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Model discovery for dynamical systems with complex-valued product units

本文提出了一种利用复值乘积单元网络的数据驱动模型发现方法，该方法无需预设函数库即可直接从数据中学习控制方程，成功恢复了混沌系统的精确动力学并生成了真实世界人类步态信号的稳定预测。

原作者： Martin Brückmann, Babette Dellen, Uwe Jaekel

发布于 2026-05-27

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原作者： Martin Brückmann, Babette Dellen, Uwe Jaekel

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象你是一名侦探，试图破解一道美味却混乱的炖菜的秘密食谱。你既看不见厨师，也看不到食材清单，但你能够观察锅中的沸腾状态，并在不同时刻品尝汤的味道。你的目标不仅仅是猜测下一口汤会是什么味道；你希望发现一个精确的数学公式，解释它为何会以这种方式沸腾。

本文介绍了一种名为复值积单元网络（Complex-Valued Product-Unit Network）的新型“侦探工具”。以下是其工作原理，分解为简单的概念：

1. 旧方法与新方法

旧方法（SINDy 与符号回归）：想象一下，试图通过测试一本预先写好的巨型食谱中所有可能的食材组合来寻找食谱。你可能会尝试“盐 + 胡椒”，然后是“盐 + 胡椒 + 糖”，接着是“盐 + 胡椒 + 糖 + 面粉”。如果真正的食谱使用了一些奇怪的食材，比如"0.5 茶匙八角”（分数指数）或“负盐”（负指数），你的食谱中可能甚至没有这些选项。你受限于你已经知道的内容。
新方法（本文）：与其使用食谱，不如说这个新工具像一位变形厨师。它不需要食材清单。它观察沸腾的汤，并学会即时创造自己的食材。它可以通过观察数据，凭空创造出诸如 $x^{0.5}$ （平方根）或 $x^{-2}$ （倒数）这样的项。它从零开始构建公式，直接从观测中发现“单项式”（数学的构建模块）。

2. “变形厨师”如何工作

该模型使用特殊的“单元”，它们充当魔法乘数。

积单元：想象一台只是将数字相加的标准计算器。该模型使用一种特殊的计算器，它将数字相乘，但也可以将它们提升到它想要的任何幂次——甚至是奇怪的、分数的或负的幂次。
复数域：为了使这种数学运算顺畅进行（特别是在处理负数或根号时），该模型在“复数”世界中运行。想象一张地图，你不仅有南北方向（实数），还有东西方向（虚数）。该模型利用这个额外的维度来导航那些会让标准计算器陷入困境的棘手数学地形。
结果：该模型输出一系列项（如 $5x^2y$ 或 $-4z^{0.1}$ ），并将它们相加以重现系统的行为。

3. 测试厨房：基准系统

作者在四个著名的“混沌”系统（已知极难预测的数学食谱）上测试了他们的侦探工具：

Lorenz63：经典的气象模型。
Lorenz84：更复杂的气象模型。
四翼吸引子：一个看起来像有四只翅膀的蝴蝶的系统。
Lorenz_Fract：第一个模型的修改版，包含了一种“分数”食材（平方根）。

结果：

当他们向模型提供足够的数据（至少 3,000 个点）时，对于标准系统，它成功地在 90% 的情况下重新发现了精确的原始食谱。
即使对于棘手的“分数”系统，它的正确率也达到了 70–90%。
“水晶球”测试：一旦模型找到了食谱，他们就让它预测未来。如果食谱完美，预测将永远保持正轨。如果食谱略有错误，预测最终会失控。该模型非常准确，其预测在很长一段时间内都保持稳定。

4. 现实世界的挑战：人类行走

最后，他们将此工具应用于混乱且真实的场景：人类行走的加速度计数据。

问题：与上述干净的数学问题不同，行走充满噪声且具有高维性（许多变量）。没有已知的“人类行走食谱”可供对比。
方法：模型没有寻找微分方程（变化的食谱），而是学会了基于前 50 步来预测下一步的行走。
结果：模型学习到了稳定的模式。即使被要求预测长达 30 秒的行走（是训练时间的三倍），它也没有失控。误差保持微小且有界，约为总运动范围的 12–14%。它成功捕捉到了行走的节奏，而无需事先了解物理学。

5. 局限（不足之处）

论文承认目前还有一些不完美之处：

猜测规模：你必须告诉模型大致需要寻找多少种“食材”（项）。如果猜测过低，它无法找到食谱；如果猜测过高，结果会变得混乱。
复杂性：当应用于行走数据时，模型变得非常庞大（数千个参数）。虽然它起作用了，但生成的“食谱”过于复杂，人类难以轻松阅读和理解。在这个高维案例中，它是一个“黑箱”，这与它在数学基准上发现的简单、可读的公式不同。
噪声：行走数据必须先进行清理（滤波），模型才能从中学习。它尚未在非常嘈杂的数据上经过广泛测试。

总结

本文介绍了一种智能、灵活的工具，它可以直接从数据中逆向工程出自然法则（或至少是复杂系统），而无需预先提供可能的公式列表。它在数学谜题上表现卓越，并显示出在人类运动等现实世界、混乱数据中的应用前景，前提是你必须有足够的数据供其使用。

