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Quantum-Informed Portfolio Selection: An End-to-End Pipeline Validated on Trapped-Ion Hardware with Real Market Data

यह शोध पत्र हाइब्रिड qReduMIS एल्गोरिदम का उपयोग करते हुए एक एंड-टू-एंड पाइपलाइन प्रस्तुत करता है, जो फ्रोजन नोड्स की पहचान करने और क्लासिकल रिडक्शन को निर्देशित करने के लिए QAOA मापन का लाभ उठाता है, और सफलतापूर्वक क्वांटिनियम के ट्रैप्ड-आयन हार्डवेयर पर वास्तविक बाजार डेटा का उपयोग करके बड़े पैमाने की पोर्टफोलियो विविधीकरण समस्याओं को हल करता है जहाँ स्टैंडअलोन QAOA विफल हो जाता है।

मूल लेखक: Romina Yalovetzky, Martin J. A. Schuetz, Zichang He, Jiayu Shen, Yue Sun, Rudy Raymond, Shauna Sahay, Kishore Perla, Ruben S. Andrist, Grant Salton, Helmut G. Katzgraber, Roger Bongiovanni, Niraj Kuma

प्रकाशित 2026-07-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Romina Yalovetzky, Martin J. A. Schuetz, Zichang He, Jiayu Shen, Yue Sun, Rudy Raymond, Shauna Sahay, Kishore Perla, Ruben S. Andrist, Grant Salton, Helmut G. Katzgraber, Roger Bongiovanni, Niraj Kumar, Rob Otter

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: एक "सुपर-विविध" निवेश टोकरी बनाना

कल्पना कीजिए कि आप एक बेहतरीन सलाद बनाने की कोशिश कर रहे हैं एक शेफ के रूप में। आपके पास 225 अलग-अलग सामग्रियों (स्टॉक्स) की एक बड़ी टोकरी है। आपका लक्ष्य एक बड़ा, स्वादिष्ट सलाद बनाने के लिए अधिक से अधिक सामग्रियां चुनना है, लेकिन एक सख्त नियम के साथ: दो सामग्रियां एक जैसी नहीं होनी चाहिए।

यदि आप लेट्यूस के दो प्रकार चुनते हैं जिनका स्वाद बिल्कुल एक जैसा है, तो आप वास्तव में अपने सलाद में विविधता नहीं ला रहे हैं; आप बस एक ही स्वाद को दोहरा रहे हैं। वित्त (finance) में, इसे "कोरिलेशन" (correlation) कहा जाता है। यदि दो स्टॉक्स एक साथ ऊपर और नीचे जाते हैं, तो वे "कोरिलेटेड" होते हैं। इस शोध पत्र का लक्ष्य स्टॉक्स का सबसे बड़ा संभव समूह खोजना है जो एक-दूसरे से पूरी तरह अलग हों।

समस्या: एक भूलभुलैया जो अकेले हल करने के लिए बहुत बड़ी है

इस आदर्श समूह को खोजना एक विशाल भूलभुलैया को हल करने जैसा है।

पुराना तरीका (क्लासिकल कंप्यूटर): पारंपरिक कंप्यूटर हर संभावित संयोजन (combination) की जांच करके इसे हल करने की कोशिश करते हैं। लेकिन जैसे-जैसे सामग्रियों की संख्या बढ़ती है, संयोजनों की संख्या विस्फोट की तरह बढ़ती जाती है। यह घास के ढेर में सुई खोजने जैसा है जो हर सेकंड बड़ा होता जा रहा है।
क्वांटम तरीका (नया टूल): शोधकर्ताओं ने इस भूलभुलैया को हल करने के लिए एक विशेष "क्वांटम कंप्यूटर" (विशेष रूप से, Quantinuum से एक ट्रैप्ड-आयन मशीन) का उपयोग करने की कोशिश की। हालांकि, ठीक वैसे ही जैसे एक इंसान थक जाता है, क्वांटम कंप्यूटर भी संघर्ष करता है। जब भूलभुलैया बहुत बड़ी हो गई (जैसे S&P 100 या Nikkei 225 इंडेक्स), तो क्वांटम कंप्यूटर अकेले आदर्श समाधान नहीं खोज सका। वह भटकता रह गया।

