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Three Brillhart-Lehmer-Selfridge primality proofs for Wagstaff numbers

यह शोधपत्र ब्रिलहार्ट-लेहमर-सेल्फ्रिज मानदंड और साइक्लोटोमिक गुणनखंडों का उपयोग करते हुए वैगस्टाफ संख्याओं $W_{2617}$ , $W_{10501}$ , और $W_{12391}$ के लिए पूर्णतः सत्यापित, शास्त्रीय $N-1$ अभाज्यता प्रमाण प्रस्तुत करता है, जिससे एलिप्टिक-कर्व विधियों और अप्रमाणित अनुमानों से स्वतंत्र रूप से उनकी अभाज्यता स्थापित होती है।

मूल लेखक: Alexey Dolotov

प्रकाशित 2026-05-19

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Alexey Dolotov

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो यह साबित करने की कोशिश कर रहे हैं कि एक विशिष्ट, अविश्वसनीय रूप से बड़ी संख्या वास्तव में "अभाज्य" (prime) है (जिसका अर्थ है कि इसे केवल 1 और स्वयं से ही विभाजित किया जा सकता है)। गणित की दुनिया में, ये संख्याएँ विशाल, जटिल ताले वाले बक्सों (lockboxes) की तरह हैं। अधिकांश समय, किसी ताले वाले बॉक्स को अटूट साबित करने के लिए गणितज्ञ एक उच्च-तकनीकी, जटिल विधि का उपयोग करते हैं जिसे ECPP (एलिप्टिक कर्व प्राइमैलिटी प्रूविंग) कहा जाता है। यह एक सुपरकंप्यूटर का उपयोग करके क्वांटम भौतिकी प्रयोग का अनुकरण करने जैसा है ताकि ताले की जाँच की जा सके। यह काम करता है, लेकिन यह भारी, जटिल और दूसरों के लिए जल्दी से दोबारा जाँच करना कठिन है।

एलेक्सी डोलोटोव का यह शोध पत्र एक अलग दृष्टिकोण प्रस्तुत करता है। लेखक ने तीन विशिष्ट विशाल संख्याओं (जिन्हें वैगस्टाफ संख्याएँ कहा जाता है) को अभाज्य होने के लिए सिद्ध किया है, लेकिन इसके लिए उन्होंने भारी क्वांटम-शैली के उपकरणों के बजाय, एक क्लासिक, "पुराने स्कूल" के तरीके का उपयोग किया है जिसे BLS (ब्रिलहार्ट-लेमर-सेल्फ्रिज) कहा जाता है।

यहाँ इस शोध पत्र का विवरण दिया गया है, जो सरल उपमाओं का उपयोग करता है:

1. लक्ष्य: वैगस्टाफ संख्याएँ (The Target: The Wagstaff Numbers)

वैगस्टाफ संख्याएँ प्रसिद्ध मेर्सेंस संख्याओं (जो सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए उपयोग की जाती हैं) से संबंधित संख्याओं का एक विशेष परिवार है। इन्हें एक सरल नुस्खे से परिभाषित किया गया है: एक अभाज्य संख्या $p$ लें, $2^p + 1$ की गणना करें, और उसे 3 से विभाजित करें।
यह शोध पत्र इस परिवार के तीन विशिष्ट "दिग्गजों" पर ध्यान केंद्रित करता है:

W2617 (788 अंकों वाली एक संख्या)
W10501 (3,161 अंकों वाली एक संख्या)
W12391 (3,730 अंकों वाली एक संख्या)

इन सभी के अभाज्य होने का पहले से ही संदेह था, लेकिन प्रमाण भारी ECPP विधि पर निर्भर था। यह शोध पत्र कहता है, "आइए इसे एक हल्के, अधिक पारदर्शी तरीके से फिर से सिद्ध करें।"

2. विधि: "N-1" पहेली (The Method: The "N-1" Puzzle)

