Counting Votes with Multisets
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि कैसे मल्टीसेट्स (multisets) के श्रेणीगत गुणों—विशेष रूप से एक फ्री कम्यूटेटिव मोनोइड (free commutative monoid), फन्क्टर (functor) और मोनाड (monad) के रूप में उनकी संरचना—का उपयोग इंस्टेंट-रनऑफ (instant-runoff), डी बोर्डा (De Borda), और सिंगल ट्रांसफ़रेबल वोट (single transferrable vote) सहित विभिन्न मतदान प्रणालियों में परिणामों को व्युत्पन्न करने और व्यक्त करने के लिए प्रभावी ढंग से किया जा सकता है।
मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें
कल्पना कीजिए कि आप एक वोटिंग का संचालन कर रहे हैं, लेकिन कागज के मतपत्रों को एक-एक करके गिनने के बजाय, आप रंगीन कंचों (marbles) के एक विशाल थैले का प्रबंधन कर रहे हैं। यह इस शोध पत्र का मूल विचार है: मल्टीसेट्स (Multisets)।
यहाँ लेखक, बार्ट जैकब्स, माइकल जॉनसन और रिचर्ड बकलैंड द्वारा प्रस्तावित प्रस्ताव का रोजमर्रा के उपमाओं (analogies) का उपयोग करते हुए एक सरल विवरण दिया गया है।
1. जादुई थैला (मल्टीसेट क्या है?)
आमतौर पर, गणित में, एक "सेट" अद्वितीय वस्तुओं की एक सूची की तरह होता है। यदि आपके पास फलों का एक सेट है, तो आपके पास एक सेब और एक केला हो सकता है, लेकिन आप सेट की परिभाषा में "दो सेब" नहीं रख सकते; यह केवल "सेब" है।
एक मल्टीसेट (Multiset) कंचों के एक थैले की तरह है।
- यदि आप एक थैले में 4 लाल कंचे, 3 नीले कंचे और 2 हरे कंचे डालते हैं, तो क्रम मायने नहीं रखता।
- जो मायने रखता है वह है गिनती (count)।
- लेखक इसे इस प्रकार लिखते हैं:
4|R⟩ + 3|B⟩ + 2|G⟩। - एक चुनाव में, यह थैला वोटों का प्रतिनिधित्व करता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि किसने वोट दिया या कब वोट दिया; केवल यह मायने रखता है कि रेड के लिए 4 वोट, ब्लू के लिए 3 वोट और ग्रीन के लिए 2 वोट हैं।
यह क्यों अच्छा है?
यदि आप वोटों को एक सूची (जैसे स्प्रेडशीट) में रखते हैं, तो सूची का क्रम अनजाने में यह प्रकट कर सकता है कि किसने किसके लिए वोट दिया। लेकिन यदि आप सब कुछ एक "मल्टीसेट बैग" में डाल देते हैं, तो क्रम गायब हो जाता है। आपको एक स्वच्छ, गुमनाम गिनती मिलती है जिसे व्यक्तियों तक वापस ट्रैक करना असंभव है।
2. तीन वोटिंग गेम्स
यह शोध पत्र दिखाता है कि कैसे यह "कंचों के थैले" वाला दृष्टिकोण तीन जटिल मतदान प्रणालियों को समझना और गणना करना बहुत आसान बना देता है। वे कुछ फैंसी गणितीय शब्दों (जैसे "फंक्टर्स" और "मोनाड्स") का उपयोग करते हैं, लेकिन उन्हें कंचों को इधर-उधर ले जाने के नियमों के रूप में समझें।
गेम A: इंस्टेंट-रनऑफ वोटिंग (द "एलिमिनेशन" गेम)
- यह कैसे काम करता है: मतदाता उम्मीदवारों को रैंक करते हैं (1st, 2nd, 3rd)। यदि किसी को 50% वोट नहीं मिलते हैं, तो सबसे कम वोट पाने वाले व्यक्ति को बाहर कर दिया जाता है। उनके वोट मतदाताओं की दूसरी पसंद को दिए जाते हैं।
- मल्टीसेट ट्रिक: कल्पना करें कि आपका मतपत्रों का बैग सूचियों का एक ढेर है।
- आप हर सूची के शीर्ष (1st चॉइस) को देखते हैं और कंचों को गिनते हैं।
- आप हारने वाले (उम्मीदवार C) को ढूंढते हैं।
- आप एक "जादुई इरेज़र" (जिसे पेपर में फंक्टर कहा गया है) का उपयोग करके बैग में मौजूद हर एक सूची से उम्मीदवार C को हटा देते हैं।
- अब, 2nd चॉइस नई 1st चॉइस बन जाती है। आप बैग को फिर से गिनते हैं।
- आप इसे तब तक दोहराते हैं जब तक कि किसी को बहुमत न मिल जाए।
