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Model discovery for dynamical systems with complex-valued product units

यह शोध पत्र कॉम्प्लेक्स-वैल्यूड प्रोडक्ट-यूनिट नेटवर्क का उपयोग करके एक डेटा-संचालित मॉडल डिस्कवरी पद्धति प्रस्तुत करता है जो पूर्व-निर्धारित फंक्शन लाइब्रेरी के बिना सीधे डेटा से गवर्निंग इक्वेशंस (governing equations) सीखता है, और अराजक प्रणालियों (chaotic systems) के लिए सटीक गतिकी को सफलतापूर्वक पुनर्प्राप्त करने और वास्तविक मानव-चाल संकेतों (human-gait signals) के लिए स्थिर भविष्यवाणियां उत्पन्न करने में सफल होता है।

मूल लेखक: Martin Brückmann, Babette Dellen, Uwe Jaekel

प्रकाशित 2026-05-27

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Martin Brückmann, Babette Dellen, Uwe Jaekel

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो एक स्वादिष्ट, अराजक स्टू (stew) की गुप्त रेसिपी का पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं। आप शेफ या सामग्री की सूची को नहीं देख सकते, लेकिन आप बर्तन के उबलने को देख सकते हैं और अलग-अलग समय पर सूप का स्वाद चख सकते हैं। आपका लक्ष्य केवल यह अनुमान लगाना नहीं है कि अगली बार सूप कैसा लगेगा; आपका लक्ष्य उस सटीक गणितीय सूत्र (mathematical formula) को खोजना है जो यह समझा सके कि वह जिस तरह से उबल रहा है, उसके पीछे का कारण क्या है।

यह शोध पत्र एक नया "जासूसी उपकरण" प्रस्तुत करता है जिसे कॉम्प्लेक्स-वैल्यूड प्रोडक्ट-यनीट नेटवर्क (Complex-Valued Product-Unit Network) कहा जाता है। यह कैसे काम करता है, यहाँ सरल अवधारणाओं में दिया गया है:

1. पुराना तरीका बनाम नया तरीका

पुराना तरीका (SINDY और सिम्बोलिक रिग्रेशन): कल्पना कीजिए कि एक विशाल, पहले से लिखी गई कुकबुक (cookbook) से मौजूद हर संभव सामग्रियों के संयोजन को आजमाकर रेसिपी खोजने की कोशिश करना। आप शायद "नमक + काली मिर्च" आजमाएंगे, फिर "नमक + काली मिर्च + चीनी," फिर "नमक + काली मिर्च + चीनी + आटा।" यदि वास्तविक रेसिपी में "0.5 चम्मच स्टार अनीस" (एक भिन्नात्मक घातांक/fractional exponent) या "नेगेटिव नमक" (नेगेटिव एक्सपोनेंट) जैसी कोई अजीब सामग्री है, तो आपकी कुकबुक में शायद वे विकल्प भी न हों। आप जो पहले से जानते हैं, उससे आप सीमित हैं।
नया तरीका (यह शोध पत्र): एक कुकबुक का उपयोग करने के बजाय, यह नया उपकरण एक आकार बदलने वाले शेफ (shape-shifting chef) की तरह है। इसे सामग्रियों की सूची की आवश्यकता नहीं है। यह डेटा का अवलोकन करके खुद अपनी सामग्रियां बनाना सीखता है। यह $x^{0.5}$ (वर्गमूल) या $x^{-2}$ (व्युत्क्रम) जैसे शब्द खुद बना सकता है। यह सीधे अवलोकनों से "मोनोमियल्स" (गणित के निर्माण खंड) को खोजकर सूत्र का निर्माण करता है।

2. "आकार बदलने वाला शेफ" कैसे काम करता है

यह मॉडल विशेष "इकाइयों" (units) का उपयोग करता है जो जादुई गुणकों (multipliers) के रूप में कार्य करती हैं।

