Inverses of Fibonacci and Lucas Numbers via Rational Indices

तकनीकी सारांश: परिमेय अनुक्रमों के माध्यम से फाइबोनैची और लुकास संख्याओं के व्युत्क्रम

समस्या विवरण
यह शोध पत्र शास्त्रीय फाइबोनैची ($F_n$) और लुकास ($L_n$) अनुक्रमों को परिमेय सूचकांकों $X \in \mathbb{Q}_{>0}$ तक विस्तारित करने के विषय में है। उलुदाग और गोकमेन (2022) के पिछले कार्य ने यह स्थापित किया था कि परिमेय-सूचकांक वाली फाइबोनैची संख्याएँ ($F_X$) को "कोडेनामिनेटर" (codenominator) फलन $F$ का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, और ऐसे अनगिनत निरूपण अस्तित्व में हैं, लेकिन इस ढांचे के भीतर विशिष्ट संरचनात्मक गुणों, मनमाने परिमेय सूचकांकों के लिए स्पष्ट सूत्रों, और इनके भीतर गुणात्मक व्युत्क्रमों (multiplicative inverses) के अस्तित्व का पूर्ण लक्षण वर्णन किया जाना शेष था। लेखक $F_X$ के लिए सामान्य स्पष्ट सूत्र प्राप्त करने, यह निर्धारित करने की स्थिति खोजने कि $F_X$ कब शास्त्रीय लुकास संख्याओं के साथ मेल खाता है या शास्त्रीय पूर्णांक-सूचकांक वाली फाइबोनैची अनुक्रम से विचलित होता है, और इन संख्याओं के लिए गुणात्मक व्युत्क्रमों के अस्तित्व को सिद्ध करने का लक्ष्य रखते हैं।

कार्यप्रणाली
यह अध्ययन कोडेनामिनेटर फलन $F: \mathbb{Q}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}$ पर आधारित है, जिसे कोनुमेरेटर (conumerator) फलन के माध्यम से पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है। फलन $F$ का निर्माण निरंतर भिन्नों (continued fractions) के गुणों का उपयोग करके किया गया है। एक परिमेय संख्या $X = [n_0; n_1, \dots, n_k]$ के लिए, लेखक $F$ के पुनरावर्ती संबंधों (विशेष रूप से $F(1+X) = F(1/X)$ और $F(\frac{1}{1+X}) = F(X) + F(1/X)$) का उपयोग करके परिमेय सूचकांकों को पूर्णांक घटकों में विघटित करते हैं।

कार्यप्रणाली तीन चरणों में आगे बढ़ती है:

1. स्पष्ट सूत्रों का व्युत्पत्ति: लेखक छह तक की लंबाई वाले निरंतर भिन्न विस्तारों के लिए $F_X$ के बंद-रूप (closed-form) अभिव्यक्तियों को व्युत्पन्न करते हैं। ये सूत्र $F_X$ को शास्त्रीय फाइबोनैची ($F_n$) और लुकास ($L_n$) संख्याओं के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करते हैं, जिनका पूर्णांक सूचकांक $X$ के आंशिक भाग (partial quotients) द्वारा निर्धारित होता है।
2. मेल और विचलन का विश्लेषण: व्युत्पन्न सूत्रों की शास्त्रीय अनुक्रमों की परिभाषाओं के विरुद्ध तुलना करके, यह शोध पत्र उन सटीक स्थितियों को स्थापित करता है जिनके तहत एक परिमेय-सूचकांक मान $F_X$, एक शास्त्रीय फाइबोनैची संख्या, एक लुकास संख्या, या एक भिन्न मान के बराबर होता है।
3. व्युत्क्रम गणना: लेखक इन परिमेय-सूचकांक वाली संख्याओं के व्युत्क्रमों की जांच करते हैं। $F_{X^{-1}}$ (जहाँ $X^{-1}$ सूचकांक का व्युत्क्रम है) की गणना करके और कैसिनी की पहचान (Cassini's identity) तथा बिनाट के सूत्रों (Binet's formulas) जैसे सूत्रों का उपयोग करके, वे यह प्रदर्शित करते हैं कि एक परिमेय-सूचकांक वाली संख्या और उसके व्युत्क्रम का गुणनफल एक इकाई (विशेष रूप से एक संबंधित पद के मॉड्युलो $\pm 1$) देता है, जिससे गुणात्मक व्युत्क्रमों के अस्तित्व की पुष्टि होती है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