समाधान: "हाइब्रिड डिटेक्टिव" (qReduMIS)

क्वांटम कंप्यूटर से पूरी भूलभुलैया को एक साथ हल करने के लिए कहने के बजाय, शोधकर्ताओं ने एक नया टीम-अप तरीका बनाया जिसे qReduMIS कहा जाता है। इसे एक क्लासिकल कंप्यूटर (तार्किक योजनाकार) और एक क्वांटम कंप्यूटर (सहज अनुमान लगाने वाला) के बीच एक जासूसी साझेदारी के रूप में समझें।

यहाँ उनका "एंड-टू-एंड पाइपलाइन" चरण-दर-चरण काम करता है:

सफाई (क्लासिकल स्टेप): सबसे पहले, क्लासिकल कंप्यूटर 225 स्टॉक्स की सूची को देखता है और उन स्पष्ट चीजों को हटा देता है जो समाधान का हिस्सा नहीं हो सकतीं। यह एक शेफ द्वारा यह कहने जैसा है, "हमें चॉकलेट और अचार दोनों की निश्चित रूप से आवश्यकता नहीं है," और उन्हें अलग रख देना। यह समस्या को एक छोटे, प्रबंधनीय समूह ("कर्नेल") तक सिकोड़ देता है।
सहज अनुमान (क्वांटम स्टेप): क्लासिकल कंप्यूटर इस छोटे समूह को क्वांटम कंप्यूटर को सौंप देता है। क्वांटम कंप्यूटर से यह पूछने के बजाय कि "आदर्श उत्तर क्या है?" (जिसे वह करने में विफल हो सकता है), वे एक अलग सवाल पूछते हैं: "कौन सी सामग्रियां आदर्श सलाद में होने की सबसे अधिक संभावना रखती हैं?"
- क्वांटम कंप्यूटर एक त्वरित प्रयोग चलाता है और "हॉट टिप्स" की एक सूची देता है। यह कहता है, "मैं 90% निश्चित हूँ कि सामग्री #4 सलाद में होनी चाहिए, और मैं 90% निश्चित हूँ कि सामग्री #7 सलाद में नहीं होनी चाहिए।"
- इस पेपर में, इन "हॉट टिप्स" को फ्रोजन नोड्स (Frozen Nodes) कहा जाता है।
अनब्लॉकिंग (जादू): क्लासिकल कंप्यूटर इन "हॉट टिप्स" को लेता है और उन्हें अपनी जगह पर लॉक कर देता है। यदि क्वांटम कंप्यूटर कहता है "सामग्री #4 अनिवार्य है," तो क्लासिकल कंप्यूटर उसे लॉक कर देता है और उसके "प्रतिद्वंद्वियों" (वे स्टॉक्स जिनका स्वाद #4 के समान है) को हटा देता है।
दोहराना: यह प्रक्रिया दोहराई जाती है। क्लासिकल कंप्यूटर सूची को छोटा करता है, क्वांटम कंप्यूटर कुछ और "हॉट टिप्स" देता है, और सूची छोटी होती जाती है जब तक कि आदर्श सलाद नहीं मिल जाता।

उपमा: "हवा में उंगली दिखाना" बनाम "मानचित्र"

स्टैंडअलोन क्वांटम (मानचित्र): कल्पना कीजिए कि आप एक देश में जीपीएस का उपयोग करके गाड़ी चलाने की कोशिश कर रहे हैं जो टूटा हुआ है और सही मोड़ देने की केवल 1% संभावना देता है। यदि आप केवल उस जीपीएस पर भरोसा करते हैं, तो आप संभवतः रास्ता भटक जाएंगे।
qReduMIS (हवा में उंगली दिखाना): पूरे मार्ग के लिए उस टूटे हुए जीपीएस से पूछने के बजाय, आप उससे पूछते हैं, "अगला मोड़ बायां है या दायां?" यह 90% बार सही हो सकता है। आप वह संकेत लेते हैं, थोड़ा आगे बढ़ते हैं, और फिर से पूछते हैं। छोटे, उच्च-संभावना वाले कदमों को लेकर और अंतराल को भरने के लिए एक इंसान (क्लासिकल कंप्यूटर) का उपयोग करके, आप सफलतापूर्वक देश पार कर लेते हैं, भले ही आपका जीपीएस अपूर्ण हो।

