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Counting Votes with Multisets

Este artículo demuestra cómo las propiedades categóricas de los multiconjuntos —específicamente su estructura como monoide conmutativo libre, functor y mónada— pueden aplicarse eficazmente para derivar y expresar resultados en diversos sistemas de votación, incluyendo la segunda vuelta instantánea, el método de De Borda y el voto único transferible.

Autores originales: Bart Jacobs, Michael Johnson, Richard Buckland

Publicado 2026-06-05

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CC BY 4.0

Autores originales: Bart Jacobs, Michael Johnson, Richard Buckland

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que estás dirigiendo una votación, pero en lugar de contar papeletas de papel una por una, estás gestionando una bolsa gigante de canicas de colores. Esta es la idea central del artículo: Multiset (Multiconjuntos).

Aquí tienes un desglose sencillo de lo que proponen los autores, Bart Jacobs, Michael Johnson y Richard Buckland, utilizando analogías de la vida cotidiana.

1. La Bolsa Mágica (¿Qué es un Multiset?)

Normalmente, en matemáticas, un "conjunto" (set) es como una lista de elementos únicos. Si tienes un conjunto de frutas, puedes tener una manzana y un plátano, pero no puedes tener "dos manzanas" en la definición del conjunto; es solo "manzanas".

Un Multiset es como una bolsa de canicas.

Si pones 4 canicas rojas, 3 azules y 2 verdes en una bolsa, el orden no importa.
Lo que importa es el conteo.
Los autores escriben esto como: 4|R⟩ + 3|B⟩ + 2|G⟩.
En una elección, esta bolsa representa los votos. No importa quién votó o cuándo votó; solo importa que hay 4 votos para Rojo, 3 para Azul y 2 para Verde.

¿Por por qué es esto bueno?
Si guardas los votos en una lista (como una hoja de cálculo), el orden de la lista podría revelar accidentalmente quién votó por quién. Pero si simplemente los echas en una "bolsa de multiconjuntos", el orden desaparece. Obtienes un conteo limpio y anónimo que es imposible de rastrear hasta los individuos.

2. Los Tres Juegos de Votación

El artículo muestra cómo este enfoque de la "bolsa de canicas" hace que tres sistemas de votación complejos sean mucho más fáciles de entender y calcular. Utilizan algunos términos matemáticos sofisticados (como "funtores" y "mónadas"), pero piensen en ellos como reglas para mover las canicas de un lado a otro.

Juego A: Votación con Segunda Vuelta Instantánea (El juego de la "Eliminación")

Cómo funciona: Los votantes clasifican a los candidatos (1º, 2º, 3º). Si nadie obtiene el 50% de los votos, la persona con menos votos es expulsada. Sus votos se transfieren entonces a la segunda opción de los votantes.
El truco del Multiset: Imagina que tu bolsa de papeletas es una pila de listas.
1. Miras la parte superior de cada lista (la 1ª opción) y cuentas las canicas.
2. Encuentras al perdedor (Candidato C).
3. Utilizas un "borrador mágico" (llamado functor en el artículo) para eliminar al Candidato C de cada una de las listas en la bolsa.
4. Ahora, las 2ª opciones se convierten en las nuevas 1ª opciones. Cuentas la bolsa de nuevo.
5. Repites esto hasta que alguien tenga la mayoría.
El beneficio: En lugar de tachar nombres manualmente en miles de papeles, simplemente aplicas la regla de "eliminar" a toda la bolsa a la vez.

Juego B: Conteo de De Borda (El juego de los "Puntos Ponderados")

Cómo funciona: Los votantes clasifican a los candidatos. La 1ª opción recibe 4 puntos, la 2ª recibe 3, la 3ª recibe 2, etc. Los puntos de todos se suman.
El truco del Multiset:
1. En lugar de solo contar votos, conviertes cada papeleta en una mini-bolsa de canicas ponderadas. Una papeleta que dice "A, B, C, D" se convierte en 4|A⟩ + 3|B⟩ + 2|C⟩ + 1|D⟩.
2. Echas todas estas mini-bolsas en una gran super-bolsa.
3. Utilizas una herramienta de "aplanado" (llamada mónada) para aplastar todas las capas juntas.
4. El resultado es un gran conteo de puntos totales para cada candidato.
El beneficio: Convierte un problema matemático complejo en una operación simple de "sumar todo".

