An exact N-strain epidemic model using bond percolation

एक हलचल भरे शहर की कल्पना करें जहाँ हर कोई अदृश्य धागों से जुड़ा हुआ है, जो एक विशाल, उलझे हुए जाल का निर्माण करते हैं। विज्ञान की दुनिया में, इस जाल को एक नेटवर्क (network) कहा जाता है, और ये धागे लोगों, कंप्यूटरों या यहाँ तक कि कोशिकाओं के बीच के संबंध हैं। कभी-कभी, इस जाल के माध्यम से कुछ फैलता है—जैसे कि कोई अफवाह, कंप्यूटर वायरस, या कोई बीमारी। वैज्ञानिक इस बात का अध्ययन करने के लिए बॉन्ड परकोलेशन (bond percolation) नामक एक चतुर तकनीक का उपयोग करते हैं। इसे "कनेक्ट द डॉट्स" (बिंदुओं को जोड़ने) के खेल की तरह समझें जहाँ आपको दो बिंदुओं के बीच रेखा तभी खींचने को मिलती है जब आप एक भाग्यशाली संख्या प्राप्त करते हैं। यदि आप पर्याप्त बार उच्च संख्या प्राप्त करते हैं, तो बिंदु अचानक एक विशाल, शहर-व्यापी क्लस्टर (समूह) में जुड़ जाते हैं। यदि आप कम संख्या प्राप्त करते हैं, तो आपके पास केवल बिंदुओं के छोटे, अलग-थलग द्वीप रह जाते हैं। यह सरल खेल हमें समझने में मदद करता है कि कब एक छोटी सी चिंगारी एक भीषण आग बन जाती है।

अब, कल्पना करें कि केवल एक आग के बजाय, यहाँ एक के बाद एक कई आग की एक पूरी श्रृंखला है। शायद यह हर साल बदलने वाला फ्लू का मौसम है, या एक नया वायरस स्ट्रेन जो पिछले वाले के शांत होने के बाद सामने आता है। बड़ा सवाल यह है: पहली आग शहर को दूसरे के लिए कैसे बदल देती है? क्या यह शहर को खंडहर बना देती है, जिससे अगली आग का फैलना कठिन हो जाता है? या क्या यह किसी तरह रास्ता साफ कर देती है? यह वह पहेली है जिसे सेंट एंड्रयूज विश्वविद्यालय की एक शोध टीम ने हल करने का प्रयास किया। वे देखना चाहते थे कि जब इस "कनेक्ट द डॉट्स" खेल को केवल एक बार नहीं, बल्कि मनचाही संख्या में बार-बार खेला जाता है, तो क्या होता है और हर नए दौर के साथ शहर का आकार कैसे बदलता है।

"किसे संक्रमित किया जाएगा?" का महान खेल

यह शोध पत्र इन "मौसमी बीमारियों" के खेलने के दो बहुत अलग तरीकों का परिचय देता है, जिन्हें लेखक प्रतिस्पर्धी (Competitive) और सहयोगात्मक (Collaborative) ब्रांचिंग प्रोसेस कहते हैं। इन्हें समझने के लिए, आइए एक विशाल पार्टी की कल्पना करें जहाँ मेहमान 'नोड्स' (लोग) हैं और हाथ मिलाना 'एजेस' (संबंध) हैं।

प्रतिस्पर्धी ब्रांचिंग प्रोसेस: "क्रॉस-इम्युनिटी" का खेल

इस परिदृश्य में, कल्पना करें कि "फ्लू ए" से संक्रमित होने वाले लोगों का एक समूह है। एक बार स्वस्थ होने के बाद, वे फ्लू ए के प्रति प्रतिरक्षित (immune) हो जाते हैं, लेकिन इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि वे आने वाली हर अन्य चीज़ के प्रति भी प्रतिरक्षित हो जाते हैं। वे प्रभावी रूप से खेल से बाहर हो जाते हैं; वे अगला कीड़ा नहीं पकड़ सकते, और न ही इसे आगे बढ़ा सकते हैं।

शोधकर्ताओं ने पाया कि जब एक नया स्ट्रेन (फ्लू बी) आता है, तो यह केवल उन लोगों के बीच फैल सकता है जिन्होंने फ्लू ए को नहीं पकड़ा था। यह लोगों के एक छोटे, अधिक बिखरे हुए समूह को छोड़ देता है। लेखक इसे रेसिडुअल ग्राफ (Residual Graph - RG) कहते हैं। यह ऐसा है जैसे पार्टी खाली कर दी गई हो, जिससे केवल वे लोग बचे हों जो कोनों में छिपे थे।

