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Three Brillhart-Lehmer-Selfridge primality proofs for Wagstaff numbers

Este artículo presenta demostraciones de primalidad clásicas y completamente verificadas para los números de Wagstaff $W_{2617}$ , $W_{10501}$ y $W_{12391}$ bajo el criterio $N-1$ , utilizando el criterio de Brillhart-Lehmer-Selfridge y factorizaciones ciclotómicas, estableciendo así su primalidad de forma independiente de los métodos de curvas elípticas y conjeturas no demostradas.

Autores originales: Alexey Dolotov

Publicado 2026-05-19

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CC BY 4.0

Autores originales: Alexey Dolotov

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que eres un detective tratando de probar que un número específico, increíblemente grande, es realmente "primo" (lo que significa que solo puede ser dividido por 1 y por sí mismo). En el mundo de las matemáticas, estos números son como cajas fuertes gigantes e intrincadas. La mayoría de las veces, para probar que una caja fuerte es irrompible, los matemáticos utilizan un método de alta tecnología y complejo llamado ECPP (Prueba de primalidad por curvas elípticas). Es como usar una supercomputadora para simular un experimento de física cuántica y verificar la caja. Funciona, pero es pesado, complicado y difícil de que otros lo verifiquen rápidamente.

Este artículo de Alexey Dolotov presenta un enfoque diferente. El autor demuestra que tres números gigantes específicos (llamados números de Wagstaff) son primos, pero en lugar de utilizar las pesadas herramientas de estilo cuántico, emplea un método clásico y "antiguo" llamado BLS (Brillhart–Lehmer–Selfridge).

Aquí está el desglose de lo que hace el artículo, utilizando analogías simples:

1. El Objetivo: Los Números de Wagstaff

Piensa en los números de Wagstaff como una familia especial de números relacionados con los famosos números de Mersenne (que se utilizan para encontrar los primos conocidos más grandes). Se definen mediante una receta simple: toma un número primo $p$ , calcula $2^p + 1$ y divídelo por 3.
El artículo se centra en tres "gigantes" específicos de esta familia:

W2617 (un número con 788 dígitos)
W10501 (un número con 3.161 dígitos)
W12391 (un número con 3.730 dígitos)

Todos ya sospechaban que estos eran primos, pero la prueba se basaba en el pesado método ECPP. Este artículo dice: "Probémoslo de nuevo utilizando un método más ligero y transparente".

2. El Método: El Rompecabezas "N-1"

El método BLS funciona como un rompecabezas. Para probar que un número $N$ es primo, no tienes que verificar cada número individual hasta $N$ . En su lugar, miras el número $N - 1$ .

Imagina que $N - 1$ es una cadena larga de eslabones. Si puedes encontrar un gran trozo de esa cadena que esté completamente factorizado (lo que significa que sabes exactamente qué números primos pequeños componen ese trozo), y ese trozo es lo suficientemente grande (específicamente, mayor que la raíz cúbica de $N$ ), puedes probar matemáticamente que todo el número $N$ es primo.

El Desafío: Para estos números gigantes de Wagstaff, $N-1$ es una cadena masiva. Por lo general, la mayoría de los eslabones están ocultos o son desconocidos.
El Truco: El autor se dio cuenta de que $N-1$ para estos números proviene de una estructura matemática específica llamada descomposición ciclotómica. Es como saber que la cadena está hecha de tipos específicos de eslabones (llamados $\Phi_d(2)$ ).
La Cosecha: El autor acudió a "bibliotecas" existentes de datos matemáticos (las tablas del Proyecto Cunningham y FactorDB) para encontrar los eslabones que ya eran conocidos. Para el resto, utilizó algoritmos informáticos para descomponerlos.

3. La Verificación: La Prueba del "Estándar de Oro"

Una vez que el autor encontró un trozo lo suficientemente grande de la cadena (la "porción factorizada"), tuvo que probar que cada pequeño eslabón primo dentro de ese trozo era realmente primo.

No solo adivinó. Utilizó un método riguroso e irrompible llamado APR-CL para certificar cada pequeño primo individual.
Piensa en esto como un notario público sellando cada ladrillo individual de un muro antes de declarar que el muro es seguro.

