An exact N-strain epidemic model using bond percolation

모두가 보이지 않는 실로 연결되어 거대하고 뒤엉킨 그물망을 형성하고 있는 활기찬 도시를 상상해 보세요. 과학의 세계에서 이 그물은 **네트워크(network)**라고 불리며, 실은 사람들, 컴퓨터, 혹은 세포 사이의 연결을 의미합니다. 때때로 이 그물을 통해 무언가가 퍼져 나갑니다. 소문, 컴퓨터 바이러스, 혹은 질병처럼 말이죠. 과학자들은 이 확산이 어떻게 일어나는지 연구하기 위해 **결합 퍼콜레이션(bond percolation)**이라는 영리한 기술을 사용합니다. 이것은 마치 '점 잇기' 게임과 같습니다. 단, 주사위를 던져 운 좋게 높은 숫자가 나왔을 때만 두 점 사이에 선을 그을 수 있습니다. 충분히 자주 높은 숫자를 얻는다면, 점들은 갑자기 하나로 연결되어 도시 전체를 아우르는 거대한 클러스터를 형성하게 됩니다. 반대로 낮은 숫자만 나온다면, 점들은 그저 작고 고립된 섬들로 남게 됩니다. 이 단순한 게임은 작은 불꽃이 어떻게 거대한 화재로 변하는지를 이해하는 데 도움을 줍니다.

이제, 단 하나의 화재가 아니라, 연달아 일어나는 일련의 화재들을 상상해 봅시다. 아마도 매년 바뀌는 독감 시즌이나, 지난번 유행이 지나간 후 나타나는 새로운 변종 바이러스 같은 것 말이죠. 여기서 중요한 질문은, 첫 번째 화재가 두 번째 화재를 위해 도시를 어떻게 변화시키는가 하는 점입니다. 도시를 폐허로 만들어 다음 화재가 퍼지는 것을 어렵게 만들까요? 아니면 어떤 방식으로든 길을 터줄까요? 이것이 바로 세인트앤드루스 대학교의 연구팀이 해결하고자 했던 퍼즐입니다. 그들은 이 '점 잇기' 게임을 단 한 번이 아니라 임의의 횟수만큼 반복할 때 어떤 일이 벌어지는지, 그리고 매 라운드마다 도시의 형태가 어떻게 변하는지를 알아보고 싶었습니다.

"누가 감염될 것인가?"라는 위대한 게임

이 논문은 이러한 "계절적 질병"이 전개되는 두 가지 매우 다른 방식, 즉 저자들이 경쟁적(Competitive) 및 협력적(Collaborative) 분지 과정(branching processes)이라고 부르는 방식을 소개합니다. 이를 이해하기 위해, 손잡기가 곧 연결(edge)이고 손님들이 노드(node)인 거대한 파티를 상상해 봅시다.

경쟁적 분지 과정: "교차 면역" 게임

이 시나리오에서는 한 무리의 파티 참석자들이 "독감 A"에 감염된다고 가정해 봅시다. 일단 회복되면, 그들은 독감 A에 대해 면역력을 갖게 되지만, 더 중요한 것은 다른 모든 것에 대해서도 면역력을 갖게 된다는 점입니다. 그들은 사실상 게임에서 제외됩니다. 다음 병에 걸릴 수도 없고, 병을 옮길 수도 없습니다.

연구진은 새로운 변종(독감 B)이 도착했을 때, 독감 B는 오직 독감 A에 걸리지 않았던 사람들 사이에서만 퍼질 수 있다는 것을 발견했습니다. 이는 더 작고 파편화된 집단을 남깁니다. 저자들은 이를 **잔여 그래프(Residual Graph, RG)**라고 부릅니다. 마치 파티가 정리되어 구석에 남아 있던 사람들만 남겨진 것과 같습니다.