BLS विधि एक पहेली की तरह काम करती है। $N$ को अभाज्य सिद्ध करने के लिए, आपको $N$ तक की प्रत्येक संख्या की जाँच करने की आवश्यकता नहीं है। इसके बजाय, आप संख्या $N - 1$ को देखते हैं।

कल्पना करें कि $N - 1$ कड़ियों की एक लंबी श्रृंखला है। यदि आप उस श्रृंखला के एक बड़े हिस्से को पा सकते हैं जो पूरी तरह से गुणनखंडित (fully factored) है (अर्थात, आप जानते हैं कि उस हिस्से को किन छोटी अभाज्य संख्याओं से बनाया गया है), और वह हिस्सा पर्याप्त बड़ा है (विशेष रूप से, $N$ के घनमूल (cube root) से बड़ा है), तो आप गणितीय रूप से सिद्ध कर सकते हैं कि पूरी संख्या $N$ अभाज्य है।

चुनौती: इन विशाल वैगस्टाफ संख्याओं के लिए, $N-1$ एक विशाल श्रृंखला है। आमतौर पर, अधिकांश कड़ियाँ छिपी हुई या अज्ञात होती हैं।
ट्रिक: लेखक ने महसूस किया कि इन संख्याओं के लिए $N-1$ एक विशिष्ट गणितीय संरचना से आता है जिसे साइक्लोटॉमिक डिकंपोजिशन (cyclotomic decomposition) कहा जाता है। यह ऐसा है जैसे यह जानना कि श्रृंखला विशिष्ट प्रकार की कड़ियों (जिन्हें $\Phi_d(2)$ कहा जाता है) से बनी है।
कटाई (The Harvest): लेखक गणितीय डेटा के मौजूदा "लाइब्रेरी" (जैसे कनिंगहैम प्रोजेक्ट तालिकाएं और FactorDB) के पास गए ताकि पहले से ज्ञात कड़ियों को खोजा जा सके। बाकी के लिए, उन्होंने उन्हें तोड़ने के लिए कंप्यूटर एल्गोरिदम का उपयोग किया।

3. सत्यापन: "गोल्ड स्टैंडर्ड" चेक (The Verification: The "Gold Standard" Check)

एक बार जब लेखक ने श्रृंखला के एक बड़े हिस्से (फैक्टर किए गए भाग) को खोज लिया, तो उन्हें यह सिद्ध करना था कि उस हिस्से के भीतर प्रत्येक एक छोटी अभाज्य कड़ी वास्तव में अभाज्य है।

उन्होंने केवल अनुमान नहीं लगाया। उन्होंने हर एक छोटी अभाज्य संख्या को प्रमाणित करने के लिए एक कठोर, अटूट विधि APR-CL का उपयोग किया।
इसे एक नोटरी पब्लिक द्वारा दीवार को सुरक्षित घोषित करने से पहले उसकी हर एक ईंट पर मुहर लगाने के रूप में सोचें।

4. दोहरा जाँच: "जादुई दर्पण" (The Double-Check: The "Magic Mirror")

यह सुनिश्चित करने के लिए कि लेखक के कंप्यूटर कोड में कोई खराबी नहीं थी, उन्होंने एक दूसरा, स्वतंत्र चेक जोड़ा।

उन्होंने 2 के वर्गमूल ( $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ ) से जुड़ी एक अलग गणितीय प्रणाली का उपयोग किया।
उन्होंने एक विशिष्ट गणितीय "संगतता" (congruence - एक पैटर्न मिलान का फैंसी तरीका) की जाँच की जो तब अनिवार्य रूप से होती है यदि संख्या अभाज्य हो।
यह अपने काम को उल्टा हल करके जाँच करने जैसा है। यदि पैटर्न मेल खाता है, तो यह पुष्टि करता है कि गणित सही ढंग से किया गया था।

5. परिणाम (The Results)