4. La Doble Verificación: El "Espejo Mágico"

Para asegurarse de que su código informático no tuviera un fallo, el autor añadió una segunda verificación independiente.

Utilizó un sistema matemático diferente que involucra raíces cuadradas de 2 (llamado $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ ).
Verificó una "congruencia" matemática específica (una forma elegante de decir coincidencia de patrones) que debe ocurrir si el número es primo.
Esto es como revisar tu trabajo resolviendo el problema al revés. Si el patrón coincide, confirma que las matemáticas se realizaron correctamente.

5. Los Resultados

El artículo demuestra con éxito que W2617, W10501 y W12391 son primos.

¿Por qué es esto especial? Estas pruebas son "incondicionales", lo que significa que no dependen de suposiciones no probadas. También son "independientes", lo que significa que no utilizan el pesado método ECPP que usa todo el mundo.
El Límite: El autor explica que este método solo funciona si el número $p-1$ es "suave" (lo que significa que se descompone fácilmente en piezas pequeñas y conocidas). Verificó todos los demás candidatos de Wagstaff conocidos y descubrió que para casi todos ellos, la cadena tiene un eslabón gigante e irrompible que hace imposible usar este método específico en este momento. Solo estos tres números eran lo suficientemente "suaves" para ser resueltos de esta manera.

Resumen

Alexey Dolotov tomó tres números gigantes que ya se creía que eran primos y los demostró utilizando un método clásico, transparente y altamente verificable. No solo dijo "es primo"; construyó un certificado completo, paso a paso, que cualquiera puede ejecutar en su propia computadora para verificar el resultado. Es una prueba "más limpia" que se sostiene por sí misma, independiente de los métodos más complejos que suelen utilizarse para estos gigantes.

Resumen Técnico: Tres Demostraciones de Primalidad Brillhart–Lehmer–Selfridge para Números de Wagstaff

Enunciado del Problema
El artículo aborda la verificación de la primalidad de los números de Wagstaff, definidos como $W_p = (2^p + 1)/3$ para primos impares $p$ . Mientras que los números de Mersenne ( $M_p = 2^p - 1$ ) poseen una prueba de primalidad determinista e independiente (la prueba de Lucas–Lehmer), no existe una prueba determinista comparable para los números de Wagstaff. Las demostraciones existentes para números de Wagstaff con exponentes grandes (específicamente $p \ge 2617$ ) dependen del algoritmo de Prueba de Primalidad por Curvas Elípticas (ECPP) de Atkin–Morain. Aunque las congruencias de tipo Chebyshev/Lucas (específicamente la condición del marco de Chua $\omega_3^{(W_p+1)/2} \equiv -1 \pmod{W_p}$ ) son conocidas como condiciones necesarias para la primalidad de Wagstaff, su suficiencia sigue siendo conjetural. En consecuencia, existe la necesidad de demostraciones de primalidad incondicionales para números de Wagstaff grandes que no dependan de ECPP ni de conjeturas no probadas.

Metodología
Los autores presentan demostraciones de primalidad incondicionales para tres números de Wagstaff específicos: $W_{2617}$ , $W_{10501}$ y $W_{12391}$ . La metodología depende exclusivamente del criterio clásico $N-1$ de Brillhart–Lehmer–Selfridge (BLS), el cual requiere que una porción significativa de $N-1$ esté completamente factorizada.

