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A Matrix-Based Polyalphabetic Algorithm for Information Encoding and Decoding Using Number Sequences

Este artículo propone un esquema de cifrado polialfabético basado en matrices computacionalmente eficiente que utiliza las sucesiones de los números de Fibonacci, Leonardo, Jacobsthal y Lucas para la sustitución de caracteres y la transformación de bloques con el fin de lograr un comportamiento distributivo mejorado y una reducción de la concentración de frecuencias en comparación con los métodos monoalfabéticos estándar.

Autores originales: Muhammet Karagöz, Nihal Özgür

Publicado 2026-06-25

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CC BY 4.0

Autores originales: Muhammet Karagöz, Nihal Özgür

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que tienes un mensaje secreto que quieres enviar, pero te preocupa que alguien pueda interceptarlo y descubrir qué dice simplemente contando con qué frecuencia aparecen ciertas letras (como notar que la "E" es la letra más común en inglés). Este artículo presenta una nueva forma de ocultar mensajes que hace que ese tipo de conteo sea casi inútil.

Aquí hay un desglose sencillo de cómo funciona su método, utilizando analogías de la vida cotidiana:

1. Los tres "diccionarios" diferentes

Normalmente, cuando cifras un mensaje, podrías sustituir la letra "A" por el número "5" cada vez. Eso es fácil de descifrar.

Este nuevo método utiliza tres "diccionarios" diferentes (basados en patrones numéricos famosos como las sucesiones de Fibonacci, Leonardo y Jacobsthal) para traducir letras en números.

La analogía: Imagina que estás traduciendo una oración a tres idiomas diferentes. A veces la "A" se convierte en "5", otras veces se convierte en "15" y otras veces en "43".
El truco: Qué diccionario utilizas depende de dos cosas:
1. Dónde se encuentra la letra en el mensaje (su fila y columna en una cuadrícula).
2. Cuántas veces has visto esa letra antes.
El resultado: Incluso si la letra "A" aparece 10 veces en tu mensaje, es probable que se convierta en 10 números diferentes. Esto rompe el patrón en el que se basan los expertos en descifrado.

2. La "Cuadrícula Mágica" y la "Pieza Oculta"

Una vez que las letras se convierten en números, el mensaje se organiza en una gran cuadrícula cuadrada (como un tablero de Sudoku), que luego se divide en cuadrados más pequeños de 3x3.

La transformación: Cada cuadrado pequeño se mezcla utilizando un "agitador" matemático especial (llamado matriz Q de Leonardo). La forma en que se agita depende de una clave secreta que cambia para cada pequeño cuadrado.
La pieza oculta: Para asegurar que el mensaje pueda volver a ensamblarse perfectamente, los autores ocultan un número en cada pequeño cuadrado. En lugar de enviar este número oculto, envían una "suma de verificación" (un resultado matemático especial llamado determinante) que permite al receptor calcular exactamente cuál era ese número faltante.
La analogía: Imagina que tienes un rompecabezas donde quitas una pieza y escribes una pista en la caja que te dice exactamente cómo es esa pieza. Envías la caja con la pieza faltante y la pista. El receptor usa la pista para reconstruir la pieza faltante y resolver el rompecabezas.

3. El misterio del "Separador de Palabras"

En un texto normal, los espacios entre palabras son obvios. En este sistema, los espacios son reemplazados por una secuencia especial de números (basada en los números de Lucas).

El giro: Estos números de espacio no son los mismos cada vez. Cambian según una "semilla" secreta compartida únicamente entre el emisor y el receptor.
El beneficio: Un espía no puede saber dónde termina una palabra y dónde empieza otra porque los "espacios" parecen números aleatorios y cambiantes.

4. Por qué es rápido y seguro

El módulo "libre de colisiones": Para evitar que los números se vuelvan demasiado grandes y ralenticen la computadora, utilizan un "módulo" específico (un límite matemático, como un reloj que se reinicia después de 10,159). Eligieron cuidadosamente este límite para que ningún par de letras diferentes se conviertan accidentalmente en el mismo número.
El efecto avalancha: El artículo probó qué sucede si cambias solo una pequeña cosa en la clave secreta (como cambiar un solo dígito). ¿El resultado? Todo el mensaje cifrado cambia drásticamente: aproximadamente el 50% de los números cambian. Esto es como cambiar un ingrediente en la receta de un pastel y terminar con un postre completamente diferente. Esto hace que sea muy difícil adivinar la clave.

