": Stel je een meter voor die begint bij 1. Als de verdachte onschuldig is, blijft de meter laag (rond de 1). Als de verdachte schuldig is, gaat de meter omhoog. De magische eigenschap is: als de verdachte onschuldig is, is de kans dat deze meter ooit extreem hoog springt (bijvoorbeeld boven de 20), kleiner dan 5%. Je kunt dus op elk moment stoppen en zeggen: "Kijk, de meter staat op 25, de verdachte is waarschijnlijk schuldig!" zonder dat je je stop-regels hoeft te veranderen.

Het Probleem: De Wereld is niet Perfect
In de echte wereld zijn onze modellen nooit 100% perfect. We moeten schattingen maken, en die hebben kleine foutjes.

Stel je voor dat je de "Schuld-meter" bouwt, maar je bouwmateriaal (je data) is een beetje gebrekkig. Elke steen die je legt, heeft een klein foutje.
Als je die gebrekkige stenen stapelt (vermenigvuldigt), worden de foutjes groter en groter. Na een tijdje is je meter niet meer betrouwbaar. Hij springt misschien hoog, niet omdat de verdachte schuldig is, maar omdat je bouwmateriaal slecht was.

Dit is waar dit nieuwe papier van Massiani en zijn collega's om de hoek komt kijken.

De Oplossing: De "Asymptotische E-proces"

De auteurs zeggen: "Oké, we weten dat we niet perfect kunnen bouwen. Laten we een meter bouwen die wist dat hij imperfect is, en die een 'vervaldatum' heeft."

Ze introduceren een nieuw concept: de Asymptotische E-proces.

Hier is hoe het werkt, met een creatieve analogie:

1. De Twee Knoppen: "Kwaliteit" en "Tijd"

Stel je voor dat je een robot hebt die de meter bouwt.

Knop M (Kwaliteit): Hoe hoger deze knop, hoe beter de robot is. Bij $M=1$ is de robot slordig. Bij $M=1000$ is hij een meesterbouwer.
Knop N (Tijd): Dit is hoe lang je de meter laat lopen.

In de oude theorie mocht de meter voor alle tijden ( $N$ ) betrouwbaar zijn, zelfs als de robot slordig was ( $M$ laag). Dat is onmogelijk als je foutjes maakt; de foutjes stapelen zich op.

De nieuwe theorie zegt: "Als je een slordige robot hebt (laag $M$ ), dan moet je stoppen met kijken op een bepaald moment ( $R_m$ )."

2. De "Vervaldatum" ( $R_m$ )

Dit is het slimme stukje.

Als je robot heel slordig is (bijvoorbeeld $M=10$ ), dan is de meter betrouwbaar tot misschien 50 minuten. Daarna worden de foutjes te groot. De meter is dan "verlopen".
Als je robot heel goed is (bijvoorbeeld $M=1000$ ), dan is de meter betrouwbaar tot 5000 minuten.
De Magie: Naarmate je de kwaliteit van je robot verbetert ( $M$ gaat omhoog), gaat de tijd dat je kunt vertrouwen ( $R_m$ ) ook omhoog.

Dit is de Asymptotische E-proces. Het is een meter die zegt: "Ik ben betrouwbaar tot tijd $R_m$ . Als je me na die tijd blijft gebruiken, ben ik niet meer zeker. Maar als je mijn kwaliteit ( $M$ ) steeds verbetert, kan ik je steeds langer vertrouwen."

3. De "Ville's Ongelijkheid" (De Veiligheidsnet)

In de wiskunde is er een beroemde regel (Ville's ongelijkheid) die zegt: "Als de verdachte onschuldig is, springt de meter niet zomaar hoog."

De auteurs bewijzen een nieuwe versie hiervan voor hun imperfecte meters:
"Als de verdachte onschuldig is, is de kans dat de meter hoog springt binnen de veilige tijd $R_m$ , kleiner dan 5%."

Zodra je de tijd $R_m$ passeert, is de regel niet meer geldig. Maar omdat $R_m$ steeds groter wordt naarmate je beter wordt, krijg je in de praktijk steeds meer tijd om veilig te testen.

Waarom is dit belangrijk?

Stel je voor dat je een nieuw medicijn test.

Oude manier: Je moet een perfect wiskundig model hebben van hoe het medicijn werkt. Als je model een beetje fout is, zijn je resultaten ongeldig.
Nieuwe manier (Asymptotisch): Je gebruikt een model dat niet perfect is (misschien gebaseerd op schattingen). Je zegt: "Oké, mijn model is niet perfect, dus ik stop met kijken na 1000 patiënten. Maar als ik mijn model verbeter, kan ik kijken tot 2000 patiënten, en dan tot 10.000."