Descomposición Ciclotómica: Las demostraciones utilizan la factorización de $N-1 = W_p - 1 = \frac{2(2^{p-1}-1)}{3}$ . El término $2^{p-1}-1$ se descompone en polinomios ciclotómicos: $2^{p-1}-1 = \prod_{d|p-1} \Phi_d(2)$ .
Porción Factorizada ( $F$ ): Los autores recopilan factorizaciones conocidas de estos factores ciclotómicos $\Phi_d(2)$ de las tablas del proyecto Cunningham y de FactorDB. Cualquier factor recuperado se vuelve a certificar como primo utilizando el algoritmo APR-CL (Adleman–Pomerance–Rumely / Cohen–Lenstra).
Aplicación del Criterio BLS: Las demostraciones establecen una porción factorizada $F$ de $N-1$ tal que $F^3 > N$ (superando el umbral de $N^{1/3}$ ). Para cada factor primo $q$ de $F$ , se encuentra un testigo de tipo Fermat $a_q$ que satisface $a_q^{N-1} \equiv 1 \pmod N$ y $\gcd(a_q^{(N-1)/q}-1, N) = 1$ . Se verifica que el discriminante $\Delta = s^2 - 8m$ (derivado de $N = mF + s + 1$) no sea un cuadrado perfecto.
Verificación Independiente: Como verificación auxiliar de la implementación de la aritmética en el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ , los autores verifican la congruencia de Chua $\omega_3^{(W_p+1)/2} \equiv -1 \pmod{W_p}$ para cada objetivo. Esto sirve como una verificación cruzada de sustrato distinta de la aritmética BLS basada solo en enteros, pero no se utiliza para deducir la primalidad.

Contribuciones Clave

Demostraciones Incondicionales: El artículo proporciona las primeras demostraciones de primalidad basadas en BLS publicadas para $W_{2617}$ , $W_{10501}$ y $W_{12391}$ , independientes de ECPP.
Demostración Metodológica: Demuestra la viabilidad de aplicar el marco $N-1$ de BLS a números de Wagstaff aprovechando la descomposición ciclotómica de $2^{p-1}-1$ . Se muestra que este enfoque es viable para exponentes donde $p-1$ es suficientemente suave para permitir la factorización de suficientes factores ciclotómicos.
Auditabilidad: Las demostraciones están diseñadas para una alta auditabilidad. Los certificados son registros JSON compactos que contienen testigos y verificaciones de discriminantes. La verificación requiere únicamente exponenciaciones modulares estándar y verificaciones APR-CL, evitando las complejas evaluaciones de curvas elípticas requeridas por ECPP.
Reproducibilidad: Todos los cálculos son reproducibles utilizando software de código abierto (Python, SymPy, PARI/GP, gmpy2). Los scripts completos de control, registros y certificados están archivados en Zenodo.

Resultados
El artículo demuestra exitosamente la primalidad de:

$W_{2617}$ : Un número de 788 dígitos. La porción factorizada $F$ excede $N^{1/3}$ en 46 bits, utilizando 22 factores primos distintos.
$W_{10501}$ : Un número de 3.161 dígitos. La porción factorizada excede el umbral en 3.261 bits, utilizando 103 factores primos distintos.
$W_{12391}$ : Un número de 3.730 dígitos. La porción factorizada excede el umbral en 2.860 bits, utilizando 61 factores primos distintos.

Para cada demostración, cada factor primo en la porción factorizada $F$ fue certificado incondicionalmente mediante APR-CL. La congruencia de Chua fue verificada para los tres números como una comprobación de consistencia.

Significado y Limitaciones
El artículo afirma su significado principalmente en el ámbito de la auditabilidad y la diversidad metodológica. Ofrece una confirmación independiente de la primalidad de estos números específicos, distinta de las demostraciones ECPP actualmente registradas en los archivos del proyecto Caldwell/Wagstaff.

Los autores son modestos respecto al alcance del método. Señalan explícitamente que el enfoque $N-1$ de BLS está limitado por la suavidad de $p-1$ . Un análisis de los primos de Wagstaff conocidos y los primos probables hasta $p = 267.017$ revela que solo $p=10501$ y $p=12391$ (junto con el menor $p=2617$ ) poseen estructuras de $p-1$ lo suficientemente suaves como para producir una porción factorizada $F$ lo bastante grande para el criterio BLS con los datos de factorización actuales. Para otros exponentes, los grandes factores primos en $p-1$ conducen a componentes ciclotómicos no factorizados $\Phi_d(2)$ que actualmente están fuera del alcance de la factorización de propósito general. Por lo tanto, el artículo no propone una solución general para todos los números de Wagstaff, sino que establece una ruta de demostración rigurosa y no basada en ECPP para un subconjunto específico y restringido de exponentes.