उन्होंने वास्तव में क्या पाया

शोधकर्ताओं ने चार प्रमुख सूचकांकों (DAX, FTSE, S&P 100, और Nikkei 225) से वास्तविक स्टॉक मार्केट डेटा का उपयोग करके, 98 "क्यूबिट्स" (क्वांटम बिट्स) वाले एक वास्तविक क्वांटम कंप्यूटर के साथ इसका परीक्षण किया।

अकेले प्रदर्शन की विफलता: जब उन्होंने क्वांटम कंप्यूटर को सबसे बड़ी समस्याओं (S&P 100 और Nikkei 225) को अकेले हल करने के लिए छोड़ा, तो वह पूरी तरह से विफल रहा। उसने आदर्श समाधान 0% बार खोजा।
टीम की सफलता: जब उन्होंने qReduMIS टीम-अप विधि का उपयोग किया:
- S&P 100 के लिए, उन्होंने 40% बार आदर्श समाधान खोजा।
- Nikkei 225 के लिए, उन्होंने 95% बार आदर्श समाधान खोजा।
- सभी परीक्षणों में, उनके द्वारा पाए गए समाधान आदर्श सैद्धांतिक समाधान के कम से कम 96% जितने अच्छे थे।

"समय" का कारक

उन्होंने इन समस्याओं को हल करने में लगने वाले समय को भी मापा। उन्होंने पाया कि जैसे-जैसे समस्याएं बड़ी होती गईं, "टीम" विधि (qReduMIS) "स्टैंडअलोन" विधि (Standalone QAOA) की तुलना में बहुत धीमी गति से धीमी हुई।

उपमा: यदि स्टैंडअलोन विधि एक ऐसा धावक है जो ढलान जितनी खड़ी होती जाती है, थकावट के कारण तेजी से धीमा पड़ता जाता है, तो टीम विधि एक साइकिल चलाने वाले धावक की तरह है। खड़ी ढलान पर भी, साइकिल चालक उन्हें एक स्थिर गति से आगे बढ़ाता रहता है। पेपर का दावा है कि समस्या के आकार के साथ स्केल करने में टीम विधि 3.2 गुना अधिक कुशल है।

सारांश

यह पेपर यह दावा नहीं करता कि इसने शेयर बाजार की भविष्यवाणी करने वाला या आपको अमीर बनाने वाला रोबोट बनाया है। इसके बजाय, यह एक विशिष्ट तकनीकी बिंदु साबित करता है: आपको कठिन समस्याओं को हल करने के लिए एक आदर्श क्वांटम कंप्यूटर की आवश्यकता नहीं है।

एक क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग केवल "संकेत" (यह पहचानने के लिए कि समस्या के कौन से हिस्से "फ्रोजन" या निश्चित हैं) देने के लिए करने और उन संकेतों को व्यवस्थित करने के भारी काम को करने के लिए क्लासिकल कंप्यूटर को छोड़ने से, आप उन विशाल वित्तीय पहेलियों को हल कर सकते हैं जिन्हें एक अकेला क्वांटम कंप्यूटर नहीं सुलझा सकता। यह एक "टूटे हुए" क्वांटम टूल को एक अत्यधिक प्रभावी भागीदार में बदल देता है।

तकनीकी सारांश: Trapped-Ion हार्डवेयर पर qReduMIS के माध्यम से क्वांटम-सूचित पोर्टफोलियो चयन

समस्या का निरूपण
यह शोध पत्र पोर्टफोलियो चयन समस्या (PSP) को संबोधित करता है, जो निवेश प्रबंधन में एक मौलिक कार्य है जिसका उद्देश्य जोखिम और रिटर्न को संतुलित करने के लिए परिसंपत्तियों (assets) की एक विविध टोकरी का निर्माण करना है। लेखक PSP को एक एसेट कोरिलेशन ग्राफ पर मैक्सिमम इंडिपेंडेंट सेट (MIS) समस्या के रूप में औपचारिक रूप देते हैं। इस निरूपण में:

