A Matrix-Based Polyalphabetic Algorithm for Information Encoding and Decoding Using Number Sequences

तकनीकी सारांश: संख्या अनुक्रमों का उपयोग करके सूचना एन्कोडिंग और डिकोडिंग के लिए एक मैट्रिक्स-आधारित पॉलीअल्फाबेटिक एल्गोरिदम

समस्या विवरण
यह शोध पत्र मानक मोनोअल्फाबेटिक प्रतिस्थापन सिफर्स (substitution ciphers) की आवृत्ति विश्लेषण (frequency analysis) के प्रति संवेदनशीलता को संबोधित करता है। मोनोअल्फाबेटिक प्रणालियों में, एक ही प्लेनटेक्स्ट वर्ण हमेशा एक ही सिफरटेक्स्ट प्रतीक से मैप होता है, जिससे स्रोत भाषा का सांख्यिकीय वितरण सुरक्षित रहता है और हमलावर आवृत्ति गणनाओं के माध्यम से कुंजी का अनुमान लगा सकते हैं। जबकि पॉलीअल्फाबेटिक सिफर्स (जैसे विगेनेर) कई प्रतिस्थापन वर्णमालाओं का उपयोग करके इसे कम करते हैं, लेखक एक नया दृष्टिकोण प्रस्तावित करते हैं जो पॉलीअल्फाबेटिक प्रतिस्थापन को होमोफोनिक व्यवहार के साथ जोड़ता है। इसका लक्ष्य स्थिति और उपस्थिति गणना के आधार पर दोहराए गए प्लेनटेक्स्ट प्रतीकों को विभिन्न संख्यात्मक निरूपणों में वितरित करना है, जिससे सिफरटेक्स्ट का आवृत्ति वितरण समतल हो जाता है और सांख्यिकीय क्रिप्टोएनालिसिस के प्रति प्रतिरोध क्षमता बढ़ जाती है।

कार्यप्रणाली
प्रस्तावित योजना, जिसे FLLJ-POLY कहा जाता है, एक मैट्रिक्स-आधारित पॉलीअल्फाबेटिक एन्क्रिप्शन एल्गोरिदम है जो चार विशिष्ट पूर्णांक अनुक्रमों: फाइबोनैची (Fibonacci), लुकास (Lucas), लियोनार्डो (Leonardo), और जैकोब्सथल (Jacobsthal) का लाभ उठाती है। कार्यप्रणाली निम्नलिखित चरणों के माध्यम से आगे बढ़ती है:

1. सैद्धांतिक आधार और अनुक्रम पृथक्करण:
   लेखक यह स्थापित करते हैं कि पर्याप्त बड़े सूचकांकों (indices) के लिए, लियोनार्डो, फाइबोनैची और जैकोब्सथल अनुक्रम पूर्णांकों के युग्म-विजातीय (pairwise disjoint) सेट उत्पन्न करते हैं। लुकास संख्याओं को विशेष रूप से शब्द विभाजकों को एनकोड करने के लिए आरक्षित किया गया है। एक टकराव-मुक्त सार्वजनिक अभाज्य मोडुलस $P$ (जैसे $P=10159$) का चयन किया जाता है ताकि इन विशिष्ट अनुक्रम मानों का मोडुलर रिडक्शन इंजेक्टिव बना रहे, जिससे प्रतीकों को अनूठे रूप से डिकोड करने की क्षमता बनी रहे।

2. संदेश तैयारी और प्रतिस्थापन:
   प्लेनटेक्स्ट को आकार $3m \times 3m$ के एक वर्ग मैट्रिक्स $M$ में परिवर्तित किया जाता है, जिसमें शब्द विभाजकों को एक विशिष्ट प्रतीक (जैसे $\ast$) द्वारा दर्शाया जाता है।

