New Ideas on a New Old Type of Cipher:The Mixed-Radix One-Time Pad

तकनीकी सारांश: मिक्स्ड-रैडिक्स वन-टाइम पैड (MR-OTP)

समस्या विवरण
यह शोधपत्र गैर-समान आधारों (मिक्स्ड-रैडिक्स न्यूमरल सिस्टम) का उपयोग करके डेटा के प्रतिनिधित्व और एन्क्रिप्शन को संबोधित करता है। जबकि 2012 के एक प्रीप्रिंट ने घटते विभाजकों (decreasing divisors) के माध्यम से पूर्णांकों के अपघटन पर आधारित एक सिफर पेश किया था, वह एक अपूर्ण विचार था जिसमें जटिल विश्लेषणात्मक बाधाएं थीं। मुख्य समस्या इस अवधारणा को एक कठोर क्रिप्टोग्राफिक प्रिमिटिव (primitive) में औपचारिक रूप देने की है, जो शास्त्रीय वन-टाइम पैड (OTP) को मिक्स्ड बेस में सामान्यीकृत (generalize) करता है, और यह निर्धारित करना है कि क्या गुप्त आधारों (secret bases) का उपयोग पूर्ण गोपनीयता (perfect secrecy) के लिए सूचना-सैद्धांतिक कुंजी आवश्यकताओं (information-theoretic key requirements) को कम कर सकता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक अंतर्निहित मिक्स्ड-रैडिक्स प्रतिनिधित्व को औपचारिक रूप देते हैं और मिक्स्ड-रैडिक्स वन-टाइम पैड (MR-OTP) को परिभाषित करते हैं।

• प्रतिनिधित्व: एक संदेश $M$ को आधारों के एक अनुक्रम $B = (b_1, \dots, b_L)$ द्वारा परिभाषित डिजिट स्पेस के भीतर अंकों के टुपल $(m_1, \dots, m_L)$ के रूप में माना जाता है, जहाँ प्रत्येक $b_i \ge 2$ है। संदेश अगले आधारों के गुणनफल से प्राप्त स्थितिगत भार (positional weights) के माध्यम से एक पूर्णांक के अनुरूप होता है।
• एन्क्रिप्शन: सिफर प्रत्येक अंक के स्तर पर कार्य करता है। एक यादृच्छिक कुंजी $K = (k_1, \dots, k_L)$ दिए जाने पर, जो की-स्पेस से समान रूप से चुनी गई है, एन्क्रिप्शन $c_i = (m_i + k_i) \mod b_i$ के रूप में किया जाता है।
• डिक्रिप्शन: व्युत्क्रम ऑपरेशन (inverse operation) $m_i = (c_i - k_i) \mod b_i$ है।
• विश्लेषण: शोधपत्र शैनन (Shannon) की 'परफेक्ट सीक्रेसी' की परिभाषा का उपयोग करता है, जिसमें संदेशों के साइफरटेक्स्ट के साथ सशर्त प्रायिकता (conditional probability) का विश्लेषण करने के लिए बेयस नियम (Bayes' rule) का उपयोग किया गया है। यह इस बात का भी परीक्षण करता है कि जब आधारों को गुप्त माना जाता है तो की-स्पेस की एंट्रॉपी क्या होती है, बनाम जब आधार निश्चित होते हैं।

मुख्य योगदान

1. MR-OTP का औपचारिकीकरण: शोधपत्र MR-OTP को मिक्स्ड-रैडिक्स सिस्टम के लिए OTP के स्वाभाविक विस्तार के रूप में परिभाषित करता है, जो बिटवाइज़ XOR के स्थान पर $b_i$ के मॉड्युलो (modulo) के साथ अंक-वार जोड़ (digit-wise addition) का उपयोग करता है।
2. परफेक्ट सीक्रेसी और शुद्धता (Correctness) का प्रमाण:
   • शुद्धता (Correctness): यह सिद्ध करके प्रमाणित है कि एन्क्रिप्शन मैप प्रत्येक स्थिति के लिए परिमित चक्रीय समूह (finite cyclic group) $\mathbb{Z}_{b_i}$ पर एक बायजेक्शन (bijection) है।
   • परफेक्ट सीक्रेसी: यह प्रदर्शित करके प्रमाणित किया गया है कि एक समान रूप से यादृच्छिक कुंजी के लिए, संदेश $m$ के दिए जाने पर साइफरटेक्स्ट $c$ की प्रायिकता $m$ पर निर्भर नहीं करती है। फलस्वरूप, साइफरटेक्स्ट के दिए जाने पर संदेश की पश्च प्रायिकता (posterior probability), संदेश की पूर्व प्रायिकता (prior probability) के बराबर होती है।
3. शास्त्रीय OTP का सामान्यीकरण: शोधपत्र स्थापित करता है कि शास्त्रीय बाइनरी OTP एक विशिष्ट मामला है जहाँ सभी $b_i = 2$ हैं, और फिक्स्ड-बेस वेरिएंट्स किसी भी मनमाने वर्णमाला (जैसे लैटिन टेक्स्ट के लिए आधार 26) पर OTP को पुनः प्राप्त करते हैं।
4. "शॉर्ट की" (Short Key) अनुमान का समाधान: शोधपत्र इस परिकल्पना की जांच करता है कि आधारों $B$ को गुप्त कुंजी के हिस्से के रूप में मानने से एडिटिव पैड $k$ को पूर्ण गोपनीयता बनाए रखते हुए संदेश से छोटा बनाया जा सकता है। यह सिद्ध करता है कि यह असत्य है।
   • तर्क: पूर्ण गोपनीयता के लिए आवश्यक है कि एडिटिव पैड $k$ प्रत्येक स्थिति के लिए पूर्ण सेट $\{0, \dots, b_i-1\}$ पर समान रूप से वितरित हो। यदि पैड को छोटा किया जाता है (अर्थात, यह संदेश स्पेस की पूर्ण एंट्रॉपी को कवर नहीं करता है), तो $P[C|M]$ की सशर्त प्रायिकता $M$ पर निर्भर हो जाती है, जिससे पूर्ण गोपनीयता टूट जाती है। गुप्त आधारों की एंट्रॉपी $H(B)$ कुल कुंजी एंट्रॉपी में जुड़ती है लेकिन वह एडिटिव पैड के लिए आवश्यक एंट्रॉपी की प्रतिस्थापन (substitute) नहीं कर सकती।
5. की-रोलिंग सेशन प्रोटोकॉल: एक व्यावहारिक प्रोटोकॉल प्रस्तावित किया गया है जहाँ एक साझा प्रारंभिक कुंजी को अलग-अलग खंडों में विभाजित किया जाता है। प्रत्येक सत्र एक नए खंड का उपयोग एडिटिव पैड के लिए और एक नए खंड का उपयोग अगले सत्र के लिए आधारों को परिभाषित करने के लिए करता है। यह पूर्ण गोपनीयता को बनाए रखते हुए आधारों को डेटा की संरचना (जैसे, टेक्स्ट के लिए आधार 26 से मेल खाना) के अनुकूल होने की अनुमति देता है, जिससे कुल कुंजी सामग्री का उपयोग कम नहीं होता है।

