Two pathways to diapycnal mixing in strongly stratified flows with no initial vertical shear

समस्या विवरण

बड़े पैमाने पर, दृढ़ता से स्तरित (strongly stratified) क्षैतिज प्रवाहों की त्रि-आयामी (3D) विक्षोभों के प्रति स्थिरता, भू-भौतिकीय और खगोलीय प्रणालियों में ऊर्जा के नीचे की ओर स्थानांतरण (downscale transfer) और डायपिकनल (diapycnal) परिवहन के लिए एक महत्वपूर्ण तंत्र है। जबकि ऊर्ध्वाधर कतरनी (vertically-sheared) वाले स्तरित प्रवाहों का व्यापक अध्ययन किया गया है, उनके क्षैतिज कतरनी वाले समकक्षों (बिना किसी प्रारंभिक ऊर्ध्धर कतरनी के) पर कम ध्यान दिया गया है। एक केंद्रीय प्रश्न बना हुआ है: कैसे प्रारंभ में द्वि-आयामी (2D), दृढ़ रूप से स्तरित ($Fr \ll 1$) क्षैतिज कतरनी प्रवाह टर्बुलेंस (विक्षोभ) में परिवर्तित होते हैं और ऊर्ध्वाधर कतरनी उत्पन्न करते हैं। पिछला साहित्य दो अलग-अलग मार्गों का सुझाव देता है: एक जिसमें प्राथमिक 3D मोड का सीधा विकास होता है जो केल्विन-हेल्महोल्ट्ज़ (KH) अस्थिरताओं की ओर ले जाता है, और दूसरा जो स्तंभकार भंवरों (columnar vortices) के गैर-रैखिक विकास और उसके बाद द्वितीयक अस्थिरताओं में शामिल है। हालांकि, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या ये मार्ग प्रारंभिक स्थितियों (जैसे कि हाइपरबोलिक टेंगेंट बनाम साइनुसोइडल प्रोफाइल) में अंतर के कारण परस्पर अनन्य (mutually exclusive) हैं या वे एक ही भौतिक प्रणाली के भीतर उपलब्ध वैकल्पिक मार्ग हैं। इसके अलावा, चयनित मार्ग का डायपिकनल मिश्रण दक्षता (diapycnal mixing efficiency) पर प्रभाव को व्यवस्थित रूप से मापा जाना शेष था।

कार्यप्रणाली

लेखक एक त्रि-आवधिक डोमेन (triply-periodic domain) में इन संक्रमणों की जांच करने के लिए रैखिक स्थिरता सिद्धांत (linear stability theory) को डायरेक्ट न्यूमेरिकल सिमुलेशन (DNS) के साथ जोड़ते हैं। यह अध्ययन एक रैखिक रूप से स्तरित तरल में निरंतर उत्प्लावकता आवृत्ति (buoyancy frequency) $N$ के साथ, ऊर्ध्धर रूप से अपरिवर्तित, क्षैतिज, समतल-समानांतर कोलमोलॉग फ्लो ($\bar{u}(y) = \sin(y)\mathbf{e}_x$) पर केंद्रित है। सिमुलेशन उच्च रेनॉल्ड्स ($Re = 10,000$) और पेक्लेट ($Pe = 10,000$) संख्याओं पर, निम्न फ्रोड संख्या ($Fr = 0.15$और$Fr = 0.1$), जिसके परिणामस्वरूप उत्प्लावकता रेनॉल्ड्स संख्या ($Re_b = Fr^2 Re$) क्रमशः 225 और 100 है, पर किए गए हैं।

प्रारंभिक स्थितियों के प्रभाव को अलग करने के लिए, DNS के दो सेट किए गए हैं:

1. DNS1 (मार्ग P1): ग्रिड-स्केल व्हाइट नॉइज़ (white noise) के साथ शुरू किया गया, जिससे प्राथमिक क्षैतिज कतरनी अस्थिरता के सभी अस्थिर मोड विकसित हो सकें।
2. DNS2 (मार्ग P2): ग्रिड-स्केल नॉइज़ और प्राथमिक अस्थिरता के सबसे तेजी से बढ़ने वाले 2D ($k_z=0$) आइगेनमोड (eigenmode) के एक विशिष्ट "सीड" (seed) के साथ शुरू किया गया।