Je kunt dus nu al beslissingen nemen met een gebrekkig model, zolang je maar weet hoe lang je die beslissingen veilig kunt houden. En naarmate je meer data verzamelt en je model verbetert, wordt die veilige periode steeds langer.

Samenvattend in één zin:
Deze paper geeft ons een manier om statistische tests te doen in een onvolmaakte wereld, waarbij we eerlijk toegeven dat onze modellen fouten hebben, maar we die fouten "beheren" door te zeggen: "Je mag me vertrouwen, maar alleen tot tijd X, en hoe beter ik word, hoe langer die tijd X duurt."

Het is alsof je een brug bouwt van onvolmaakte stenen. Je kunt erover lopen, maar je moet weten tot waar de brug veilig is. En naarmate je betere stenen gebruikt, wordt de brug langer en steviger.

Titel: Asymptotische e-processen

Auteurs: Pierre-François Massiani, Sebastian Schulze en Mattes Mollenhauer (Merantix Momentum Research)

1. Het Probleem

Sequential hypothesis testing (sequentiële hypothese-toetsing) staat bekend om zijn vermogen om data continu te analyseren en beslissingen te nemen op elk willekeurig tijdstip, ongeacht de stopregel. Het moderne raamwerk van Safe Anytime-Valid Inference (SAVI) lost het probleem van "p-hacking" of onjuiste stopregels op door e-processen te introduceren. Een e-proces is een stochastisch proces dat onder de nulhypothese (H0) een supermartingaal is en dus met hoge waarschijnlijkheid onder een bepaalde drempel blijft, terwijl het onder de alternatieve hypothese (H1) groeit.

Het centrale praktische probleem dat dit artikel aanpakt, is dat het construeren van exacte e-processen vaak onmogelijk is in realistische scenario's. Dit komt door:

Modelmisspecificatie: Het ware model is onbekend.
Schattingen: Parameters moeten uit data worden geschat, wat leidt tot ruis.
Berekeningsfouten: Numerieke benaderingen.

In dergelijke gevallen kunnen e-variabelen (de bouwstenen van e-processen) slechts benaderd worden. Bestaande theorie vereist dat de verwachting onder H0 strikt $\leq 1$ is. Bij benaderingen is dit vaak $1 + \delta_m$ , waarbij $\delta_m$ een kleine fout is die afhangt van een benaderingsparameter $m$ . Als men deze benaderingen simpelweg vermenigvuldigt (cumulatief product) om een e-proces te maken, stapelt de fout $\delta_m$ zich op over de tijd. Voor een vaste $m$ divergeert de verwachting uiteindelijk, waardoor de geldigheid van de toets (de garantie dat de type I-fout gecontroleerd blijft) verloren gaat.

Bestaande werken (zoals Ignatiadis et al., 2024 en Waudby-Smith et al., 2026) introduceren "asymptotische e-variabelen", maar een volledig theorie voor asymptotische e-processen die geldig zijn op elk tijdstip (anytime-valid) in de limiet, ontbreekt nog. Een naïeve generalisatie zou vereisen dat de verwachting voor alle stopregels en alle tijdstippen in de limiet $\leq 1$ is, wat te streng is en natuurlijke constructies (zoals cumulatieve producten) uitsluit.

2. Methodologie en Kernconcepten

De auteurs introduceren het concept van een $r$ -asymptotisch e-proces. Dit is een dubbel-geïndexeerd stochastisch proces $(E_{m,n})_{m,n \in \mathbb{N}}$ , waarbij:

$n$ de monitoringtijd is (de tijd in de sequentiële toetsing).
$m$ de benaderingsindex is (bijv. steekproefgrootte voor schattingen, of complexiteit van het model).

In plaats van te eisen dat het proces voor elke $m$ een perfect e-proces is, definiëren ze een monitoringhorizon $r_m$ die afhangt van $m$ . Het proces is geldig tot tijd $r_m$ . Als de kwaliteit van de benadering verbetert ( $m \to \infty$ ), moet ook de horizon $r_m \to \infty$ gaan.