प्रोडक्ट यूनिट (Product Unit): एक मानक कैलकुलेटर के बारे में सोचें जो केवल संख्याओं को जोड़ता है। यह मॉडल एक विशेष कैलकुलेटर का उपयोग करता है जो संख्याओं को आपस में गुणा करता है, लेकिन यह उन्हें किसी भी घात (power) तक बढ़ा सकता है—यहाँ तक कि अजीब, भिन्नात्मक या नकारात्मक घातों तक भी।
कॉम्प्लेक्स डोमेन (Complex Domain): इस गणित को सुचारू रूप से चलाने के लिए (विशेष रूप से नकारात्मक संख्याओं या मूलों/roots के साथ काम करते समय), यह मॉडल "कॉम्प्लेक्स नंबर" की दुनिया में काम करता है। कल्पना कीजिए कि एक मानचित्र है जहाँ आपके पास न केवल उत्तर/दक्षिण (वास्तविक संख्याएं) बल्कि पूर्व/पश्चिम (काल्पनिक संख्याएं) भी हैं। मॉडल इस अतिरिक्त आयाम का उपयोग कठिन गणितीय रास्तों को पार करने के लिए करता है जो मानक कैलकुलेटर को उलझा सकते हैं।
परिणाम: मॉडल शब्दों की एक सूची (जैसे $5x^2y$ या $-4z^{0.1}$ ) देता है और सिस्टम के व्यवहार को फिर से बनाने के लिए उन्हें जोड़ देता है।

3. टेस्ट किचन: बेंचमार्क सिस्टम

लेखकों ने अपने जासूसी उपकरण का परीक्षण चार प्रसिद्ध "अराजक" प्रणालियों (गणितीय रेसिपी जो बहुत अप्रत्याशित हैं) पर किया:

Lorenz63: क्लासिक मौसम मॉडल।
Lorenz84: एक अधिक जटिल मौसम मॉडल।
Four-Wing Attractor: एक प्रणाली जो चार पंखों वाले तितली जैसा दिखता है।
Lorenz_Fract: पहले वाले का एक संशोधित संस्करण जिसमें एक "फ्रैक्शनल" (भिन्नात्मक) सामग्री शामिल है (वर्गमूल)।

परिणाम:

जब उन्होंने मॉडल को पर्याप्त डेटा (कम से कम 3,000 बिंदु) दिया, तो इसने मानक प्रणालियों के लिए 90% बार सटीक मूल रेसिपी को सफलतापूर्वक पुनः प्राप्त किया।
कठिन "फ्रैक्शनल" सिस्टम के लिए भी, इसने 70-90% बार इसे सही पाया।
"क्रिस्टल बॉल" टेस्ट: एक बार जब मॉडल ने रेसिपी खोज ली, तो उन्होंने इसे भविष्य की भविष्यवाणी करने के लिए छोड़ दिया। यदि रेसिपी एकदम सही थी, तो भविष्यवाणी ट्रैक पर बनी रही। यदि रेसिपी थोड़ी भी गलत थी, तो भविष्यवाणी अंततः नियंत्रण से बाहर हो जाएगी। मॉडल इतना सटीक था कि इसकी भविष्यवाणियाँ बहुत लंबे समय तक स्थिर रहीं।

4. वास्तविक दुनिया की चुनौती: मानव चाल (Human Walking)

अंत में, उन्होंने इस उपकरण को कुछ अस्त-व्यस्त और वास्तविक चीज़ पर आजमाया: एक व्यक्ति के चलने के दौरान एक्सेलेरोमीटर डेटा।

समस्या: मानव चलने की तुलना में, यह डेटा शोर (noise) से भरा और उच्च-आयामी (high-dimensional) है। मानव चलने के लिए कोई ज्ञात "रेसिपी" नहीं है जिससे इसकी तुलना की जा सके।
दृष्टिकोण: परिवर्तन की डिफरेंशियल इक्वेशन (रेसिपी) खोजने के बजाय, मॉडल ने पिछले 50 कदमों के आधार पर अगले कदम की भविष्यवाणी करना सीखा।
परिणाम: मॉडल ने एक स्थिर पैटर्न सीखा। यहाँ तक कि जब इसे 30 सेकंड के लिए चलने की भविष्यवाणी करने के लिए कहा गया (जिसके लिए इसे प्रशिक्षित किया गया था उससे तीन गुना अधिक समय), तब भी यह बेकाबू नहीं हुआ। इसकी त्रुटि (error) छोटी और सीमित रही, जो कुल गति सीमा का लगभग 12-14% थी। इसने भौतिकी को पहले से जाने बिना मानव चलने की लय को सफलतापूर्वक पकड़ लिया।

5. कमी (सीमाएं)

शोध पत्र कुछ बातें स्वीकार करता है जो अभी भी पूरी तरह से सटीक नहीं हैं:

आकार का अनुमान लगाना: आपको मॉडल को मोटे तौर पर बताना होगा कि कितने "सामग्री" (शब्दों) को खोजना है। यदि आप बहुत कम अनुमान लगाते हैं, तो यह रेसिपी नहीं खोज पाएगा। यदि आप बहुत अधिक अनुमान लगाते हैं, तो यह अव्यवस्थित हो जाएगा।
जटिलता: जब इसे चलने के डेटा पर लागू किया गया, तो यह मॉडल बहुत बड़ा (हजारों पैरामीटर) हो गया। हालांकि यह काम कर गया, लेकिन परिणामी "रेसिपी" इतनी जटिल थी कि इसे इंसानों के लिए आसानी से पढ़ना या समझना मुश्किल था। इस उच्च-आयामी मामले में यह एक "ब्लैक बॉक्स" की तरह है, जबकि गणितीय बेंचमार्क के लिए मिली सरल और पठनीय सूत्रों के विपरीत।
शोर (Noise): चलने के डेटा को मॉडल द्वारा सीखने से पहले साफ (फिल्टर) करना आवश्यक था। इसका अभी तक बहुत अधिक शोर वाले डेटा पर व्यापक परीक्षण नहीं किया गया है।

सारांश

यह शोध पत्र एक स्मार्ट, लचीला उपकरण पेश करता है जो डेटा से सीधे प्रकृति के नियमों (या कम से कम जटिल प्रणालियों) को रिवर्स-इंजीनियर कर सकता है, बिना किसी पूर्व-निर्धारित सूत्रों की सूची के। यह गणितीय पहेलियों पर शानदार काम करता है और मानव गति जैसे वास्तविक दुनिया के अव्यवस्थित डेटा पर भी आशाजनक परिणाम दिखाता है, बशर्ते आपके पास उसे खिलाने के लिए पर्याप्त डेटा हो।

तकनीकी सारांश: जटिल-मान वाले उत्पाद इकाइयों (Complex-Valued Product Units) के साथ गतिशील प्रणालियों के लिए मॉडल की खोज

समस्या विवरण
प्रेक्षित प्रक्षेपपथों (trajectories) से नियंत्रित समीकरणों की प्राप्ति, केवल अवस्था भविष्यवाणी (state prediction) की तुलना में गतिशील प्रणालियों के बारे में अधिक गहरी संरचनात्मक अंतर्दृष्टि प्रदान करती है। हालाँकि, उच्च-आयामी प्रणालियों में प्रासंगिक मोनॉमियल्स (monomials)—विशेष रूप से वे जिनमें भिन्नात्मक (fractional) या ऋणात्मक घातांक शामिल हैं—को पहचानना चुनौतीपूर्ण है, क्योंकि संभावित पदों (candidate terms) की संख्या अनंत हो सकती है। स्थापित विधियाँ जैसे SINDy (स्पार्स आइडेंटिफिकेशन ऑफ नॉनलीन डायनेमिक्स) और सिम्बोलिक रिग्रेशन, उम्मीदवार फलनों के पूर्व-निर्धारित पुस्तकालयों (libraries) पर निर्भर करती हैं। यह प्रतिबंध गैर-रेखीय फलन वर्गों के प्रतिनिधित्व को सीमित करता है और जैसे-जैसे इनपुट आयामीता बढ़ती है, व्यापक खोज को अव्यवहार्य बना देता है, क्योंकि उम्मीदवार पदों की संख्या तेजी से बढ़ती है।

कार्यप्रणाली
लेखक एक पूर्व-निर्धारित उम्मीदवार लाइब्रेरी के बिना नियंत्रित समीकरणों की खोज करने के लिए जटिल-मान वाले उत्पाद-इकाई नेटवर्क (Complex-Valued Product-Unit Networks) का उपयोग करते हुए एक डेटा-संचालित दृष्टिकोण प्रस्तावित करते हैं।