• चर प्रतिस्थापन (Character Substitution): प्रत्येक अक्षर को तीन अनुक्रम-आधारित वर्णमालाओं (फाइबोनैची, लियोनार्डो, या जैकोब्सथल) में से एक के मान द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। वर्णमाला का चयन एक स्थिति-निर्भर चयनकर्ता फलन (selector function) द्वारा निर्धारित होता है:
  $$\sigma = (v^2 + (i - 1) + (j - 1)) \pmod 3$$
  जहाँ $v$ वर्ण की उपस्थिति की संख्या है, और $(i, j)$ इसके पंक्ति और कॉलम सूचकांक हैं। यह तंत्र सुनिश्चित करता है कि एक ही वर्ण अपनी स्थिति और आवृत्ति के आधार पर अलग-अलग संख्यात्मक मानों से मैप हो, जिससे होमोफोनिक व्यवहार उत्पन्न होता है।
• सेपरेटर एनकोडिंग: शब्द विभाजकों को कुंजी-निर्भर पैरामीटर $a_0$ द्वारा शिफ्ट किए गए लुकास नंबरों का उपयोग करके एनकोड किया जाता है, जो शब्द सीमाओं में अनुमानित पैटर्न को रोकता है।

3. मैट्रिक्स रूपांतरण और एन्क्रिप्शन:
   प्रतिस्थापित मैट्रिक्स को $3 \times 3$ उप-मैट्रिक्स में विभाजित किया जाता है। एक गुप्त कुंजी अनुक्रम $a_0, a_1, \dots, a_{k-1}$ एक पूर्व-साझा सीड $s$ और एक अभाज्य $p$ का उपयोग करके लियोनार्डो नंबरों के माध्यम से एक गैर-रेखीय पुनरावृत्ति संबंध (non-linear recurrence relation) का उपयोग करके उत्पन्न किया जाता है:
   $$a_{i+1} = (L_s a_i + a_i^2 + i) \pmod p$$
   प्रत्येक $3 \times 3$ ब्लॉक को लियोनार्डो $Q$-मैट्रिक्स की घात ($Q^{a_{j-1}}$) के साथ $P$ मोडुलस के तहत गुणा करके एन्क्रिप्ट किया जाता है।

4. सिफरटेक्स्ट निर्माण:
   ट्रांसमिशन आकार को कम करने और अखंडता बनाए रखने के लिए, एल्गोरिदम प्रत्येक एन्क्रिप्टेड ब्लॉक के निर्धारक (determinant) को उसके नौ मैट्रिक्स प्रविष्टियों में से आठ के साथ प्रसारित करता है। लुप्त "छिपी हुई" प्रविष्टि को प्राप्तकर्ता द्वारा निर्धारक की स्थिति का उपयोग करके पुनः प्राप्त किया जाता है, बशर्ते कि संगत कोफैक्टर (cofactor) $P$ मोडुलस के तहत शून्य न हो।

प्रमुख योगदान

• नवीन अनुक्रम एकीकरण: यह शोध पत्र एक एकीकृत ढांचे को पेश करता है जो फाइबोनैची, लियोनार्डो, जैकोब्सथल और लुकास अनुक्रमों का एक साथ उपयोग करता है, जो विशिष्ट सूचकांक श्रेणियों के लिए उनके पदों की विजातीयता (disjointness) को प्रदर्शित करने वाले कठोर प्रमाणों (प्रमेय 2.1–2.5) का उपयोग करता है।
• होमोफोनिक-पॉलीअल्फाबेटिक हाइब्रिड: यह योजना एक द्विघातीय (quadratic) चयनकर्ता फलन के माध्यम से पॉलीअल्फाबेटिक प्रतिस्थापन (वर्णमाला बदलना) को होमोफोनिक प्रतिस्थापन (एक प्रतीक के लिए कई निरूपण) के साथ जोड़ती है, जो प्रभावी रूप से आवृत्ति एकाग्रता को कम करती है।
• गैर-रेखीय कुंजी पीढ़ी: ब्लॉक कुंजियाँ एक द्विघातीय, गैर-स्वायत्त पुनरावृत्ति संबंध (non-autonomous recurrence relation) से व्युत्पन्न होती हैं, जो लीनियर कॉन्ग्रुएन्शियल जनरेटर की तुलना में की-स्ट्रीम में जटिलता जोड़ती है।
• कुशल मोडुलर कार्यान्वयन: एक टकराव-मुक्त अभाज्य $P$ का उपयोग करके, लेखक यह सुनिश्चित करते हैं कि सभी संचालन मूल पूर्णांक अंकगणित की सीमाओं के भीतर रहें, जिससे अनरिड्यूस्ड (unreduced) अनुक्रम मानों के लिए आवश्यक बड़े-पूर्णांक अंकगणित का कम्प्यूटेशनल ओवरहेड बच जाता है।