इसके अतिरिक्त, लेखक DNS2 में उभरने वाले स्तंभकार प्रवाह (columnar flow) के एक "फ्रीजन-इन" (frozen-in) विश्लेषणात्मक मॉडल का रैखिक स्थिरता विश्लेषण करते हैं। यह मॉडल गैर-रैखिक रूप से विकसित 2D प्रवाह को एक टेलर-ग्रीन भंवर सरणी (Taylor-Green vortex array) और साइनुसोइडल प्रवाह के सुपरइम्पोजिशन के रूप में अनुमानित करता है, जिससे आइगेनमोड्स और द्वितीयक 3D विक्षोभों की वृद्धि दर की गणना की जा सके।

मुख्य योगदान और परिणाम

1. एक ही सेटअप में दो मार्गों की पुष्टि:
   अध्ययन यह प्रदर्शित करता है कि दोनों मार्ग एक ही मॉडल सेटअप के भीतर घटित हो सकते हैं, जिन्हें केवल प्रारंभिक विक्षोभ स्पेक्ट्रम द्वारा अलग किया जा सकता है:

• मार्ग P1 (प्रत्यक्ष 3D विकास): व्हाइट नॉइज़ के साथ शुरू करने पर, प्राथमिक क्षैतिज कतरनी अस्थिरता के $k_z \neq 0$ आइगेनमोड सीधे बढ़ते हैं। ये मोड ऊर्ध्वाधर कतरनी को व्यापक पैमाने पर उत्पन्न करते हैं, जो बाद में पर्याप्त $Re_b$ होने पर द्वितीयक, सूक्ष्म-पैमाने की KH अस्थिरताओं के प्रति अस्थिर हो जाते हैं। यह मार्ग बॉडी-फोर्स्ड कोलमोलॉग फ्लो में देखे गए अवलोकनों के अनुरूप है।
• मार्ग P2 (स्तंभकार विकास): जब $k_z=0$ मोड को सीड किया जाता है, तो यह प्रवाह पर हावी हो जाता है, जो पृष्ठभूमि को एक लंबे समय तक चलने वाले, समय-परिवर्तनीय 2D स्तंभकार (भंवर) प्रवाह की ओर ले जाता है। यह 2D अवस्था बाद में द्वितीयक 3D मोड के प्रति अस्थिर होती है। लेखक इन द्वितीयक मोड को भंवर सरणी के हाइपरबोलिक स्टैग्नेशन पॉइंट्स (stagnation points) से उत्पन्न होने वाली हाइपरबोलिक अस्थिरताओं के रूप में पहचानते हैं। इन अस्थिरताओं में उच्च ऊर्ध्वाधर वेवनंबर ($k_z \sim Fr^{-1}$) होते हैं और वे ऊर्ध्वाधर कतरनी के उद्भव को संचालित करते हैं, जो अंततः तृतीयक KH अस्थिरताओं को ट्रिगर करती है।

2. मार्ग P2 में द्वितीयक अस्थिरता का लक्षण वर्णन:
   फ्रीजन कॉलम फ्लो के रैखिक स्थिरता विश्लेषण के माध्यम से, लेखक दिखाते हैं कि द्वितीयक अस्थिरता एक उच्च-$k_z$ हाइपरबोलिक अस्थिरता है। इस अस्थिरता की वृद्धि दर हाइपरबोलिक बिंदुओं के स्थानीय स्ट्रेन रेट ($\Delta_h$) के साथ स्केल करती है और बड़े आयामों के लिए स्तरण (stratification) की शक्ति से काफी हद तक स्वतंत्र होकर लगभग $\lambda \approx 0.46 \Delta_h$ होती है। यह अस्थिरता हाइपरबोलिक बिंदुओं के आसपास ऊर्ध्धर वेग क्षेत्र में "रिपल्स" (ripples) के रूप में प्रकट होती है, जो अलग-थलग पड़े भंवर युग्मों में देखी जाने वाली पारंपरिक "जिगज़ैग" अस्थिरता से भिन्न है।

3. मिश्रण दक्षता पर प्रभाव:
   अध्ययन दोनों मार्गों के लिए डायपिकनल मिश्रण और मिश्रण दक्षता ($\eta$) को मापता है।