शोध पत्र सफलतापूर्वक सिद्ध करता है कि W2617, W10501, और W12391 अभाज्य हैं।

यह विशेष क्यों है? ये प्रमाण "अनकंडीशनल" (unconditional) हैं, जिसका अर्थ है कि वे बिना सिद्ध किए गए अनुमानों पर निर्भर नहीं हैं। वे भी "स्वतंत्र" हैं, जिसका अर्थ है कि वे उस भारी ECPP विधि का उपयोग नहीं करते हैं जिसका उपयोग अन्य लोग आमतौर पर करते हैं।
सीमा (The Limit): लेखक बताते हैं कि यह विधि केवल तभी काम करती है जब $p-1$ "स्मूथ" (smooth) हो (अर्थात, यह छोटे, ज्ञात टुकड़ों में आसानी से टूट जाता है)। उन्होंने अन्य सभी ज्ञात वैगस्टाफ उम्मीदवारों की जाँच की और पाया कि लगभग सभी के लिए, श्रृंखला में एक विशाल, अटूट कड़ी है जो इस विशिष्ट विधि को वर्तमान में असंभव बनाती है। केवल ये तीन संख्याएँ ही इस तरह से हल करने के लिए पर्याप्त "स्मूथ" थीं।

सारांश (Summary)

एलेक्सी डोलोटोव ने तीन विशाल संख्याओं को लिया जिन्हें पहले से ही अभाज्य माना जाता था और उन्हें एक क्लासिक, पारदर्शी और अत्यधिक सत्यापन योग्य विधि का उपयोग करके सिद्ध किया। उन्होंने केवल यह नहीं कहा कि "यह अभाज्य है"; उन्होंने एक पूर्ण, चरण-दर-चरण प्रमाण बनाया जिसे कोई भी अपने कंप्यूटर पर चलाकर परिणाम को सत्यापित कर सकता है। यह एक "स्वच्छ" प्रमाण है जो अपने आप में स्वतंत्र है, जो इन दिग्गजों के लिए आमतौर पर उपयोग की जाने वाली अधिक जटिल विधियों से अलग है।

तकनीकी सारांश: वैगस्ट्राफ संख्याओं के लिए तीन ब्रिलहार्ट-लेहमर-सेल्फ्रिज अभाज्यता प्रमाण

समस्या विवरण
यह शोध पत्र वैगस्ट्राफ संख्याओं (Wagstaff numbers) के लिए अभाज्यता सत्यापन को संबोधित करता है, जिन्हें विषम अभाज्य $p$ के लिए $W_p = (2^p + 1)/3$ के रूप में परिभाषित किया गया है। जबकि मेर्सन संख्याओं ( $M_p = 2^p - 1$ ) के पास एक नियत (deterministic), स्टैंडअलोन अभाज्यता परीक्षण (लुकास-लेहमर परीक्षण) है, वैगस्ट्राफ संख्याओं के लिए ऐसा कोई तुलनीय नियत परीक्षण मौजूद नहीं है। बड़े घातांकों (विशेष रूप से $p \ge 2617$ ) के लिए वैगस्ट्राफ संख्याओं के मौजूदा प्रमाण एटकिन-मोरेन के एलिप्टिक कर्व प्राइमैलिटी प्रोविंग (ECPP) एल्गोरिदम पर निर्भर करते हैं। हालांकि चेबिशेव/लुकास-प्रकार के सर्वांगसमता (congruences) (विशेष रूप से चुआ फ्रेमवर्क स्थिति $\omega_3^{(W_p+1)/2} \equiv -1 \pmod{W_p}$ ) वैगस्ट्राफ अभाज्यता के लिए ज्ञात आवश्यक स्थितियाँ हैं, लेकिन उनकी पर्याप्तता (sufficiency) अभी भी काल्पनिक (conjectural) है। फलस्वरूप, बड़ी वैगस्ट्राफ संख्याओं के लिए बिना शर्त अभाज्यता प्रमाणों की आवश्यकता है जो ECPP या अपुष्ट अनुमानों पर निर्भर न हों।