परिणाम
लेखक एक 576-चरित्र के अंग्रेजी टेक्स्ट का एक उदाहरण और प्रारंभिक सांख्यिकीय विश्लेषण प्रस्तुत करते हैं:

• सांख्यिकीय सुरक्षा: यह योजना इंडेक्स ऑफ कोइन्सिडेंस (I.C.) को काफी कम करके लगभग 0.0153 तक ले आती है, जो मानक अंग्रेजी के लिए 0.0667 और एक छोटे की (key) वाले विगेनेर सिफर के लिए 0.0450 है। सामान्यीकृत ची-स्क्वायर सांख्यिकी ($\chi^2/c$) मोनोअल्फाबेटिक प्रतिस्थापन की तुलना में लगभग 70.6% कम हो जाती है। शैनन एंट्रॉपी दक्षता 87.8% तक पहुँच जाती है, जो सिफरटेक्स्ट प्रतीकों के लगभग-समान वितरण को इंगित करती है।
• एवलेंच प्रभाव (Avalanche Effect): गुप्त कुंजी मापदंडों ($s$ या $p$) में छोटे परिवर्तन के परिणामस्वरूप सिफरटेक्स्ट में परिवर्तन होता है जो औसतन लगभग 48.5% बिट्स को प्रभावित करता है, जो आदर्श स्ट्रिक्ट एवलेंच मानदंड (Strict Avalanche Criterion) के 50% के करीब है।
• कम्प्यूटेशनल प्रदर्शन: मोडुलर कार्यान्वयन बड़े-पूर्णांक अंकगणित (GMP) का उपयोग करने वाले अनरिड्यूस्ड कार्यान्वयन की तुलना में एन्कोडिंग और डिकोडिंग समय में 7–8× की गति वृद्धि प्राप्त करता है, जहाँ 500-चरित्र के संदेश के लिए एन्कोडिंग समय ~1.47 ms से गिरकर ~0.21 ms हो जाता है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र FLLJ-POLY को मानक प्रतिस्थापन सिफर्स के एक गणितीय रूप से सुदृढ़ विकल्प के रूप में स्थापित करता है। लेखक दावा करते हैं कि यह निर्माण बेहतर वितरण व्यवहार और कम्प्यूटेशनल दक्षता प्रदान करता है। वे इस बात पर जोर देते हैं कि उनका प्राथमिक योगदान एन्कोडिंग प्रक्रिया के लिए एक कठोर संख्या-सिद्धांत आधारित ढांचा स्थापित करना है, जो अलग-अलग संख्यात्मक वर्णमालाओं को न्यायसंगत बनाने के लिए पूर्णांक अनुक्रमों की विजातीयता गुणों का उपयोग करता है।

लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि उनका कार्य योजना की गणितीय संरचना को विकसित करने और न्यायोचित ठहराने पर केंद्रित है, न कि व्यापक क्रिप्टोएनालिटिक उपचार प्रदान करने पर। फलस्वरूप, वे यह दावा नहीं करते कि प्रणाली अभेद्य है; इसके बजाय, वे नोट करते हैं कि उन्नत हमलों (जैसे ज्ञात-प्लेनटेक्स्ट, चयनित-प्लेनटेक्स्ट, और बीजगणिक हमलों) के विरुद्ध कठोर विश्लेषण भविष्य के कार्य के लिए एक विषय बना हुआ है। महत्व इस बात में निहित है कि यह एक पुनरुत्पादनीय, मैट्रिक्स-आधारित ढांचे को प्रदर्शित करता है जो प्रभावी रूप से आवृत्ति वितरण को समतल करता है और एक कुशल, मोडुलर कार्यान्वयन रणनीति प्रदान करता है।