नोड्स (Nodes) वित्तीय परिसंपत्तियों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
एजेस (Edges) परिसंपत्तियों के जोड़ों को जोड़ते हैं यदि उनका पूर्ण सहसंबंध (absolute correlation) एक विशिष्ट सीमा $\lambda$ से अधिक हो।
लक्ष्य नोड्स के सबसे बड़े उपसमुच्चय (subset) को खोजना है (ऐसे एसेट्स जिन्हें चुना गया है) ताकि कोई भी दो नोड्स आपस में जुड़े न हों, यह सुनिश्चित करते हुए कि चयनित पोर्टफोलियो में परस्पर असंबंधित परिसंपत्तियाँ शामिल हों।

लेखक इस बात पर प्रकाश डालते हैं कि वित्तीय बाजार के ग्राफ मानक कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइज़ेशन बेंचमार्क से काफी भिन्न होते हैं। वे सघन (dense), गैर-स्थानीय (non-local), और विषम डिग्री वितरण (heterogeneous degree distributions) वाले होते हैं, जो उन स्पार्स (sparse), नियमित या ज्यामितीय रूप से बाधित ग्राफों (जैसे यूनिट-डिस्क ग्राफ) के विपरीत हैं जिनका आमतौर पर क्वांटम अनुकूलन साहित्य में अध्ययन किया जाता है। ये संरचनात्मक गुण शास्त्रीय सटीक एल्गोरिदम और वर्तमान क्वांटम दृष्टिकोणों दोनों के लिए चुनौतियाँ पेश करते हैं, विशेष रूप से स्केलेबिलिटी और समस्या की कठिनाई बढ़ने के साथ सफलता की संभावना में कमी के संबंध में।

कार्यप्रणाली: qReduMIS पाइपलाइन
मुख्य योगदान एक एंड-टू-एंड हाइब्रिड क्वांटम-क्लासिकल पाइपलाइन है जो qReduMIS एल्गोरिदम का लाभ उठाती है, जिसे यहाँ गेट-आधारित क्वांटम हार्डवेयर के लिए अनुकूलित किया गया है। क्वांटम प्रोसेसर का उपयोग सीधे अंतिम इष्टतम समाधान (optimal solution) आउटपुट करने के लिए करने के बजाय, यह पाइपलाइन क्वांटम मापन (measurements) का उपयोग "फ्रोजन नोड्स" (frozen nodes)—वे वर्टिस (vertices) जिनकी इष्टतम MIS में होने (या न होने) की उच्च मार्जिनल संभावना है—की पहचान करने के लिए करती है।

पाइपलाइन निम्नलिखित चरणों के माध्यम से पुनरावर्ती (recursively) रूप से संचालित होती है:

क्लासिकल रिडक्शन (Classical Reduction): इनपुट मार्केट ग्राफ पर सटीक क्लासिकल रिडक्शन तकनीकों (विशेष रूप से, "एक्सपोज्ड कॉर्नर नोड्स" या सिम्पलीशियल वर्टिस को हटाना) को लागू किया जाता है। यह ग्राफ को एक छोटे "कर्नेल" (kernel) में बदल देता है, जबकि चयनित और हटाए गए नोड्स के सेट को बनाए रखता है।
क्वांटम सबरूटीन (QAOA): रिड्यूस्ड कर्नेल को एक क्वांटम एप्रोक्सिमेट ऑप्टिमाइज़ेशन एल्गोरिदम (QAOA) सर्किट में मैप किया जाता है। इस सर्किट को एक ट्रैप्ड-आयन क्वांटम प्रोसेसर (Quantinuum Helios) पर निष्पादित किया जाता है।
फ्रोजन नोड पहचान (Frozen Node Identification): सीधे ऑप्टिमल बिटस्ट्रिंग की खोज करने के बजाय, एल्गोरिदम QAOA मापन से प्राप्त नोड्स के मार्जिनल प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन का विश्लेषण करता है। वे नोड्स जिनकी मार्जिनल प्रोबेबिलिटी उच्च है (इन-सेट) या कम है (आउट-सेट), उन्हें "फ्रोजन" के रूप में पहचाना जाता है।
रिकर्सिव अनब्लॉकिंग (Recursive Unblocking): एक फ्रोजन नोड को चुना जाता है (टॉप-रैंक्ड मार्जिनल्स के आधार पर एक सेमी-ग्रीडी रणनीति का उपयोग करके), उसे समाधान में स्थिर किया जाता है, और उसके पड़ोसियों के साथ ग्राफ से हटा दिया जाता है। यह प्रक्रिया ग्राफ को "अनब्लॉक" करती है, जिससे अगले इटरेशन में क्लासिकल रिडक्शन स्टेप आगे बढ़ पाता है।
समाप्ति (Termination): यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि कर्नेल पूरी तरह से रिड्यूसिबल न हो जाए या कोई स्टॉपिंग क्राइटेरिया पूरा न हो जाए, जिससे अंततः एक विविध पोर्टफोलियो प्राप्त होता है।