技术摘要：基于复值乘积单元的动力系统模型发现

问题陈述
从观测轨迹中恢复控制方程，相较于单纯的状态预测，能为动力系统提供更深层的结构洞察。然而，在高维系统中识别相关的单项式（特别是涉及分数指数或负指数的单项式）极具挑战性，因为候选项的数量可能无限。现有的方法，如 SINDy（非线性动力学稀疏识别）和符号回归，依赖于预定义的候选函数库。这种限制限制了非线性函数类的表达能力，并且随着输入维度的增加，候选项数量呈指数级增长，使得穷举搜索变得不可行。

方法论
作者提出了一种利用复值乘积单元网络的数据驱动方法，用于在不依赖预定义候选库的情况下发现控制方程。

架构：该模型利用乘积单元，其中每个单元计算输入项的复数幂次乘积（ $x_i^{w_i}$ ）。这些单元通过将求和单元与定义在复数域内的对数和指数激活函数相连接来实现： $\prod x_i^{w_i} = \exp(\sum w_i \log x_i)$ 。
公式化：网络输出表示常微分方程（ODE）的右侧（RHS），即这些复数单项式的稀疏线性组合：
$\hat{f}(x_1, \dots, x_n) = \sum_{k=1}^m c_k \prod_{i=1}^n x_i^{w_{k,i}}$
其中 $c_k$ 和 $w_{k,i}$ 是从数据中直接学习得到的复数系数和指数。
训练：网络通过梯度下降（Adam 优化器）进行训练，使用复数均方误差损失函数。对于基准系统，模型学习在给定状态变量的情况下预测时间导数（ $\dot{x}$ ）。对于缺乏导数数据的真实步态数据，模型采用时间延迟嵌入，直接从一系列过去观测值预测下一个状态。
后处理：为了处理数值噪声并确保稳定性，绝对系数低于 $10^{-3}$ 的项被排除。相似的项（指数差异 $\le 0.1$ ）通过平均指数和求和系数进行合并。

主要贡献

无库发现：与 SINDy 或符号回归不同，该方法不需要预设的候选函数集。它直接从数据中学习相关的单项式，包括那些具有分数指数或负指数的单项式。
复数域操作：通过在复数域（输入、权重和输出）中完全操作，该模型自然地处理了负输入和分数幂，而这些对于标准的实值乘积单元来说是成问题的。
稀疏表示：该方法旨在恢复驱动动力学的稀疏代数结构，从而促进可解释性。

结果
该方法在四个混沌基准系统和真实的人类步态加速度计数据上进行了评估。

基准系统（Lorenz63、Lorenz84、四翼、Lorenz_Fract）：
- 使用至少 3,000 个训练点，该模型在整数指数系统（Lorenz63、Lorenz84、四翼）的试验中，有 90% 的情况恢复了精确的控制方程。
- 对于分数变体（Lorenz_Fract，包含 $z^{0.5}$ 项），在使用 3,000 至 5,000 个数据点的情况下，精确恢复率在试验中达到了 70–90%。
- 当所有主导项都被正确识别时，有效预测时间（EPT） 实际上是无限的（与真实系统无法区分）。如果遗漏了某些项，EPT 会显著下降（低于一个李雅普诺夫时间）。
- 研究指出，输出中的虚假虚部成分通常可作为轨迹发散（预测不确定性）的早期指标。
实际应用（人类步态）：
- 应用于 150 维的步态信号（3 个轴 $\times$ 50 个时间滞后），模型被训练为根据过去的观测值预测未来状态。
- 模型在比训练区间长三倍的测试范围内产生了稳定的轨迹。
- 预测误差保持有界，均方根误差（RMSE）约为信号振幅范围的 12–14%。
- 该模型成功捕捉了步态的准周期性特征，且未积累显著的漂移。

意义与主张
论文声称，复值乘积单元网络为发现动力系统提供了一种可行的替代方案，特别是当函数形式未知或涉及非整数幂时。该方法表明：

可以在没有候选函数集先验知识的情况下，从数据中恢复精确的控制方程。
该方法自然地扩展到分数幂律，而这对于标准的稀疏回归库来说是难以处理的。
即使在没有解析方程的情况下，该模型也能为高维、含噪的真实系统（如人类步态）生成稳定且有界的预测。

局限性与未来工作
作者承认了几个限制：

超参数敏感性：乘积单元的数量必须预先指定，且必须至少等于主导项的数量；虽然训练损失可以暗示模型的充分性，但自动确定仍然是一个未解决的挑战。
可解释性与维度的权衡：在高维应用（例如，具有约 46,000 个参数的步态分析）中，解的稀疏性和人类可读性会下降。
噪声鲁棒性：该方法需要对步态数据进行低通滤波，并且需要系统地评估其对测量噪声的鲁棒性。

作者建议的未来工作包括开发自适应方法以自动确定乘积单元的数量，将框架扩展到偏微分方程，以及针对跌倒检测或步态异常识别等生物医学应用进行系统性评估。