यहाँ एक मोड़ है: जैसे-जैसे अधिक स्ट्रेन आते हैं, "पार्टी" छोटी और अधिक खंडित होती जाती है। लेखकों ने पाया कि एक नए स्ट्रेन के लिए बड़े प्रकोप का कारण बनने के लिए, उसे पिछले वाले की तुलना में अधिक संक्रामक होना चाहिए। क्यों? क्योंकि आसानी से पहुँचने वाले लोग (जिनके बहुत सारे दोस्त थे) को पहले के कुछ स्ट्रेन्स द्वारा पहले ही लिया जा चुका था। बचे हुए लोग वे हैं जिनके संबंध कम हैं, जिससे वायरस के लिए एक व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति तक कूदना कठिन हो जाता है।

अपने सिमुलेशन में, उन्होंने दिखाया कि यदि पहला स्ट्रेन बहुत शक्तिशाली है, तो यह वास्तव में सभी के लिए पार्टी को "मार" सकता है। यह नेटवर्क को इतना बुरी तरह तोड़ देता है कि यदि बाद में एक सुपर-संक्रामक स्ट्रेन भी आता है, तो भी वह बड़े प्रकोप को शुरू करने के लिए पर्याप्त लोगों से जुड़ नहीं पाता। यह ऐसा है जैसे यदि पहली आग सभी पुलों को जला दे; तो दूसरी आग, चाहे कितनी भी गर्म क्यों न हो, नदी पार करने के लिए रास्ता नहीं ढूंढ पाएगी।

सहयोगात्मक ब्रांचिंग प्रोसेस: "को-इन्फेक्शन" का खेल

अब, आइए पासा पलट दें। इस संस्करण में, कल्पना करें कि "फ्लू बी" पकड़ने के लिए, आपको पहले "फ्लू ए" पकड़ना अनिवार्य है। आप नए कीड़े को तब तक नहीं पकड़ सकते जब तक कि आप पहले से ही पुराने वाले से संक्रमित न हों। यह एक वीडियो गेम की तरह है जहाँ आपको अगला स्तर अनलॉक करने के लिए लेवल 1 को जीतना होगा।

यह एक बहुत ही अलग तरह का सिकुड़ना पैदा करता है। लोगों को हटाने के बजाय, वायरस को केवल उन लोगों के माध्यम से यात्रा करने के लिए मजबूर किया जाता है जो पहले से ही पिछले दौरों से संक्रमित हो चुके हैं। लेखक इसे जायंट कनेक्टेड कंपोनेंट (Giant Connected Component - GCC) कहते हैं। यह ऐसा है जैसे वायरस एक सिकुड़ते हुए बुलबुले में फंसा हुआ है।

शोधकर्ताओं ने पाया कि इस खेल में, हर नए स्ट्रेन के साथ बुलबुला छोटा और छोटा होता जाता है। उन लोगों का नेटवर्क जिन्होंने सभी पिछले स्ट्रेन्स को पकड़ा है, एक छोटा सा, खंडित द्वीप बन जाता है। भले ही नया स्ट्रेन सुपर संक्रामक हो, यह दूर तक नहीं फैल सकता क्योंकि "बुलबुले" में इतने लोग ही नहीं बचे हैं जिन्हें यह आगे बढ़ा सके। लेखकों ने दिखाया कि प्रत्येक नए स्ट्रेन के लिए प्रकोप का आकार पिछले वाले से हमेशा छोटा होता है। यह घटते प्रतिफल (diminishing returns) का खेल है जहाँ वायरस अंततः अपना ईंधन समाप्त कर देता है।

उन्होंने वास्तव में क्या पाया?

टीम ने जेनरेटिंग फंक्शन्स (generating functions) नामक एक शक्तिशाली गणितीय उपकरण का उपयोग किया (इसे एक सुपर-एडवांस्ड कैलकुलेटर की तरह समझें जो एक साथ अनंत संभावनाओं को संभाल सकता है) ताकि सटीक रूप से भविष्यवाणी की जा सके कि इन प्रकोपों का आकार कितना होगा। उन्होंने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने रैंडम सोशल वेब्स (जिन्हें एर्डोस-रेनयी ग्राफ कहा जाता है) जैसे नेटवर्क पर हजारों कंप्यूटर सिमुलेशन चलाए और अपने गणित की तुलना सिमुलेशन परिणामों से की। गणित और सिमुलेशन का मेल बिल्कुल सटीक था।

उनके काम के मुख्य निष्कर्ष यहाँ दिए गए हैं:

1. "पहुँच कठिन है" का नियम: प्रतिस्पर्धी खेल में, प्रत्येक नया स्ट्रेन प्रवेश के लिए एक उच्च बाधा का सामना करता है। यदि पहला स्ट्रेन नेटवर्क के 50% को संक्रमित करता है, तो दूसरे स्ट्रेन को उतने ही लोगों को संक्रमित करने के लिए काफी अधिक संक्रामक होने की आवश्यकता होती है। लेखकों ने सिद्ध किया कि "क्रिटिकल थ्रेशोल्ड" (बड़े प्रकोप को शुरू करने के लिए आवश्यक न्यूनतम संक्रामकता) हर पीढ़ी के साथ बढ़ता जाता है।
2. "कुल संक्रमण" का आश्चर्य: आप सोच सकते हैं कि यदि आपके पास पाँच अलग-अलग बीमारियाँ हैं, तो वे अंततः सभी को संक्रमित कर देंगी। लेकिन लेखकों ने कुछ विपरीत पाया। यदि पहली बीमारी बहुत मजबूत है, तो यह लंबे समय में संक्रमित होने वाले लोगों की कुल संख्या को वास्तव में कम कर सकती है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पहली बीमारी "अत्यधिक जुड़े हुए" लोगों (सामाजिक तितलियों) को खत्म कर देती है, जिससे पीछे ऐसे लोगों का नेटवर्क बच जाता है जिन्हें बाद की बीमारियाँ नहीं छू पातीं। संक्रमित लोगों की कुल संख्या वास्तव में बढ़ने से पहले गिर सकती है।
3. "सह-अस्तित्व" की सीमा: एक ऐसा 'स्वीट स्पॉट' है जहाँ कई स्ट्रेन एक साथ रह सकते हैं। यदि पहला स्ट्रेन बहुत कमजोर है, तो दूसरा आसानी से कब्जा कर लेता है। यदि यह बहुत मजबूत है, तो यह दूसरों के लिए नेटवर्क को नष्ट कर देता है। लेकिन एक मध्य मार्ग है जहाँ नेटवर्क इतना खंडित होता है कि अगले स्ट्रेन को प्रवेश मिल सके, लेकिन इतना भी टूटा हुआ नहीं कि खेल ही रुक जाए। लेखकों ने ठीक से मानचित्रित किया है कि वह रेखा कहाँ है।
4. सहयोग में "सिकुड़ता बुलबुला": को-इन्फेक्शन गेम में, लेखकों ने दिखाया कि पात्र मेजबानों (hosts) का नेटवर्क तेजी से (exponentially) सिकुड़ता है। आप जितने अधिक स्ट्रेन जोड़ते हैं, उन लोगों का समूह उतना ही छोटा होता जाता है जिन्होंने उन सभी को पकड़ा है। अंततः, नेटवर्क इतना खंडित हो जाता है कि वायरस फैल ही नहीं पाता, चाहे वह कितना भी संक्रामक क्यों न हो।

हमें इसकी परवाह क्यों करनी चाहिए?

हालाँकि यह शोध पत्र गणित और अमूर्त नेटवर्क के बारे में है, लेकिन यह कहानी बहुत वास्तविक है। यह हमें समझने में मदद करती है कि बीमारियाँ कैसे विकसित होती हैं। यदि कोई वायरस उत्परिवर्तित (mutate) होकर एक नया स्ट्रेन बनता है, तो क्या जीवित रहने के लिए उसे सुपर-संक्रामक बनना होगा? उत्तर इस पर निर्भर करता है कि पिछले स्ट्रेन्स ने जनसंख्या को कैसे बदल दिया।

लेखक सुझाव देते हैं कि मौसमी बीमारियों की दुनिया में, हमें केवल एक नए वायरस के संक्रामक होने के तरीके को ही नहीं देखना चाहिए। हमें यह भी देखना चाहिए कि पिछले वायरसों ने सामाजिक ताने-बाने को कैसे बदला है। क्या पिछले फ्लू सीजन ने हमें एक ऐसी आबादी के साथ छोड़ दिया है जहाँ पहुँचना कठिन है? या क्या इसने हमें एक ऐसी आबादी के साथ छोड़ दिया है जिसे संक्रमित करना आसान है?

यह शोध पत्र फ्लू का इलाज करने का दावा नहीं करता है, न ही यह अगली महामारी की भविष्यवाणी करता है। इसके बजाय, यह हमें हमारे समाज को जोड़े रखने वाले कनेक्शन के अदृश्य जाल को देखने का एक नया तरीका देता है। यह दिखाता है कि संक्रमण के खेल में, प्रकोप का इतिहास स्वयं वायरस जितना ही महत्वपूर्ण होता है। अगला लहर बीमारी की एक विशाल लहर होगी या एक छोटी सी लहर, यह पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करेगा कि पिछली लहरों ने तट को कैसे नया आकार दिया है।

अंत में, लेखकों ने इन "मौसमी" बीमारियों के आपस में कैसे व्यवहार करते हैं, इसका एक सटीक मानचित्र तैयार किया है। उन्होंने दिखाया है कि संक्रमण के खेल में, हर चाल के साथ बोर्ड बदल जाता है, और जीतने के नियम हर दौर के साथ कठिन होते जाते हैं। चाहे यह खेल मेजबानों के लिए प्रतिस्पर्धा हो या संक्रमणों का सहयोग, परिणाम एक ही है: नेटवर्क एक जीवित, सांस लेता हुआ जीव है जो यात्रा के हर कदम को याद रखता है।