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A solution to Morrey's problem in $\mathbb{R}^{2\times m}$

यह शोध पत्र $\mathbb{R}^{2\times m}$ पर समरूप रैंक-एक उत्तल (rank-one convex) इंटीग्रेंड्स का निर्माण करता है जो पर्याप्त बड़े $m$ के लिए कहीं भी अर्ध-उत्तल (quasiconvex) नहीं हैं, जिससे इस विशिष्ट आयाम में मोरे (Morrey) की समस्या का समाधान प्राप्त होता है।

मूल लेखक: Gabriele Cassese

प्रकाशित 2026-08-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Gabriele Cassese

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कल्पना कीजिए कि आप एक वास्तुकार (architect) हैं जो अजीब, लचीली सामग्रियों के ढेर से सबसे कुशल, स्थिर संरचना बनाने की कोशिश कर रहे हैं। गणित की दुनिया में, यह कैलकुलस ऑफ वेरिएशन्स (Calculus of Variations) का काम है। यह गणित की वह शाखा है जो किसी प्रणाली के लिए सबसे "बेहतरीन" आकार या पथ खोजने के लिए समर्पित है, चाहे वह सतह तनाव को कम करने वाला साबुन का बुलबुला हो या तनाव को कम करने वाला पुल। इसे करने के लिए, गणितज्ञ एक विशाल फॉर्मूला का उपयोग करते हैं जिसे इन्टेग्रैंड (integrand) कहा जाता है। इस इन्टेग्रैंड को एक नियम पुस्तिका (rulebook) के रूप में समझें जो सामग्री के मुड़ने या खिंचने के हर संभावित तरीके को एक "लागत" या "ऊर्जा" प्रदान करती है। लक्ष्य एक ऐसा आकार खोजना है जहाँ कुल लागत यथासंभव कम हो।

लेकिन यहाँ एक पेंच है: उस पूर्ण आकार को खोजना अविश्वसनीय रूप से कठिन है। यह गारंटी देने के लिए कि एक समाधान मौजूद है, नियम पुस्तिका (इन्टेग्रैंड) को एक बहुत ही सख्त, लगभग जादुई गुण का पालन करना चाहिए जिसे क्वासीकनवेक्सिटी (quasiconvexity) कहा जाता है। यह गुण सुनिश्चित करता है कि यदि आप आकार को थोड़ा सा हिलाते (wiggle) हैं, तो ऊर्जा अचानक इस तरह से नहीं गिरेगी जो गणित को तोड़ दे। हालाँकि, यह जाँचने के लिए कि क्या एक नियम पुस्तिका में यह गुण है, समुद्र तट के हर एक रेत के कण को चखना होगा कि वह नमकीन है या नहीं; यह व्यावहारिक रूप से असंभव है। इसलिए, दशकों तक, गणितज्ञों ने एक शॉर्टकट की उम्मीद की। उन्होंने सोचा कि क्या एक सरल, आसानी से जाँचने योग्य गुण जिसे रैंक-वन कॉन्वेक्सिटी (rank-one convexity) कहा जाता है (जो कि यह जाँचने जैसा है कि सामग्री एक विशिष्ट दिशा में खींचे जाने पर कैसी व्यवहार करती है), क्वैसीकनवेक्सिटी की गारंटी देने के लिए पर्याप्त होगा। यदि यह सच होता, तो यह एक बहुत बड़ा समय-बचत करने वाला, एक "जादुई कुंजी" होता जो भौतिकी से लेकर इंजीनियरिंग तक सब कुछ हल करने के लिए रास्ता खोल देता।