कार्यप्रणाली
लेखक तीन विशिष्ट वैगस्ट्राफ संख्याओं के लिए बिना शर्त अभाज्यता प्रमाण प्रस्तुत करते हैं: $W_{2617}$ , $W_{10501}$ , और $W_{12391}$ । कार्यप्रणाली विशेष रूप से शास्त्रीय ब्रिलहार्ट-लेहमर-सेल्फ्रिज (BLS) $N-1$ मानदंड पर आधारित है, जिसके लिए $N-1$ के एक महत्वपूर्ण भाग का पूर्णतः गुणनखंड (factorization) होना आवश्यक है।

चक्रीय अपघटन (Cyclotomic Decomposition): प्रमाण $N-1 = W_p - 1 = \frac{2(2^{p-1}-1)}{3}$ के गुणनखंडन का उपयोग करते हैं। पद $2^{p-1}-1$ को चक्रीय बहुपदों (cyclotomic polynomials) में विघटित किया जाता है: $2^{p-1}-1 = \prod_{d|p-1} \Phi_d(2)$ ।
गुणनखंडित भाग ( $F$ ): लेखक कनिंगहैम प्रोजेक्ट तालिकाओं और FactorDB से इन चक्रीय कारकों $\Phi_d(2)$ के ज्ञात गुणनखंडों को एकत्र करते हैं। प्राप्त किए गए किसी भी कारक को APR-CL (एडलमैन-पोमेरेंस-रुमेल / कोहेन-लेंस्ट्र स्ट्रैटजी) एल्गोरिदम का उपयोग करके अभाज्यता के लिए पुनः प्रमाणित किया जाता है।
BLS मानदंड अनुप्रयोग: प्रमाण एक गुणनखंडित भाग $F$ स्थापित करते हैं ताकि $F^3 > N$ हो (अर्थात $N^{1/3}$ की सीमा से अधिक)। प्रत्येक अभाज्य कारक $q$ के लिए, एक फर्मा-प्रकार का साक्षी (witness) $a_q$ पाया जाता है जो $a_q^{N-1} \equiv 1 \pmod N$ और $\gcd(a_q^{(N-1)/q}-1, N) = 1$ को संतुष्ट करता है। विविक्तकर (Discriminant) $\Delta = s^2 - 8m$ (जो $N = mF + s + 1$ से व्युत्पन्न है) को गैर-वर्ग (non-square) के रूप में सत्यापित किया जाता है।
स्वतंत्र सत्यापन: $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ वलय (ring) में अंकगणित के कार्यान्वयन पर एक सहायक जांच के रूप में, लेखक प्रत्येक लक्ष्य के लिए चुआ सर्वांगसमता $\omega_3^{(W_p+1)/2} \equiv -1 \pmod{W_p}$ को सत्यापित करते हैं। यह केवल पूर्णांक-आधारित BLS अंकगणित से भिन्न एक क्रॉस-सब्सट्रेट जांच के रूप में कार्य करता है, लेकिन इसका उपयोग अभाज्यता निष्कर्ष निकालने के लिए नहीं किया जाता है।

प्रमुख योगदान

बिना शर्त प्रमाण: यह शोध पत्र $W_{2617}$ , $W_{10501}$ , और $W_{12391}$ के लिए पहले प्रकाशित BLS-आधारित अभाज्यता प्रमाण प्रदान करता है, जो ECPP से स्वतंत्र है।
कार्यप्रणालीगत प्रदर्शन: यह $2^{p-1}-1$ के चक्रीय अपघटन का लाभ उठाकर वैगस्ट्राफ संख्याओं के लिए BLS $N-1$ ढांचे को लागू करने की व्यवहार्यता को प्रदर्शित करता है। यह दृष्टिकोण उन घातांकों के लिए व्यवहार्य है जहाँ $p-1$ पर्याप्त रूप से 'स्मूथ' (smooth) है ताकि पर्याप्त चक्रीय कारकों का गुणनखंड किया जा सके।
ऑडिटेबिलिटी (Auditable): प्रमाणों को उच्च ऑडिटेबिलिटी के लिए डिज़ाइन किया गया है। प्रमाणपत्र संक्षिप्त JSON रिकॉर्ड हैं जिनमें साक्षी (witnesses) और विविक्तकर जाँच शामिल है। सत्यापन के लिए केवल मानक मॉड्यूलर एक्सपोनेंशिएशन और APR-CL जाँच की आवश्यकता होती है, जिससे ECPP के लिए आवश्यक जटिल एलिप्टिक कर्व मूल्यांकन से बचा जा जा सकता है।
पुनरुत्पादकता (Reproducibility): सभी गणनाएँ ओपन-सोर्स सॉफ़्टवेयर (Python, SymPy, PARI/GP, gmpy2) का उपयोग करके पुनरुत्पादित की जा सकती हैं। पूर्ण ड्राइवर स्क्रिप्ट, लॉग और प्रमाणपत्र Zenodo पर संग्रहित हैं।

