An exact N-strain epidemic model using bond percolation

ある活気ある都市を想像してみてください。そこでは誰もが目に見えない糸でつながり、巨大で絡まり合ったウェブ（網）を形成しています。科学の世界では、このウェブは「ネットワーク」と呼ばれ、その糸は人々、コンピュータ、あるいは細胞同士のつながりを表しています。時として、このウェブを通じて何かが広がることがあります。それは噂、コンピュータウイルス、あるいは病気かもしれません。科学者たちは、この広がり方を研究するために、「ボンド・パーコレーション（結合浸透）」と呼ばれる巧妙な手法を用います。これは、もし高い数字を振れた場合にのみ、2つの点の間を結ぶ線を引いてよいという「点つなぎ」のゲームのようなものです。高い数字を頻繁に引き当てれば、点同士は突然つながり、都市全体に広がる巨大なクラスター（集団）を形成します。逆に低い数字ばかりだと、ただの小さく孤立した点の島々になってしまいます。この単純なゲームが、小さな火種がいかにして大規模な火災へと発展するかを理解する助けとなるのです。

では、単に一つの火災があるのではなく、次から次へと一連の火災が起こると想像してみてください。例えば、毎年変化するインフルエンザのシーズンや、前の流行が去った後に現れる新しいウイルスの変異株のようなものです。大きな疑問はこうです。「最初の火災は、次の火災のために都市をどのように変えてしまうのか？」 都市は廃墟となり、次の火災が広がるのを困難にするのでしょうか？ それとも、むしろ道を開けてくれるのでしょうか？ このパズルを解くために、セント・アンドリュース大学の研究チームは研究に着手しました。彼らは、この「点つなぎ」のゲームを一度だけでなく、任意の回数繰り返した場合に、どのように展開されるのか、そして新しいラウンドごとに都市の形がどのように変化していくのかを知りたいと考えたのです。

「誰が感染するか？」という壮大なゲーム

論文では、これらの「季節性疾患」の展開方法として、著者らが「競合的（Competitive）」および「協調的（Collaborative）」な分岐過程と呼ぶ、2つの非常に異なるシナリオを紹介しています。これらを理解するために、ゲストがノード（人々）、握手がエッジ（つながり）である、大規模なパーティーを想像してみましょう。

競合的分岐過程：「交差免疫」のゲーム

このシナリオでは、あるグループの人々が「インフルエンザA」に感染したとします。彼らが回復すると、彼らはインフルエンザAに対して免疫を持ちますが、より重要なことに、次にやってくる「あらゆるもの」に対しても免疫を持ちます。彼らは事実上、ゲームから除外された状態になります。彼らは次の病気に罹ることも、それを他人に広めることもできません。

研究者たちは、新しい株（インフルエンザB）が現れたとき、それはインフルエンザAにかからなかった人々との間でのみ広がることができることを発見しました。これにより、より小さく、断片化されたグループが残されます。著者らはこれを「残留グラフ（Residual Graph: RG）」と呼んでいます。これは、パーティー会場が整理され、隅っこにいた人々だけが残されたような状態です。

ここにひねりがあります。新しい株が現れるにつれて、「パーティー」はより小さく、より断片化していきます。著者らは、新しい株が大規模なアウトブレイクを引き起こすためには、前の株よりも「感染力が強い」必要があることを発見しました。なぜなら、アクセスしやすい人々（友人が多い人々）は、おそらく最初の数回の株によってすでに「取られて」しまっているからです。残された人々は、つながりが少ない人々であり、ウイルスが人と人の間を飛び移ることをより困難にします。

シミュレーションにおいて、もし最初の株が強力すぎると、それは他の全員にとっての「パーティー」を終わらせてしまう可能性があることが示されました。最初の火災がすべての橋を焼き落としてしまったら、たとえ後から超強力な感染力を持つ株が現れたとしても、川を渡るための接続先を見つけることができないのです。

協調的分岐過程：「共感染」のゲーム

では、視点を変えてみましょう。このバージョンでは、インフルエンザBにかかるためには、すでにインフルエンザAにかかっていなければならない、と想像してください。レベル1をクリアしなければレベル2がアンロックされないビデオゲームのようなものです。

これは全く異なる種類の縮小を生み出します。人々を取り除く代わりに、ウイルスは「以前に感染していた人々」の中だけを通らなければなりません。著者らはこれを「巨大連結成分（Giant Connected Component: GCC）」と呼んでいます。これは、ウイルスが縮小していくバブルの中に閉じ込められているような状態です。