यह शोध पत्र, जिसका शीर्षक "A Solution to Morrey's Problem in R2×m" है, इस कहानी को बताता है कि कैसे एक गणितज्ञ गैब्रिएल कैससे (Gabriele Cassese) ने अंततः उस जादुിക कुंजी को आज़माया और पाया कि वह काम नहीं करती है। 1950 के दशक में चार्ल्स मोरे (Charles Morrey) नामक एक जीनियस द्वारा रखा गया प्रश्न था: "यदि कोई सामग्री हर एक सीधी रेखा में खिंचाव के लिए स्थिर है, तो क्या वह स्वतः ही हर जटिल, टेढ़े-मेढ़े घुमाव (wiggly twist) के लिए भी स्थिर है?" लंबे समय तक, लोगों को लगा कि उत्तर "हाँ" है। लेकिन कैससे सिद्ध करते हैं कि जब सामग्रियाँ पर्याप्त आयामों वाली होती हैं (विशेष रूप से, जब सामग्री "चौड़ी" होती है), तो उत्तर निश्चित रूप से "नहीं" है। वह एक विशिष्ट, विचित्र नियम पुस्तिका का निर्माण करते हैं जो सरल "सीधी रेखा" वाले परीक्षण में पूरी तरह से पास हो जाती है लेकिन जटिल "टेढ़े-मेढ़े" परीक्षण में विफल हो जाती है। यह एक काउंटरएग्जांपल (counterexample) है जो एक सरल शॉर्टकट की उम्मीद को चकनाचूर कर देता है, यह दर्शाता है कि इन गणितीय सामग्रियों की दुनिया हमारी उम्मीद से कहीं अधिक जटिल और अप्रत्याशित है।

वह महान शॉर्टकट जो नहीं मिला

इन गणितीय सामग्रियों की दुनिया में, एक नियम पुस्तिका को "अच्छा" जाँचने के दो तरीके हैं। पहला, रैंक-वन कॉन्वेक्सिटी (rank-one convexity), एक रबर बैंड को एक सीधी रेखा में खींचकर परीक्षण करने जैसा है। यदि यह बिना टूटे प्रतिरोध करती है और उस एक दिशा में अच्छा व्यवहार करती है, तो यह परीक्षण पास कर लेती है। दूसरा, क्वैसीक kesanवेक्सिटी (quasiconvexity), वास्तविक "बॉस फाइट" है। यह पूछता है: "यदि आप इस सामग्री के एक टुकड़े को लें और इसे एक साथ हर संभव अराजक तरीके से हिलाएं (wiggle), तो क्या यह अभी भी एकजुट रहती है?"

दशकों तक, गणितज्ञों को संदेह था कि सीधी रेखा वाला परीक्षण पास करना (रैंक-वन कॉन्वेक्सिटी) क्वैसीकनवेक्सिटी की गारंटी देने के लिए पर्याप्त होगा। यह तर्कसंगत लगता था: यदि यह हर सीधी रेखा में मजबूत है, तो यह हर जगह मजबूत होनी चाहिए। यही मोरे का प्रश्न (Morrey's Problem) था। यदि यह सच होता, तो इसका अर्थ होता कि हम हर टेढ़े-मेढ़े वiggles को जाँचने के कठिन गणित को छोड़कर केवल सीधी रेखाओं को जाँच सकते थे।

लेकिन इस शोध पत्र में, कैससे एक "फ्रेंकेंस्टीन के राक्षस" जैसी नियम पुस्तिका बनाते हैं ताकि उन्हें गलत साबित किया जा सके। वह एक ऐसा गणितीय ऑब्जेक्ट बनाते हैं जो किसी भी सीधी रेखा में खींचे जाने पर पूरी तरह से स्थिर (रैंक-वन कॉन्वेक्स) है, लेकिन जैसे ही आप इसे हिलाने (wiggle) की कोशिश करते हैं, यह बिखर जाता है (कहीं भी क्वैसीकनवेक्स नहीं है)।

"जादुई" निर्माण

उन्होंने यह कैसे किया? कल्पना कीजिए कि आपके पास एक विशाल, बहु-आयामी ग्रिड है। कैससे ने केवल एक यादृच्छिक (random) नियम पुस्तिका नहीं चुनी; उन्होंने मार्टिंगल्स (martingales) (एक फैंसी शब्द जो यादृच्छिक कदमों के क्रम के लिए है, जैसे एक नशे में धुत व्यक्ति की चाल) और बानाच स्पेस (Banach spaces) (अमूर्त गणितीय खेल के मैदान जो हमारे सामान्य स्थानों जितने गोल और सुव्यवस्थित नहीं होते) का उपयोग करते हुए एक चतुर ट्रिक के माध्यम से एक निर्माण किया।

उन्होंने एक फॉर्मूला बनाया जो इस प्रकार दिखता है:
$\text{लागत (Cost)} = C \times (\text{भाग A})^p - (\text{भाग B})^p$
यहाँ, "भाग A" और "भाग B" सामग्री के आकार को मापने के दो अलग-अलग तरीके हैं। संख्या $C$ एक "ट्यूनिंग नॉब" (tuning knob) है।