परिणाम
शोध पत्र सफलतापूर्वक निम्नलिखित की अभाज्यता सिद्ध करता है:

$W_{2617}$ : एक 788-अंकों की संख्या। गुणनखंडित भाग $F$ , $N^{1/3}$ से 46 बिट अधिक है, जिसमें 22 विशिष्ट अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग किया गया है।
$W_{10501}$ : एक 3,161-अंकों की संख्या। गुणनखंडित भाग सीमा से 3,261 बिट अधिक है, जिसमें 103 विशिष्ट अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग किया गया है।
$W_{12391}$ : एक 3,730-अंकों की संख्या। गुणनखंडित भाग सीमा से 2,860 बिट अधिक है, जिसमें 61 विशिष्ट अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग किया गया है।

प्रत्येक प्रमाण के लिए, $F$ के प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को APR-CL के माध्यम से बिना शर्त प्रमाणित किया गया था। निरंतरता जांच के रूप में तीनों संख्याओं के लिए चुआ सर्वांगसमता को सत्यापित किया गया था।

महत्व और सीमाएं
यह शोध पत्र मुख्य रूप रूप से ऑडिटेबिलिटी और कार्यप्रणालीगत विविधता के क्षेत्र में अपना महत्व दावा करता है। यह कैल्डवेल/वैगस्ट्राफ-प्रोजेक्ट अभिलेखों में दर्ज ECPP प्रमाणों से भिन्न, इन विशिष्ट संख्याओं की अभाज्यता की एक स्वतंत्र पुष्टि प्रदान करता है।

लेखक अपनी पद्धति के दायरे के संबंध में विनम्र हैं। वे स्पष्ट रूप से उल्लेख करते हैं कि BLS $N-1$ दृष्टिकोण $p-1$ की 'स्मूथनेस' (smoothness) द्वारा सीमित है। $p = 267,017$ तक ज्ञात वैगस्ट्राफ अभाज्य और संभावित अभाज्य संख्याओं का विश्लेषण करने पर पता चलता है कि केवल $p=10501$ और $p=12391$ (साथ ही छोटा $p=2617$ ) में ऐसी $p-1$ संरचनाएं हैं जो वर्तमान गुणनखंड डेटा के साथ पर्याप्त बड़ा $F$ प्राप्त करने के लिए पर्याप्त 'स्मूथ' हैं। अन्य घातांकों के लिए, $p-1$ में बड़े अभाज्य कारक $2^{p-1}-1$ के ऐसे चक्रीय घटकों $\Phi_d(2)$ की ओर ले जाते हैं जो सामान्य-उद्देश्य वाले गुणनखंडन (general-purpose factorization) की पहुंच से बाहर हैं। अतः, यह शोध पत्र सभी वैगस्ट्राफ संख्याओं के लिए सामान्य समाधान प्रस्तावित नहीं करता है, बल्कि विशिष्ट, सीमित घातांकों के एक विशेष उपसमुच्चय के लिए एक कठोर, गैर-ECCPP प्रमाण पथ स्थापित करता है।