- लाभ: हजारों कागजों पर नाम काटने के बजाय, आप पूरे बैग पर एक साथ "डिलीट" नियम लागू कर देते हैं।
गेम B: डी बोर्डा काउंट (द "वेटेड पॉइंट्स" गेम)
- यह कैसे काम करता है: मतदाता उम्मीदवारों को रैंक करते हैं। 1st चॉइस को 4 अंक मिलते हैं, 2nd को 3, 3rd को 2, आदि। सभी अंक जोड़ दिए जाते हैं।
- मल्टीसेट ट्रिक:
- केवल वोटों को गिनने के बजाय, आप प्रत्येक एकल मतपत्र को भारित (weighted) कंचों के एक मिनी-बैग में बदल देते हैं। एक मतपत्र जो "A, B, C, D" कहता है, वह
4|A⟩ + 3|B⟩ + 2|C⟩ + 1|D⟩बन जाता है। - आप इन सभी मिनी-बैग्स को एक विशाल सुपर-बैग में डाल देते हैं।
- आप सभी परतों को आपस में मिलाने के लिए एक "फ्लैटनिंग" टूल (जिसे मोनाड कहा गया है) का उपयोग करते हैं।
- परिणाम प्रत्येक उम्मीदवार के लिए कुल अंकों की एक बड़ी गिनती है।
- केवल वोटों को गिनने के बजाय, आप प्रत्येक एकल मतपत्र को भारित (weighted) कंचों के एक मिनी-बैग में बदल देते हैं। एक मतपत्र जो "A, B, C, D" कहता है, वह
- लाभ: यह एक जटिल गणितीय समस्या को एक सरल "सब कुछ जोड़ो" ऑपरेशन में बदल देता है।
गेम C: सिंगल ट्रांसफ़रेबल वोट (द "सरप्लस शेयरिंग" गेम)
- यह कैसे काम करता है: इसका उपयोग कई लोगों (जैसे नगर परिषद) को चुनने के लिए किया जाता है। एक "कोटा" (जीतने के लिए आवश्यक न्यूनतम वोट) होता है। यदि किसी उम्मीदवार को जरूरत से कहीं अधिक वोट मिलते हैं, तो उनके अतिरिक्त वोट बर्बाद नहीं होने चाहिए; उन्हें मतदाताओं की अगली पसंद को हस्तांतरित किया जाना चाहिए।
- मल्टीसेट ट्रिक:
- कल्पना करें कि एक उम्मीदवार 93 वोटों के साथ जीतता है, लेकिन कोटा केवल 63 है। उनके पास 30 "सरप्लस" वोट हैं।
- 30 रैंडम कागजों को ट्रांसफर करने के बजाय (जो कि अनुचित होगा), लेखक एक गणितीय ट्रिक का सुझाव देते हैं: वोटों का मूल्य कम करना (Devalue the votes)।
- आप उस विजेता के लिए सभी 93 वोटों को लेते हैं और उन्हें एक विशिष्ट अंश (fraction) के अनुपात में सिकोड़ देते हैं (जैसे फोटो को छोटा करना)।
- फिर आप सूचियों से विजेता को "डिलीट" करते हैं और इन "सिकुड़े हुए" वोटों को अगले उम्मीदवारों को ट्रांसफर करते हैं।
- यह गणित को वोटों के अंशों (fractions) को पूरी तरह से संभालने की अनुमति देता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि कोई भी वोट बर्बाद न हो या दो बार न गिना जाए।
3. यह क्यों मायने रखता है?
लेखक यह नहीं कह रहे हैं कि वे एक नया प्रकार का गणित आविष्कार कर रहे हैं; वे दिखा रहे हैं कि पुराना गणित (कैटेगरी थ्योरी) आधुनिक वोटिंग के लिए एकदम सही उपकरण है।
- पारदर्शिता: क्योंकि मल्टीसेट्स वोटों के क्रम को अनदेखा करते हैं, इसलिए गिनती की प्रक्रिया गणितीय रूप से गुमनाम होने की गारंटी देती है।
- सरलता: जटिल नियम (जैसे हारने वालों को हटाना या सरप्लस वोटों को विभाजित करना) कंचों के बैग पर सरल ऑपरेशन्स बन जाते हैं।
- सटीकता: यदि आप इन "बैग" नियमों का उपयोग करके वोटों को गिनने के लिए कंप्यूटर प्रोग्राम लिखते हैं, तो कागजों के ढेरों को छांटने की तुलना में इसमें गलती करना बहुत कठिन है।
संक्षेप में: यह शोध पत्र तर्क देता है कि यदि हम वोटों को कागज के ढेर के रूप में सोचने के बजाय रंगीन कंचों के एक बैग के रूप में सोचना शुरू कर दें, तो हम उन्हें निष्पक्ष, तेजी से और बिना किसी त्रुटि के गिनने के लिए सरल, शक्तिशाली गणितीय नियमों का उपयोग कर सकते हैं।
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