여기 반전이 있습니다. 점점 더 많은 변종이 도착함에 따라 "파티"는 점점 작아지고 파편화됩니다. 저자들은 새로운 변종이 대규모 유행을 일으키기 위해서는 이전의 변종보다 더 전염성이 높아야 한다는 사실을 발견했습니다. 왜 그럴까요? 왜냐하면 접근하기 쉬운 사람들(친구(연결)가 많은 사람들)은 이미 첫 몇 개의 변종에 의해 이미 점령되었을 가능성이 높기 때문입니다. 남겨진 사람들은 연결이 적은 사람들이며, 이는 바이러스가 사람에서 사람으로 건너가는 것을 더 어렵게 만듭니다.

시뮬레이션 결과, 만약 첫 번째 변종이 너무 강력하다면, 그것은 다른 모든 이들을 위해 파티를 "죽일" 수도 있습니다. 첫 번째 화재가 모든 다리를 끊어버린다면, 두 번째 화재가 아무리 뜨겁더라도 강을 건널 수 없듯이, 네트워크를 너무 심하게 파괴하여 나중에 도착한 초강력 변종조차 대규모 유행을 시작할 만큼 충분한 사람들을 찾지 못하게 만듭니다.

협력적 분지 과정: "공동 감염" 게임

이제 상황을 뒤집어 봅시다. 이 버전에서는 "독감 B"에 걸리기 위해서 반드시 이미 "독감 A"에 걸려 있어야 합니다. 이전 단계의 병에 걸려 있지 않으면 새 병에 걸릴 수 없습니다. 이는 레벨 1을 깨야 레벨 2를 잠금 해제할 수 있는 비디오 게임과 같습니다.

이는 매우 다른 종류의 축소를 만들어냅니다. 사람을 제거하는 대신, 바이러스는 이미 이전 라운드에 감염되었던 사람들을 통해서만 이동하도록 강요받습니다. 저자들은 이를 **거대 연결 성분(Giant Connected Component, GCC)**이라고 부릅니다. 마치 바이러스가 줄어드는 거품 속에 갇힌 것과 같습니다.

연구진은 이 게임에서 거품이 새로운 변종이 나타날 때마다 점점 더 작아진다는 것을 발견했습니다. 이전의 모든 변종에 걸렸던 사람들의 네트워크는 아주 작고 파편화된 섬이 됩니다. 설령 새로운 변종이 엄청나게 전염성이 높더라도, 거품 안에 남은 사람들이 너무 적기 때문에 멀리 퍼질 수 없습니다. 저자들은 각 새로운 변종의 발생 규모가 이전보다 항상 작다는 것을 보여주었습니다. 이는 결국 바이러스가 연료를 다 써버리게 되는 수확 체감의 법칙이 적용되는 게임입니다.

그들은 실제로 무엇을 찾아냈는가?

연구팀은 **생성 함수(generating functions)**라는 강력한 수학적 도구(무한한 가능성을 동시에 처리할 수 있는 초고급 계산기라고 생각하세요)를 사용하여 이 유행의 규모를 정확히 예측했습니다. 그들은 단순히 추측한 것이 아니라, 무작위 사회적 웹(Erdős-Rényi 그래프라고 불리는)과 유사한 네트워크에서 수천 번의 컴퓨터 시뮬레이션을 실행하고 그들의 수학적 모델을 시뮬레이션 결과와 비교했습니다. 수학과 시뮬레이션은 완벽하게 일치했습니다.