आर्किटेक्चर: मॉडल उत्पाद इकाइयों (product units) का उपयोग करता है जहाँ प्रत्येक इकाई जटिल-मान वाले घातांकों ( $x_i^{w_i}$ ) के साथ इनपुट्स के गुणनफल की गणना करती है। इन्हें जटिल डोमेन में परिभाषित लघुगणकीय (logarithmic) और घातांकीय (exponential) सक्रियण कार्यों के साथ योग इकाइयों (summation units) को जोड़कर लागू किया जाता है: $\prod x_i^{w_i} = \exp(\sum w_i \log x_i)$ ।
प्रारूप (Formulation): नेटवर्क का आउटपुट इन जटिल मोनॉमियल्स के विरल रैखिक संयोजन (sparse linear combination) के रूप में साधारण अवकल समीकरणों (ODEs) के दाएँ-पक्ष (RHS) का प्रतिनिधित्व करता है:
$\hat{f}(x_1, \dots, x_n) = \sum_{k=1}^m c_k \prod_{i=1}^n x_i^{w_{k,i}}$
जहाँ $c_k$ और $w_{k,i}$ डेटा से सीधे सीखे गए जटिल गुणांक और घातांक हैं।
प्रशिक्षण: नेटवर्क को जटिल-मान वाले मीन स्क्वेयर्ड एरर लॉस (mean squared error loss) का उपयोग करके एडम ऑप्टिमाइज़र (Adam optimizer) के माध्यम से ग्रेडिएंट डिसेंट द्वारा प्रशिक्षित किया जाता है। बेंचमार्क प्रणालियों के लिए, मॉडल अवस्था चरों (state variables) को दिए गए समय डेरिवेटिव ( $\dot{x}$ ) की भविष्यवाणी करना सीखता है। वास्तविक मानव चाल (gait) डेटा के लिए, जहाँ डेरिवेटिव उपलब्ध नहीं होते हैं, मॉडल पिछले अवलोकनों के अनुक्रम से सीधे अगली अवस्था की भविष्यवाणी करने के लिए 'टाइम-डिले एम्बेडिंग' (time-delay embedding) का उपयोग करता है।
पोस्ट-प्रोसेसिंग: संख्यात्मक शोर (numerical noise) और स्थिरता को संभालने के लिए, $10^{-3}$ से कम पूर्ण गुणांकों वाले पदों को बाहर कर दिया जाता है। समान पदों (जहाँ घातांक $\le 0.1$ से भिन्न हों) को घातांकों के औसत और गुणांकों के योग द्वारा मिला दिया जाता है।

प्रमुख योगदान

लाइब्रेरी-मुक्त खोज: SINDy या सिम्बोलिक रिग्रेशन के विपरीत, यह दृष्टिकोण पूर्व-निर्धारित उम्मीदवार फलनों के सेट की आवश्यकता नहीं रखता है। यह प्रासंगिक मोनॉमियल्स को सीखता है, जिसमें भिन्नात्मक या ऋणात्मक घातांक भी शामिल हैं, जो सीधे डेटा से प्राप्त होते हैं।
जटिल-मान डोमेन (Complex-Valued Domain): जटिल डोमेन (इनपुट, वेट और आउटपुट) में पूरी तरह से कार्य करके, यह मॉडल ऋणात्मक इनपुट और भिंनात्मक घातों को स्वाभाविक रूप से संभालता है, जो मानक वास्तविक-मान वाले उत्पाद इकाइयों के लिए समस्याग्रस्त होते हैं।
विरल प्रतिनिधित्व (Sparse Representation): इस पद्धति का लक्ष्य उन विरल बीजगणितीय संरचनाओं को पुनः प्राप्त करना है जो गतिकी को संचालित करती हैं, जिससे व्याख्यात्मकता (interpretability) सुलभ होती है।

परिणाम
इस पद्धति का मूल्यांकन चार अराजक (chaotic) बेंचमार्क प्रणालियों और वास्तविक मानव चाल (gait) एक्सेलेरोमीटर डेटा पर किया गया।