Lo que el artículo realmente encontró

Los autores realizaron pruebas con un texto estándar en inglés y compararon su método con métodos de cifrado más antiguos y simples.

Difuminación de frecuencia: En los métodos antiguos, las letras más comunes en el mensaje cifrado aún destacaban. Con este nuevo método, las letras "más comunes" se dispersaron de forma tan tenue que parecían ruido aleatorio.
Velocidad: Al utilizar su límite matemático específico, la computadora pudo procesar el mensaje aproximadamente de 7 a 8 veces más rápido que si hubiera utilizado los números masivos sin el límite.
Seguridad: Las pruebas estadísticas mostraron que el mensaje cifrado se parecía mucho más al ruido aleatorio que a un código estándar, lo que lo hace muy difícil de descifrar mediante el análisis de frecuencia tradicional.

En resumen: Este artículo propone una nueva forma de asegurar mensajes al mezclar letras a través de tres sistemas numéricos, ocultando una pieza de cada rompecabezas y cambiando las reglas para cada bloque de texto. El resultado es un mensaje que parece un galimatías aleatorio para cualquiera que no tenga la clave específica para desbloquearlo.

Resumen Técnico: Un Algoritmo Polialfabético Basado en Matrices para la Codificación y Decodificación de Información mediante Secuencias Numéricas

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la vulnerabilidad de los cifrados de sustitución monoalfabéticos estándar ante el análisis de frecuencias. En los sistemas monoalfabéticos, el mismo carácter de texto plano siempre se mapea al mismo símbolo de texto cifrado, preservando la distribución estadística del lenguaje de origen y permitiendo que un atacante deduzca la clave mediante recuentos de frecuencia. Si bien los cifrados polialfabéticos (como el de Vigenère) mitigan esto utilizando múltiples alfabetos de sustitución, los autores proponen un enfoque novedoso que combina la sustitución polialfabética con un comportamiento homofónico. El objetivo es distribuir los símbolos repetidos del texto plano a través de diferentes representaciones numéricas basadas en la posición y el recuento de ocurrencias, de modo que se aplane la distribución de frecuencias del texto cifrado y se mejore la resistencia al criptoanálisis estadístico.

Metodología
El esquema propuesto, denominado FLLJ-POLY, es un algoritmo de cifrado polialfabético basado en matrices que aprovecha cuatro secuencias de enteros específicas: Fibonacci, Lucas, Leonardo y Jacobsthal. La metodología avanza a través de las siguientes etapas:

Fundamentación Teórica y Separación de Secuencias:
Los autores establecen que, para índices suficientemente grandes, las secuencias de Leonardo, Fibonacci y Jacobsthal generan conjuntos de enteros disjuntos por pares. Los números de Lucas se reservan específicamente para codificar los separadores de palabras. Se selecciona un módulo primo público libre de colisiones $P$ (por ejemplo, $P=10159$ ) para asegurar que la reducción modular de estos valores de secuencia distintos sea inyectiva, preservando la capacidad de decodificar los símbolos de forma única.
Preparación y Sustitución del Mensaje:
El texto plano se convierte en una matriz cuadrada $M$ de tamaño $3m \times 3m$ , donde los separadores de palabras se denotan mediante un símbolo específico (por ejemplo, $\ast$ ).
- Sustitución de Caracteres: Cada letra es reemplazada por un valor de uno de los tres alfabetos basados en secuencias (Fibonacci, Leonardo o Jacobsthal). La elección del alfabeto está determinada por una función selectora dependiente de la posición:
  $\sigma = (v^2 + (i - 1) + (j - 1)) \pmod 3$
  donde $v$ es el recuento de ocurrencia del carácter, y $(i, j)$ son sus índices de fila y columna. Este mecanismo asegura que el mismo carácter se mapee a diferentes valores numéricos dependiendo de su posición y frecuencia, introduciendo un comportamiento homofónico.
- Codificación de Separadores: Los separadores de palabras se codifican utilizando números de Lucas con índices desplazados por un parámetro dependiente de la clave $a_0$ , evitando patrones predecibles en los límites de las palabras.
Transformación de la Matriz y Cifrado:
La matriz sustituida se divide en submatrices de $3 \times 3$ . Se genera una secuencia de clave secreta $a_0, a_1, \dots, a_{k-1}$ utilizando una semilla compartida $s$ y un primo $p$ mediante una relación de recurrencia no lineal que involucra números de Leonardo:
$a_{i+1} = (L_s a_i + a_i^2 + i) \pmod p$
Cada bloque de $3 \times 3$ se cifra multiplicándolo por una potencia de la matriz $Q$ de Leonardo ( $Q^{a_{j-1}}$ ) módulo $P$ .
Construcción del Texto Cifrado:
Para reducir el tamaño de transmisión manteniendo la integridad, el algoritmo transmite el determinante de cada bloque cifrado junto con ocho de las nueve entradas de la matriz. La entrada "oculta" faltante es recuperada por el receptor utilizando la condición del determinante, siempre que el cofactor correspondiente sea no nulo módulo $P$ .