Juego C: Voto Transferible Único (El juego de "Compartir el Excedente")

Cómo funciona: Esto se utiliza para elegir a varias personas (como un consejo municipal). Hay una "cuota" (un número mínimo de votos necesarios para ganar). Si un candidato obtiene muchos más votos de los necesarios, los votos extra no deberían desperdiciarse; deben transferirse a la siguiente opción de los votantes.
El truco del Multiset:
1. Imagina que un candidato gana con 93 votos, pero la cuota es de solo 63. Tiene 30 votos de "excedente".
2. En lugar de elegir 30 papeles al azar para transferir (lo cual sería injusto), los autores sugieren un truco matemático: Devaluar los votos.
3. Tomas los 93 votos de ese ganador y los reduces mediante una fracción específica (como encoger una fotografía).
4. Luego, "eliminas" al ganador de las listas y transfieres estos votos "encogidos" a los siguientes candidatos.
5. Esto permite que las matemáticas manejen las fracciones de votos perfectamente, asegurando que ningún voto se pierse o se cuente dos veces.

3. ¿Por qué es esto importante?

Los autores no están intentando inventar un nuevo tipo de matemáticas; están demostrando que la matemática antigua (Teoría de Categorías) es la herramienta perfecta para la votación moderna.

Transparencia: Debido a que los multiconjuntos ignoran el orden de los votos, el proceso de conteo garantiza matemáticamente el anonimato.
Simplicidad: Las reglas complejas (como eliminar perdedores o dividir el excedente de votos) se convierten en operaciones simples sobre una bolsa de canicas.
Corrección: Si escribes un programa informático para contar votos usando estas reglas de "bolsas", es mucho más difícil cometer un error que si intentas clasificar pilas de papel.

En pocas palabras: El artículo sostiene que si dejamos de pensar en los votos como un desordenado montón de papeles y empezamos a pensarlos como una bolsa de canicas de colores, podemos usar reglas matemáticas simples y potentes para contarlos de manera justa, rápida y sin errores.

Resumen Técnico: Conteo de Votos con Multiconjuntos

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el desafío de describir, explicar e implementar algoritmos de conteo de votos para sistemas electorales complejos, particularmente aquellos que involucran votación preferencial (preferéndums) y múltiples opciones ponderadas. Mientras que las elecciones simples (por ejemplo, dos candidatos, un solo voto) pueden describirse mediante listas o conteos simples, los mecanismos como la Votación de Segunda Vuelta Instantánea (IRV), los conteos de De Borda y el Voto Único Transferible (STV) implican la transferencia de votos excedentes, la eliminación de candidatos y la reponderación de preferencias. Los autores argumentan que los tipos de datos estándar como las listas son subóptimos para estas tareas porque retienen el orden (lo cual es irrelevante para el resultado) y pueden filtrar información relativa a la secuencia de votación, comprometiendo potencialmente la confidencialidad. Además, implementar estos algoritmos con listas suele derivar en un código complejo y ad-hoc que es difícil de verificar en cuanto a su corrección y transparencia.

Metodología
El artículo propone modelar los resultados electorales y los procesos de conteo de votos utilizando multiconjuntos (conjuntos donde los elementos pueden ocurrir múltiples veces) en lugar de listas. Los autores emplean técnicas elementales de la teoría de categorías para formalizar las operaciones sobre estos multiconjuntos. La metodología central consiste en:

Selección de Tipos de Datos: Representar una colección de votos como un multiconjunto $N(X)$ (o $M(X)$ para votos fraccionarios), donde los elementos son candidatos y las multiplicidades son conteos de votos. Esto abstrae el orden de los votos.
Estructuras Categóricas: Los autores utilizan tres propiedades categóricas específicas de los multiconjuntos para derivar y expresar algoritmos de votación:
- Monoide Conmutativo: Los multiconjuntos forman un monoide conmutativo libre, lo que permite la adición de conteos de votos (unión de urnas) donde el orden es irrelevante.
- Funtorialidad: La construcción del multiconjunto $N$ actúa como un funtor. Esto permite que las funciones definidas sobre los candidatos (por ejemplo, "cabeza de lista" o "eliminar candidato") se eleven a funciones sobre multiconjuntos de listas. Esta propiedad se utiliza para agregar las primeras preferencias y para redistribuir los votos cuando un candidato es eliminado.
- Estructura de Mónada: Los multiconjuntos forman una mónada con unit (creación de un multiconjunto de un solo elemento) y flatten (colapso de un multiconjunto de multiconjuntos). Esta estructura se utiliza para manejar conteos ponderados donde un solo voto (una lista de preferencias) se descompone en contribuciones ponderadas a múltiples candidatos.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo demuestra la aplicación de estas estructuras categóricas a través de tres mecanismos de votación específicos, utilizando ejemplos a pequeña escala (verificados mediante scripts de Python de la librería EfProb) para ilustrar la abstracción:

Votación de Segunda Vuelta Instantánea (IRV):
- Mecanismo: Los candidatos con la menor cantidad de votos de primera preferencia son eliminados iterativamente, y sus votos se transfieren a la siguiente preferencia.
- Aplicación: Los autores utilizan la funtorialidad de los multiconjuntos. La función head (selección de la primera preferencia) y la función delete (eliminación de un candidato) se elevan para operar sobre el multiconjunto de listas de preferencias. Esto permite que la agregación de las primeras preferencias y la subsecuente redistribución de votos se expresen como composiciones funcionales simples ( $N(\text{hd})$ y $N(\text{del } c)$ ), evitando el procesamiento complejo e iterativo de listas.
Conteo de De Borda:
- Mecanismo: Los votantes clasifican a los candidatos, y se asignan puntos basados en el rango (por ejemplo, el 1er lugar obtiene $n$ puntos, el 2do obtiene $n-1$ , etc.).
- Aplicación: Se utiliza la estructura de mónada. Cada lista de preferencias se mapea a un multiconjunto de candidatos ponderados (mediante unit y la asignación de puntos). La colección de todos estos multiconjuntos de candidatos ponderados forma un multiconjunto de multiconjuntos. La operación flatten colapsa esta estructura en un único multiconjunto de puntajes totales, sumando eficientemente las contribuciones ponderadas.
Voto Único Transferible (STV):
- Mecanismo: Utilizado en electorados de múltiples miembros. Los candidatos que superan un cupo (cuota de Droop) son elegidos, y su excedente de votos se transfiere a la siguiente preferencia.
- Aplicación: Los autores extienden el tipo de dato a multiconjuntos fraccionarios ( $M(X)$ ) para manejar el "valor de transferencia" (una fracción de un voto). Utilizan la estructura de monoide para la sustracción (desvalorización de los votos utilizados para elegir a un candidato) y la funtorialidad para la redistribución. El proceso se modela como una sustracción iterativa de los votos ponderados por la cuota del candidato elegido del multiconjunto total, seguida de la eliminación del candidato elegido y la transferencia de los pesos fraccionarios restantes a la siguiente preferencia.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma modestamente que su contribución principal no es la teoría de categorías profunda, sino el reconocimiento y la explotación de las estructuras categóricas existentes (funtores, mónadas, monoides) dentro del dominio de los sistemas de votación. Los autores argumentan que:

Abstracción: Describir estos algoritmos en términos de multiconjuntos los hace "abstractos", permitiendo que mecanismos complejos se describan en pocas líneas de notación matemática.
Corrección y Transparencia: El enfoque de multiconjuntos garantiza intrínsecamente la estabilidad bajo la permutación de votos (independencia del orden), un requisito fundamental para un conteo justo. Separa la lógica del conteo de la representación física o secuencial de las boletas.
Implementación: La abstracción facilita la creación de implementaciones demostrablemente correctas en lenguajes de programación funcional (por ejemplo, Haskell) que admiten multiconjuntos.
Accesibilidad: El artículo busca hacer que estas técnicas categóricas sean accesibles para no expertos, demostrando que son herramientas prácticas para asegurar la transparencia y la exactitud en los resultados electorales, en lugar de ser meros constructos teóricos.

El artículo concluye que, si bien se realizaron suposiciones simplificadoras (por ejemplo, longitudes de lista uniformes), el enfoque de multiconjuntos ofrece un marco robusto para futuras implementaciones de referencia y el análisis de algoritmos electorales, yendo más allá de la dependencia histórica de la clasificación de papeletas físicas.