बेंचमार्क सिस्टम (Lorenz63, Lorenz84, Four-Wing, Lorenz_Fract):
- कम से कम 3,000 प्रशिक्षण बिंदुओं का उपयोग करके, मॉडल पूर्णांक-घातांक प्रणालियों (Lorenz63, Lorenz84, Four-Wing) के लिए 90% परीक्षणों में सटीक नियंत्रित समीकरणों को पुनः प्राप्त करने में सफल रहा।
- भिन्नात्मक संस्करण (Lorenz_Fract, जिसमें $z^{0.5}$ पद शामिल है) के लिए, 3,000–5,000 बिंदुओं के साथ 70–90% परीक्षणों में सटीक रिकवरी प्राप्त की गई।
- जब सभी प्रमुख पदों को सही ढंग से पहचाना गया, तो प्रभावी भविष्यवाणी समय (Effective Prediction Time - EPT) प्रभावी रूप से अनंत था (वास्तविक प्रणाली के समान)। यदि पद छूट गए, तो EPT काफी कम हो गया (एक लियापुनोव समय से नीचे)।
- अध्ययन ने नोट किया कि आउटपुट में स्प्यूरियस काल्पनिक घटक (spurious imaginary components) अक्सर प्रक्षेपपथ विचलन (trajectory divergence/prediction uncertainty) के प्रारंभिक संकेतक के रूप में कार्य करते हैं।
वास्तविक अनुप्रयोग (मानव चाल/Human Gait):
- 150-आयामी चाल संकेतों (3 अक्ष $\times$ 50 टाइम लैग्स) के लिए, मॉडल को पिछले अवलोकनों से भविष्य की अवस्थाओं की भविष्यवाणी करने के लिए प्रशिक्षित किया गया।
- मॉडल ने प्रशिक्षण अंतराल से तीन गुना अधिक लंबे टेस्ट होराइजन (test horizon) पर स्थिर प्रक्षेपपथ उत्पन्न किए।
- भविष्यवाणी त्रुटियां सीमित रहीं, जिसका रूट मीन स्क्वायर एरर (RMSE) सिग्नल आयाम रेंज का लगभग 12–14% था।
- मॉडल ने पर्याप्त ड्रिफ्ट (drift) संचित किए बिना चाल की अर्ध-आवधिक (quasi-periodic) प्रकृति को सफलतापूर्वक कैप्चर किया।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि जटिल-मान वाले उत्पाद-इकाई नेटवर्क गतिशील प्रणालियों की खोज के लिए लाइब्रेरी-आधारित विधियों के एक व्यवहार्य विकल्प प्रदान करते हैं, विशेष रूप से तब जब कार्यात्मक रूप अज्ञात हो या इसमें गैर-पूर्णांक घातें शामिल हों। यह दृष्टिकोण दर्शाता है कि:

उम्मीदवार फलन सेट के पूर्व ज्ञान के बिना डेटा से सटीक नियंत्रित समीकरणों को पुनः प्राप्त किया जा सकता है।
यह विधि भिन्नात्मक पावर लॉ (fractional power laws) को स्वाभाविक रूप से संभालती है, जिन्हें मानक स्पार्स रिग्रेशन लाइब्रेरी के माध्यम से संभालना कठिन है।
मॉडल उच्च-आयामी, शोर युक्त वास्तविक दुनिया की प्रणालियों (जैसे मानव चाल) के लिए स्थिर, सीमित भविष्यवाणियां उत्पन्न कर सकता है, भले ही विश्लेषणात्मक समीकरण उपलब्ध न हों।

सीमाएं और भविष्य का कार्य
लेखकों ने कुछ बाधाओं को स्वीकार किया है:

हाइपरपैरामीटर संवेदनशीलता: उत्पाद इकाइयों की संख्या को पहले से निर्दिष्ट किया जाना चाहिए और यह प्रमुख पदों की संख्या के कम से कम बराबर होनी चाहिए; जबकि प्रशिक्षण हानि (training loss) मॉडल की पर्याप्तता का संकेत दे सकती है, इसका स्वचालित निर्धारण अभी भी एक खुला विषय है।
व्याख्यात्मकता बनाम आयामीता: उच्च-आयामी अनुप्रयोगों (जैसे ~46,000 मापदंडों के साथ चाल विश्लेषण) में, समाधान की विरल और मानव-पठनीय प्रकृति कम हो जाती है।
शोर के प्रति मजबूती (Noise Robustness): चाल डेटा के लिए लो-पास फ़िल्टरिंग की आवश्यकता थी, और माप शोर के प्रति इसकी मजबूती का व्यवस्थित मूल्यांकन किया जाना आवश्यक है।

लेखकों द्वारा सुझाए गए भविष्य के कार्यों में उत्पाद इकाइयों की संख्या को स्वचालित रूप से निर्धारित करने के लिए अनुकूल (adaptive) तरीके विकसित करना, आंशिक अवकल समीकरणों (PDEs) तक ढांचे का विस्तार करना, और बायोमेडिकल अनुप्रयोगों जैसे कि गिरने का पता लगाने (fall detection) या चाल संबंधी विसंगति की पहचान के लिए व्यवस्थित मूल्यांकन करना शामिल है।