प्रमुख योगदान
यह शोध पत्र तीन प्राथमिक योगदान देता है:

एंड-टू-एंड हार्डवेयर प्रदर्शन: लेखकों ने चार प्रमुख सूचकांकों (DAX, FTSE, S&P 100, Nikkei 225) के वास्तविक मार्केट डेटा के साथ, जिसमें 225 तक एसेट्स शामिल थे, Quantinuum के 98-qubit ट्रैप्ड-आयन Helios सिस्टम पर पूर्ण पाइपलाइन को तैनात किया। यह वास्तविक दुनिया के कॉम्बिनेटोरियल इंस्टेंस पर अब तक के सबसे बड़े गेट-आधारित QAOA प्रदर्शनों में से एक है।
गेट-आधारित डिवाइसेस के लिए एल्गोरिथमिक विस्तार: यह कार्य qReduMIS फ्रेमवर्क को, जो पहले क्वांटम एनीलिंग हार्डवेयर पर प्रदर्शित किया गया था, गेट-आधारित QAOA तक विस्तारित करता है। यह अनुकूलन महत्वपूर्ण है क्योंकि मार्केट ग्राफ में गैर-स्थानीय कनेक्टिविटी होती है जो कई क्वांटम एनीलर्स की नेटिव एम्बेडिंग क्षमताओं से अधिक होती है, लेकिन ट्रैप्ड-आयन प्रोसेसर्स की ऑल-टू-ऑल कनेक्टिविटी के लिए स्वाभाविक रूप से उपयुक्त है।
कठोर बेंचमार्किंग: अध्ययन कई आंकड़ों (figures of merit) के माध्यम से स्टैंडअलोन QAOA और qReduMIS (जो QAOA द्वारा संचालित है) के बीच एक व्यवस्थित तुलना प्रदान करता है, जिसमें सफलता की संभावना, एप्रोक्सिमेशन रेशियो, और ऑप्टिमल टाइम-टू-सॉल्यूशन (optTTS) स्केलिंग शामिल हैं।

प्रायोगिक परिणाम
प्रयोगों में $p=2$ लेयर्स वाले QAOA सर्किट्स का उपयोग किया गया, जो 78 क्वबिट्स के कर्नेल्स पर कार्य कर रहे थे (Nikkei 225 इंस्टेंस के लिए, जहाँ पूर्ण ग्राफ के लिए 225 क्वबिट्स की आवश्यकता थी, जो हार्डवेयर सीमा से अधिक है)।