Definitie: Een proces is een $r$ -asymptotisch e-proces als voor elke rij van stopregels $\tau = (\tau_m)$ die binnen de horizon $r_m$ blijven, de limiet van de verwachting onder H0 $\leq 1$ is:
$\limsup_{m \to \infty} \sup_{P \in \mathcal{P}} \mathbb{E}_P[E_{m, \tau_m}] \leq 1$

Belangrijke inzichten:

Compounding Error: De fout in de verwachting ( $\delta_m$ ) cumuleert exponentieel in een productconstructie. Door de horizon $r_m$ zo te kiezen dat $r_m \cdot \delta_m \to 0$ , wordt de cumulatieve fout onder controle gehouden.
Asymptotische Ville's Ongelijkheid: De auteurs leiden een asymptotische versie van Ville's ongelijkheid af. Deze stelt dat de kans dat het proces de drempel $1/\alpha$ overschrijdt binnen de horizon $r_m$ , asymptotisch begrensd is door $\alpha$ .
$\limsup_{m \to \infty} \sup_{P \in \mathcal{P}} P\left( \sup_{n \leq r_m} E_{m,n} \geq \frac{1}{\alpha} \right) \leq \alpha$
Verband met Supermartingalen: Ze definiëren Asymptotische Supermartingalen (ASMs) en de Asymptotische Supermartingale Eigenschap (ASP). Een proces heeft de ASP als de "drift" (de extra verwachting boven 1) asymptotisch verdwijnt. Ze bewijzen dat een proces met ASP en een geschikte kalibratie een $r$ -asymptotisch e-proces is, mits $r_m$ langzaam genoeg groeit.

3. Belangrijkste Bijdragen

Definitie van $r$ -asymptotische e-processen: Een nieuwe, flexibele definitie die toelaat dat e-processen slechts asymptotisch geldig zijn, met een tijdsvenster $r_m$ dat meegroeit met de nauwkeurigheid.
Asymptotische Ville's Ongelijkheid: Een theoretisch fundament dat type I-foutcontrole garandeert voor sequentiële toetsen die gebaseerd zijn op benaderde modellen, zolang men binnen de berekende horizon $r_m$ blijft.
Constructie-mechanismen:
- Cumulatief Product: Ze tonen aan dat het product van benaderde e-variabelen een geldig asymptotisch e-proces is, mits de horizon $r_m$ voldoet aan $r_m \cdot \delta_m \to 0$ .
- Tijd-mengsel (Time Mixture): Ze generaliseren de "time-mixture" constructie naar het asymptotische domein, wat processen oplevert die geen supermartingalen hoeven te zijn.
Kalibratie van Anytime p-waarden: Ze tonen aan dat bestaande "anytime p-waarden" (Waudby-Smith et al., 2026) gekalibreerd kunnen worden naar $r$ -asymptotische e-processen, waarbij $r \equiv \infty$ onder bepaalde versterkte voorwaarden.

4. Resultaten en Bewijzen

Theorema 3.4: Karakteriseert $r$ -asymptotische e-processen als processen die bovenaf begrensd zijn door een proces dat een supermartingaal is tot tijd $r_m$ .
Theorema 4.6: Biedt een praktische voldoende voorwaarde: als een proces de ASP heeft en asymptotisch gekalibreerd is ( $E[E_{m,0}] \leq 1$ ), dan is het een $r$ -asymptotisch e-proces voor elke $r$ die voldoet aan een specifieke somvoorwaarde over de fouttermen.
Theorema 5.1: De asymptotische Ville's ongelijkheid, die de theoretische basis vormt voor de toepasbaarheid in de praktijk.
Numerieke Simulatie (Sectie 7): De auteurs simuleren een cumulatief productproces met een bekende fout $\delta_m = 4/m$ . Ze tonen empirisch aan dat de overschrijdingskans (excursion probability) daalt naar de theoretische drempel $\alpha$ naarmate $m$ toeneemt, en dat dit geldt zolang de tijd $n$ binnen de gekozen horizon $r_m$ blijft.

5. Betekenis en Impact

Dit werk is van groot belang voor de statistische praktijk, vooral in domeinen waar modellen per definitie benaderend zijn (bijv. machine learning, complexe biologische systemen, finance).

Praktische Toepasbaarheid: Het maakt het mogelijk om veilige sequentiële toetsen toe te passen in situaties waar exacte e-processen onbereikbaar zijn vanwege schattingsfouten.
Flexibiliteit: Door de horizon $r_m$ te introduceren, vermijdt het de onmogelijke eis dat benaderingen perfect moeten zijn voor alle tijdstippen. Het erkent dat met betere data ( $m \uparrow$ ) we langer kunnen monitoren ( $r_m \uparrow$ ).
Verbinding met Bestaande Theorie: Het sluit naadloos aan bij de theorie van e-processen, supermartingalen en p-waarden, en biedt een brug tussen klassieke asymptotische statistiek en moderne "anytime-valid" inferentie.

Kortom, de auteurs bieden een wiskundig robuust raamwerk om de onzekerheid van modelbenaderingen te kwantificeren in sequentiële toetsing, waardoor wetenschappers en data-analisten betrouwbaardere beslissingen kunnen nemen in realistische, imperfecte omgevingen.