• उत्प्लावकता अपव्यय (Buoyancy Dissipation - $\chi$): उत्प्लावकता विचरण अपव्यय की शिखर दर दोनों मार्गों में तुलनीय है, क्योंकि यह दोनों मामलों में सूक्ष्म-पैमाने की गतियों ($k_z \gtrsim Fr^{-1}$) द्वारा नियंत्रित होती है।
• श्यान अपव्यय (Viscous Dissipation - $\epsilon$): मार्ग P2 में मार्ग P1 की तुलना में काफी अधिक श्यान अपव्यय होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि P2 एक संकीर्ण, उच्च-$k_z$ स्पेक्ट्रम को उत्तेजित करता है, जिससे पतली ऊर्ध्धर कतरनी परतों में तीव्र अपव्यय होता है। इसके विपरीत, P1 ऊर्ध्वाधर पैमानों के एक व्यापक स्पेक्ट्रम को उत्तेजित करता है, जिससे अपव्यय अधिक व्यापक रूप से वितरित होता है।
• मिश्रण दक्षता: फलस्वरूप, मार्ग P1 में शिखर मिश्रण दक्षता ($\eta_{max} \approx 0.25$) मार्ग P2 ($\eta_{max} \approx 0.165$) की तुलना में काफी अधिक है। इसका कारण यह है कि P2 मिश्रित उत्प्लावकता की मात्रा के सापेक्ष अधिक गतिज ऊर्जा को नष्ट करता है।

महत्व और दावे

यह शोध दावा करता है कि यदि पर्याप्त बड़े $Re_b$ पर पर्याप्त रूप से स्तरित प्रवाह में इन्फ्लेक्शन पॉइंट (inflection point) मौजूद है, तो ऊर्ध्वाधर कतरनी द्वारा संचालित सूक्ष्म-पैमाने की KH अस्थिरताओं का उदय एक अनिवार्य परिणाम है। दोनों मार्गों के बीच चयन प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित होता है: विशेष रूप से, $k_z=0$ मोड का प्रारंभिक आयाम $k_z \neq 0$ मोड के सापेक्ष अनुपात द्वारा।

लेखक सुझाव देते हैं कि पिछले साहित्य (विशेष रूप से हाइपरबोलिक टेंगेंट शियर लेयर अध्ययनों) में मार्ग P2 की व्यापकता, प्रारंभिक स्थितियों के अभ्यास का एक आर्टिफैक्ट (artifact) हो सकती है जहाँ अक्सर गणनाओं को तेज करने के लिए $k_z=0$ सीड जोड़ा जाता है, जिससे प्रत्यक्ष 3D मोड (मार्ग P1) का विकास दब जाता है। इसके विपरीत, कुछ संदर्भों में P1 की कमी कमजोर स्तरण सीमाओं के कारण हो सकती है जहाँ अस्थिर $k_z \neq 0$ मोड की सीमा सीमित होती है।

अंततः, यह कार्य स्थापित करता है कि क्षैतिज कतरनी अस्थिरताएं, बिना किसी पूर्व-मौजूद ऊर्ध्वाधर कतरनी के भी, दृढ़ रूप से स्तरित प्रवाह में टर्बुलेंस और डायपिकनल मिश्रण उत्पन्न करने में प्रमुख भूमिका निभाती हैं। यह रेखांकित करता है कि टर्बुलेंस के लिए मार्ग का चयन (प्रत्यक्ष 3D विकास बनाम 2D-से-3D संक्रमण) ऊर्जा अपव्यय स्पेक्ट्रम और फलस्वरूप मिश्रण की दक्षता को मौलिक रूप से बदल देता है, जो कि जलवायु और भू-भौतिकीय मॉडलों में टर्बुलेंस को पैरामीटराइज़ करने के लिए एक कारक है। लेखक नोट करते हैं कि हालांकि उनके परिणाम आदर्शित प्रवाहों के लिए मजबूत हैं, लेकिन वास्तविक भू-भौतिकीय सेटिंग्स में घूर्णन (rotation) और परिवेशी तरंग क्षेत्रों (ambient wave fields) के बीच की परस्पर क्रिया अभी भी एक खुला प्रश्न है।