सफलता की संभावना (Success Probability): स्टैंडअलोन QAOA दो सबसे बड़े सूचकांकों (S&P 100 और Nikkei 225) के लिए इष्टतम समाधान खोजने में विफल रहा, जिसकी सफलता की संभावना ( $P_{MIS}$ ) 0 रही। इसके विपरीत, qReduMIS ने इन सूचकांकों के लिए क्रमशः 0.40 और 0.95 की सफलता की संभावना प्राप्त की।
एप्रोक्सिमेशन रेशियो (Approximation Ratio): सभी चार सूचकांकों में, qReduMIS ने औसत एप्रोक्सिमेशन रेशियो $\ge 0.96$ बनाए रखा, जबकि स्टैंडअलोन QAOA 0.73 और 0.83 के बीच रहा।
स्केलिंग व्यवहार (Scaling Behavior): Quantinuum H2-1 डिवाइस के एक नॉइजी एमुलेटर पर, लेखकों ने समस्या के आकार के विरुद्ध ऑप्टिमल टाइम-टू-सॉल्यूशन (optTTS) के स्केलिंग का विश्लेषण किया। $p=2$ के लिए, qReduMIS का स्केलिंग एक्सपोनेंट स्टैंडअलोन QAOA की तुलना में 3.2 गुना छोटा पाया गया ( $\beta_{qReduMIS} = 0.164$ बनाम $\beta_{QAOA} = 0.524$ )।
फ्रोजन नोड सिग्नल (Frozen Node Signal): DAX 100 कर्नेल के विश्लेषण से पता चला कि भले ही सीधे इष्टतम समाधान को सैंपल करने की संभावना कम (<10%) थी, लगभग 96% मार्जिनल प्रोबेबिलिटी मास ग्राउंड-ट्रुथ फ्रोजन नोड्स पर केंद्रित था। यह पुष्टि करता है कि क्वांटम हार्डवेयर पर्याप्त सिग्नल प्रदान करता है ताकि बिना सीधे इष्टतम समाधान आउटपुट किए भी क्लासिकल रिडक्शन को निर्देशित किया जा सके।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र यह तर्क देता है कि इस कार्य का प्राथमिक महत्व क्वांटम संसाधनों के उपयोग के एक मौलिक रूप से भिन्न तरीके को प्रदर्शित करने में निहित है: क्वांटम मापन का उपयोग करके ऐसी संरचनात्मक विशेषताओं (फ्रोजन नोड्स) की पहचान करना जो क्लासिकल रिडक्शन की सुविधा प्रदान करती हैं, न कि पूरे ऑप्टिमाइज़ेशन समस्या को सीधे हल करने के लिए क्वांटम प्रोसेसर की अपेक्षा करना।

लेखक दावा करते हैं कि यह "रिड्यूस-एंड-सैंपल" (reduce-and-sample) प्रतिमान पाइपलाइन को निम्नलिखित की अनुमति देता है:

वर्तमान हार्डवेयर के क्वबिट बजट से अधिक इंस्टेंस (जैसे 98-qubit डिवाइस पर 225-एसेट वाला Nikkei 225) को रिड्यूस्ड कर्नेल्स पर काम करके हल करना।
उन इंस्टेंस पर स्टैंडअलोन क्वांटम ऑप्टिमाइज़ेशन से बेहतर प्रदर्शन करना जिन्हें एनकोड किया जा सकता है, जिससे सफलता दर और समाधान की गुणवत्ता में उल्लेखनीय सुधार होता है।
एक स्केलेबल पथ प्रदान करना, क्योंकि यह फ्रेमवर्क सर्किट डेप्थ (p=6 पर बेहतर प्रदर्शन द्वारा प्रदर्शित) और हार्डवेयर फिडेलिटी सुधारों से लाभान्वित होता है।

लेखक क्लासिकल सॉल्वर के साथ तुलना के संबंध में विनम्र हैं, यह नोट करते हुए कि वर्तमान समस्या आकार जो क्वांटम हार्डवेयर के लिए सुलभ हैं, उनके लिए सिम्युलेटेड एनीलिंग (SA) जैसे क्लासिकल मेटाहेयुरिस्टिक्स अधिकांश मामलों को आसानी से हल कर देते हैं। इसलिए, प्राथमिक सत्यापन एक क्वांटम-बनाम-क्वांटम तुलना है, जो यह स्थापित करती है कि हाइब्रिड दृष्टिकोण सीमित क्वांटम संसाधनों से मानक क्वांटम ऑप्टिमाइज़ेशन की तुलना में काफी अधिक उपयोगिता निकालता है। यह कार्य सुझाव देता है कि जैसे-जैसे हार्डवेयर उन बड़े, कठिन इंस्टेंस को संभालने के लिए परिपक्व होगा जहाँ क्लासिकल ह्यूरिस्टिक्स संघर्ष करते हैं, qReduMIS का अनुकूल स्केलिंग एक व्यावहारिक लाभ में बदल सकता है।