• सामान्य स्पष्ट सूत्र: शोध पत्र लंबाई 2 से 6 तक के निरंतर भिन्नों के लिए $F_X$ के स्पष्ट सूत्र (लेम्मा 3.1–3.4) और मनमाने लंबाई $k$ के लिए एक सामान्य पुनरावर्ती सूत्र (लेम्मा 4.2) प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यदि $X = [n_0; n_1]$, तो $F_X = F_{n_0}F_{n_1} + F_{n_0-1}F_{n_1+1}$।
• मानों का लक्षण वर्णन:
  • शास्त्रीय अनुक्रमों के साथ मेल: यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि $F_X$ केवल विशिष्ट स्थितियों के तहत ही एक शास्त्रीय फाइबोनैची संख्या $F_m$ के बराबर होता है (जैसे, यदि निरंतर भिन्न की लंबाई $k=1$ है और $n_0 \in \{1, 2\}$, या यदि $k=2$ है और $n_0=1$ के साथ विशिष्ट प्रतिबंध लागू हैं)।
  • लुकास संख्याओं के साथ मेल: यह दिखाया गया है कि यदि $X = [3; n]$, तो $F_X = L_{n+1}$। इसी प्रकार, $F([2; 1, n]) = L_{n+1}$।
  • विचलन: कोरोलरी 6.1 यह स्थापित करता है कि $k \ge 3$ के लिए, या $k=1$ के लिए $n_0 \ge 3$ (लुकास मामले को छोड़कर), $F_X$ शास्त्रीय फाइबोनैची अनुक्रम से भिन्न है।
• गुणात्मक व्युत्क्रमों का अस्तित्व: केंद्रीय परिणाम यह प्रमाण है कि प्रत्येक फाइबोनैची और लुकास संख्या के पास परिमेय-सूचकांक ढांचे के भीतर एक गुणात्मक व्युत्क्रम होता है।
  • $F_m = F([1; m])$ के लिए, व्युत्क्रम $F_{m+2}$ है।
  • $F_m = F([2; m-2])$ के लिए, व्युत्क्रम $L_{m-1}$ है।
  • $L_m = L([3; m-1])$ के लिए, व्युत्क्रम $L_m + F_{m+1}$ है।
  • शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि $F_X \cdot F_{X^{-1}} \equiv \pm 1 \pmod{\text{संबंधित पद}}$, जो इकाई गुण (unit property) की पुष्टि करता है।

महत्व
लेखक दावा करते हैं कि ये परिणाम उलूदाग और गोकमेन द्वारा प्रस्तुत परिमेय-सूचकांक दृष्टिकोण को व्यवस्थित विधि प्रदान करके विस्तारित करते हैं, जिससे मनमाने परिमेय सूचकांकों के लिए मानों और व्युत्क्रमों की गणना की जा सकती है। यह कार्य फाइबोनैची- और लुकास-संबंधी अनुक्रमों के नए संरचनात्मक गुणों को प्रकट करता है, विशेष रूप से कोडेनामिनेटर फलन के माध्यम से इन संख्याओं के लिए गुणात्मक व्युत्क्रमों को परिभाषित करने और गणना करने की क्षमता। शोध पत्र सुझाव देता है कि ये निष्कर्ष निरंतर भिन्नों और मॉडुलर अंकगणित के संदर्भ में, विशेष रूप से परिमेय सूचकांकन के तहत अनुक्रमों के अंकगणितीय गुणों के संबंध में संख्या-सिद्धांत संबंधी अन्वेषण के नए मार्ग खोलते हैं। लेखक किसी तात्कालिक बाहरी अनुप्रयोग का दावा नहीं करते हैं, बल्कि इन शास्त्रीय अनुक्रमों की बीजगणितीय समझ के संवर्धन पर बल देते हैं।