研究者たちは、このゲームにおいて、バブルは新しい株が現れるたびにどんどん小さくなっていくことを発見しました。これまでのすべての株に感染した人々のネットワークは、小さく断片化した島となります。たとえ新しい株が非常に感染力が強くても、バブルの中に伝播できる人数が十分に足りないため、広く広がることはできません。これは「収穫逓減」のゲームであり、ウイルスは最終的に燃料切れを起こします。

彼らは実際に何を発見したのか？

チームは、これらのアウトブレイクの規模を正確に予測するために、「母関数（generating functions）」という強力な数学的ツール（無限の可能性を一度に扱うことができる高度な計算機のようなもの）を使用しました。彼らは単に推測したのではなく、ランダムな社会構造を持つネットワーク（エルデシュ・レーニィ・グラフと呼ばれる）上で数千回のコンピュータ・シミュレーションを実行し、その数学的理論とシミュレーション結果を比較しました。数学とシミュレーションは完璧に一致しました。

彼らの研究の主なポイントは以下の通りです：

1. 「到達困難」のルール： 競合的なゲームにおいては、すべての新しい株がより高い参入障壁に直面します。もし最初の株がネットワークの50%に感染した場合、二番目の株が同じ人数に感染するためには、以前よりも大幅に感染力が強くなる必要があります。著者らは、「臨界閾値（大規模なアウトブレイクを開始するために必要な最小限の感染力）」は、世代を経るごとに上昇することを証明しました。
2. 「総感染数」の驚き： 5つの異なる疾患があれば、最終的には全員が感染すると思うかもしれません。しかし、著者らは直感に反する発見をしました。もし最初の疾患が「強すぎる」場合、長期的には感染する総人数を減少させてしまう可能性があるのです。これは、最初の疾患が「つながりの強い人々（社交的な人々）」を焼き尽くしてしまい、後の疾患が到達できない孤立した人々ばかりのネットワークを残してしまうために起こります。総感染者数は、再び上昇する前に一度減少することがあります。
3. 「共存」の限界： 複数の株が共存できる「スイートスポット」が存在します。最初の株が弱すぎれば、二番目の株が容易に支配します。最初の株が強すぎれば、全員にとってのネットワークを破壊してしまいます。しかし、ネットワークが次の株を受け入れるのに十分断片化されているものの、ゲーム自体を完全に止めてしまうほどではない、という中間領域が存在します。著者らは、この境界線がどこにあるのかを正確に描き出しました。
4. 協調における「縮小するバブル」： 共感染ゲームにおいて、著者らは、適格な宿主のネットワークが指数関数的に縮小することを示しました。株が増えるほど、それらすべてに感染した人々というグループは小さくなっていきます。最終的に、ネットワークはあまりに断片化され、ウイルスがいかに感染力が強くても、もはや広まることができなくなります。

なぜこれが重要なのか？

この論文は数学と抽象的なネットワークに関するものですが、語られている物語は極めて現実的です。これは、疾患がどのように進化するかを理解する助けとなります。もしウイルスが変異して新しい株になった場合、生き残るために超強力な感染力を持つ必要があるのでしょうか？ その答えは、以前の株が人口構造をどのように変えたかに依存します。

著者らは、季節性疾患の世界においては、単に新しいウイルスの感染力だけを見るべきではないと示唆しています。私たちはまた、以前のウイルスが社会の構造をどのように変えたのかを見る必要があります。前回のインフルエンザシーズンは、私たちを「到達困難な人々」の集団にしたのでしょうか？ それとも、感染しやすい集団にしたのでしょうか？

この論文は、インフルエンザの治療法を提示したり、次のパンデミックを予測したりするものではありません。その代わりに、私たちの社会を繋ぎ止めている「目に見えない接続のウェブ」に対する新しい視点を与えてくれます。それは、アウトブレイクの「歴史」が、ウイルスそのものと同じくらい重要であることを示しています。次の波が巨大な波になるのか、それとも小さなさざ波に過ぎないのかは、それ以前の波がどのように岸辺の形を変えたかにかかっているのです。

結局のところ、著者らは、これらの「季節性」疾患が世界の構造とどのように相互作用するかについての精密な地図を作り上げました。彼らは、感染というゲームにおいて、ボードは一手を打つごとに変化し、勝利のためのルールはラウンドを重ねるごとに難しくなっていくことを示したのです。感染が「競争」であれ「協調」であれ、結果は同じです。ネットワークとは、旅のあらゆる足跡を記憶している、生きている、呼吸する存在なのです。