परिणाम

• सैद्धांतिक सीमाएँ: MR-OTP शैनन के बाउंड $|K| \ge |M|$ का पालन करता है। की-स्पेस और मैसेज-स्पेस सहवर्ती (coincide) हैं ($K = D_B = M$), जिससे कोई भी कुंजी सामग्री बर्बाद नहीं होती है।
• एंट्रॉपी लेखांकन (Entropy Accounting): कुल कुंजी एंट्रॉपी $H(K) = H(B) + H(k|B)$ है। चूंकि पूर्ण गोपनीयता के लिए $H(k|B) \ge H(M)$ आवश्यक है, इसलिए गुप्त आधारों का समावेश पूर्ण गोपनीयता के लिए आवश्यक कुल कुंजी एंट्रॉपी की आवश्यकता को कम करने के बजाय उसे बढ़ाता है।
• ओवरहेड: प्रस्तावित सेशन प्रोटोकॉल में, आधारों को प्रसारित करने का ओवरहेड नगण्य है जब औसत आधार का आकार स्वयं आधार को दर्शाने के लिए आवश्यक बिट्स के सापेक्ष बड़ा होता है। बाइनरी बेस ($b_i=2$) के डिजेनरेट केस में, ओवरहेड पैड की लंबाई के बराबर होता है, जो मानक बाइनरी OTP पर कोई प्रतिनिधित्व लाभ नहीं देता है।

महत्व और दावे
शोधपत्र यह दावा करता है कि यह OTP का एक "स्वच्छ सामान्यीकरण" प्रदान करता है जो बीजगणितीय समूह सिद्धांत (algebraic group theory - परिमित अबेलियन समूहों पर OTP) को संख्या प्रणालियों (numeral systems) से जोड़ता है। इसका प्राथमिक महत्व है:

• स्पष्टीकरण: यह एक पहले से मौजूद अस्पष्ट अवधारणा को कठोर रूप से औपचारिक बनाता है, जिससे 2012 के मूल स्केच की "साइड बाधाओं" को हटाया जा सका।
• भ्रांति का खंडन: यह स्पष्ट रूप से इस विचार को खारिज करता है कि गुप्त आधार पूर्ण गोपनीयता के लिए सूचना-सैद्धांतिक कुंजी आवश्यकता को कम कर सकते हैं, यह स्पष्ट करते हुए कि ऐसा कोई भी न्यूनीकरण शैनन के प्रमाण के लिए आवश्यक यूनिफॉर्मिटी हाइपोथीसिस (uniformity hypothesis) का उल्लंघन करेगा।
• व्यावहारिक उपयोगिता: यह मिश्रित-रैडिक्स संरचना को कुंजी संपीड़न (key compression) के तरीके के रूप में नहीं, बल्कि एन्कोडिंग दक्षता और अनुकूलन क्षमता (adaptivity) के उपकरण के रूप में स्थापित करता है। स्रोत वर्णमाला (जैसे DNA या टेक्स्ट) के साथ आधारों को मिला कर, यह प्रणाली कृत्रिम बाइनरी रूपांतरण और पैडिंग से बचती है, जिससे सख्त सूचना-सैद्धांतिक सुरक्षा बनाए रखते हुए प्रतिनिधित्व में अधिक कुशल बनाती है।

शोधपत्र निष्कर्ष निकालता है कि यह गुप्त आधारों को पुनः प्राप्त करने की औसत-मामले की कठिनाई (average-case hardness) और संरचित स्रोतों के लिए इष्टतम आधारों के चयन से संबंधित खुले प्रश्नों की पहचान करता है, यह नोट करते हुए कि आधार चयन की सुरक्षा स्वयं एक कम्प्यूटेशनल (computational) प्रश्न है न कि सूचना-सैद्धांतिक (information-theoretic)।