Contribuciones Clave

Integración de Secuencias Novedosa: El artículo introduce un marco unificado que utiliza simultáneamente las secuencias Fibonacci, Leonardo, Jacobsthal y Lucas, con pruebas rigurosas (Teoremas 2.1–2.5) que demuestran la disjuntividad de sus términos para rangos de índices específicos.
Híbrido Homofónico-Polialfabético: El esquema combina la sustitución polialfabética (cambio de alfabetos) con la sustitución homofónica (múltiples representaciones para un símbolo) mediante una función selectora cuadrática, reduciendo eficazmente la concentración de frecuencias.
Generación de Clave No Lineal: Las claves de bloque se derivan de una relación de recurrencia cuadrática y no autónoma, lo que añade complejidad al flujo de claves en comparación con los generadores congruentes lineales.
Implementación Modular Eficiente: Al emplear un primo $P$ libre de colisiones, los autores aseguran que todas las operaciones permanezcan dentro de los límites de la aritmética de enteros nativos, evitando la sobrecarga computacional de la aritmética de enteros grandes requerida por los valores de secuencia no reducidos.

Resultados
Los autores presentan un ejemplo práctico y un análisis estadístico preliminar utilizando un texto en inglés de 576 caracteres:

Seguridad Estadística: El esquema reduce significativamente el Índice de Coincidencia (I.C.) a aproximadamente 0.0153, comparado con el 0.0667 de un inglés estándar y el 0.0450 de un cifrado de Vigenère con una clave corta. La estadística de Chi-cuadrado normalizada ( $\chi^2/c$ ) se reduce aproximadamente en un 70.6% respecto a la sustitución monoalfabética. La eficiencia de la entropía de Shannon alcanza el 87.8%, indicando una distribución casi uniforme de los símbolos del texto cifrado.
Efecto Avalancha: Pequeñas perturbaciones en los parámetros de la clave secreta ( $s$ o $p$ ) resultan en cambios en el texto cifrado que afectan aproximadamente el 48.5% de los bits en promedio, acercándose al Criterio de Avalancha Estricta ideal del 50%.
Rendimiento Computacional: La implementación modular logra una aceleración de 7 a 8 veces en los tiempos de codificación y decodificación en comparación con una implementación no reducida que utiliza aritmética de enteros grandes (GMP), reduciendo los tiempos de codificación para un mensaje de 500 caracteres de ~1.47 ms a ~0.21 ms.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo posiciona a FLLJ-POLY como una alternativa matemáticamente fundamentada a los cifrados de sustitución estándar. Los autores afirman que la construcción proporciona un mejor comportamiento distributivo y eficiencia computacional. Enfatizan que la contribución principal es el establecimiento de una base teórica de números rigurosa para el procedimiento de codificación, utilizando las propiedades de disjuntividad de las secuencias de enteros para justificar los distintos alfabetos numéricos.

Los autores declaran explícitamente que el trabajo se centra en desarrollar y justificar la estructura matemática del esquema, más que en proporcionar un tratamiento criptanalítico exhaustivo. Por consiguiente, no afirman que el sistema sea inquebrantable; en su lugar, señalan que el análisis riguroso contra ataques avanzados (como los de texto plano conocido, texto plano elegido y ataques algebraicos) sigue siendo un tema para trabajos futuros. La significancia reside en demostrar un marco basado en matrices, reproducible, que aplana eficazmente las distribuciones de frecuencia y ofrece una estrategia de implementación modular y eficiente.