이 연구의 핵심 결론은 다음과 같습니다:

1. "접근하기 어려운" 규칙: 경쟁적 게임에서, 모든 새로운 변종은 더 높은 진입 장벽에 직면합니다. 만약 첫 번째 변종이 네트워크의 50%를 감염시킨다면, 두 번째 변종이 동일한 수의 사람을 감염시키기 위해서는 훨씬 더 전염성이 높아야 합니다. 저자들은 "임계값"(대규모 유행을 시작하는 데 필요한 최소한의 전염성)이 매 세대마다 높아진다는 것을 증명했습니다.
2. "총 감염"의 놀라움: 다섯 가지 다른 질병이 있다면 결국 모든 사람을 감염시킬 것이라고 생각할 수도 있습니다. 하지만 저자들은 역설적인 사실을 발견했습니다. 만약 첫 번째 질병이 너무 강력하다면, 장기적으로는 총 감염자 수를 오히려 줄일 수도 있습니다. 이는 첫 번째 질병이 "연결성이 높은" 사람들(사교적인 사람들)을 태워버려, 이후의 질병들이 도달할 수 없는 고립된 사람들만을 남기기 때문입니다. 총 감염자 수는 다시 상승하기 전에 실제로 감소할 수 있습니다.
3. "공존"의 한계: 여러 변종이 공존할 수 있는 스윗 스팟(sweet spot)이 존재합니다. 첫 번째 변종이 너무 약하면 두 번째 변종이 쉽게 장악합니다. 너무 강하면 다른 모두를 위해 네트워크를 파괴합니다. 하지만 네트워크가 다음 변종을 들여보낼 만큼은 적당히 파편화되어 있으면서도, 게임을 완전히 멈출 정도로 망가지지는 않은 중간 지점이 있습니다. 저자들은 이 경계선이 어디인지 정확히 지도화했습니다.
4. 협력에서의 "줄어드는 거품": 공동 감염 게임에서, 저자들은 적격한 숙주의 네트워크가 기하급수적으로 줄어든다는 것을 보여주었습니다. 변종을 더 많이 추가할수록, 모든 변종에 걸렸던 사람들의 집단은 점점 더 작아집니다. 결국 네트워크는 너무 파편화되어, 아무리 전염성이 높더라도 바이러스가 더 이상 퍼질 수 없게 됩니다.

왜 우리가 관심을 가져야 하는가?

이 논문은 수학과 추상적인 네트워크에 관한 것이지만, 그 이야기는 매우 현실적입니다. 이는 질병이 어떻게 진화하는지를 이해하는 데 도움을 줍니다. 만약 바이러스가 돌연변이를 일으켜 새로운 변종이 된다면, 살아남기 위해 초강력 전염성을 가져야 할까요? 그 답은 이전의 변종들이 인구 구조를 어떻게 변화시켰는지에 달려 있습니다.

저자들은 계절적 질병이 존재하는 세상에서, 우리는 단순히 새로운 바이러스가 얼마나 전염성이 있는지만을 봐서는 안 된다고 제안합니다. 또한 이전의 바이러스들이 사회적 구조를 어떻게 변화시켰는지도 보아야 합니다. 지난 독감 시즌이 우리를 도달하기 어려운 인구 구조로 만들었나요? 아니면 감염되기 쉬운 인구 구조로 만들었나요?

이 논문은 독감의 치료법을 주장하거나 다음 팬데믹을 예측하는 것이 아닙니다. 대신, 우리 사회를 지탱하는 보이지 않는 연결의 그물을 바라보는 새로운 관점을 제공합니다. 이는 질병의 역사가 바이러스 자체만큼이나 중요하다는 것을 보여줍니다. 다음 파도가 거대한 파도가 될지 아니면 작은 잔물결이 될지는, 이전의 파도가 해안을 어떻게 재형성했는지에 달려 있을 수도 있습니다.

결국, 저자들은 이러한 "계절적" 질병이 우리 세계의 구조와 어떻게 상호작용하는지에 대한 정밀한 지도를 만들었습니다. 그들은 감염의 게임에서, 보드판은 매 수마다 변하며, 승리를 위한 규칙은 매 라운드마다 더 어려워진다는 것을 보여주었습니다. 이 게임이 숙주를 차지하기 위한 경쟁이든, 감염의 협력이든 결과는 같습니다: 네트워크는 여정의 모든 발걸음을 기억하는, 살아 움직이는 생명체라는 점입니다.