सीधी-रेखा परीक्षण (रैंक-वन कॉन्वेक्सिटी): कैससे ने दिखाया कि यदि आप सामग्री को एक सीधी रेखा में खींचते हैं, तो भाग A और भाग B एक सख्त गणितीय नियम द्वारा एक साथ बंधे होते हैं। वे पूर्ण तालमेल में चलते हैं। इस कारण से, यदि आप नॉब $C$ को पर्याप्त रूप से ऊँचा चुनते हैं, तो फॉर्मूला हमेशा सकारात्मक रहता है। यह आसान परीक्षण पास कर लेता है।
टेढ़ा-मेढ़ा परीक्षण (क्वैसीकनवेक्सिटी): फिर, उन्होंने देखा कि जब वह सामग्री को हिलाते (wiggle) हैं तो क्या होता है। उन्होंने एक विशिष्ट, बहुत ही टेढ़े-मेढ़े आकार (एक "टेस्ट फंक्शन") का पता लगाया जहाँ भाग B अचानक भाग A की तुलना में बहुत बड़ा हो जाता है। यदि नॉब $C$ अनंत रूप से ऊँचा नहीं है, तो फॉर्मूला नकारात्मक हो जाता है। सामग्री ढह जाती है।

इस शोध पत्र की प्रतिभा नॉब $C$ के लिए एक "गोल्डिलॉक्स ज़ोन" (Goldilocks zone) खोजने में है। उन्होंने सिद्ध किया कि जब सामग्री पर्याप्त चौड़ी होती है (विशेष रूप से, जब आयाम $m$ पर्याप्त रूप से बड़ा होता है), तो एक ऐसा "स्वीट स्पॉट" होता है जहाँ नॉब सीधी-रेखा परीक्षण पास करने के लिए पर्याप्त ऊँचा है, लेकिन टेढ़े-मेढ़े परीक्षण को पास करने के लिए बहुत कम है।

परिणाम: कई आयामों में "नहीं"

यह शोध पत्र केवल एक अजीब उदाहरण नहीं पाता; यह उदाहरणों का एक पूरा परिवार पाता है।

बड़े आयाम (The Big Dimensions): किसी भी "पावर" $p$ के लिए (जो यह नियंत्रित करता है कि लागत कैसे स्केल होती है), कैससे सिद्ध करते हैं कि यदि सामग्री पर्याप्त चौड़ी है (आयाम $m$ बड़ा है), तो आप हमेशा यह काउंटरएग्जांपल बना सकते हैं। पेपर तुरंत यह नहीं बताता कि "पर्याप्त बड़ा" के लिए विशिष्ट संख्या क्या है, लेकिन यह सिद्ध करता है कि ऐसी संख्या मौजूद है।
वर्ग का मामला (The Square Case): वह यह भी दिखाते हैं कि यह वर्गाकार सामग्रियों (जहाँ चौड़ाई ऊँचाई के बराबर है, $d \times d$ ) के लिए भी काम करता है, यदि वर्ग पर्याप्त बड़ा हो।
4x2 का मामला: वह एक छोटे 4-बाय-2 ग्रिड में भी एक काउंटरएग्जांपल डालने में सफल रहे, बशर्ते कि पावर $p$ ठीक 2 न हो।

यह क्यों मायने रखता है (और यह क्यों दुखद है)

यह परिणाम उन लोगों के लिए थोड़ा निराशाजनक है जो एक सरल शॉर्टकट की उम्मीद कर रहे थे। इसका अर्थ है कि रैंक-वन कॉन्वेक्सिटी, क्वैसीकनवेक्सिटी को निहित (imply) नहीं करती है। आप केवल सीधी रेखाओं की जाँच करके यह मान नहीं सकते कि बाकी सब ठीक है। "जादुई कुंजी" एक दिखावा है।

हालाँकि, यह गणितीय सत्य की एक बड़ी जीत है। यह उस प्रश्न को सुलझाता है जो 1950 के दशक से खुला था। यह हमें बताता है कि इन वेरिएशनल इंटीग्रल्स की दुनिया हमारी सोच से कहीं अधिक जटिल और "गैर-रेखीय" (non-linear) है। यह शोध पत्र एक प्रसिद्ध अनसुलझे पहेली इवानिएक कंजेक्चर (Iwaniec Conjecture) को भी छूता है, जो कि एक विशिष्ट 2-बाय-2 मामले के बारे में है। कैससे का कार्य सुझाव देता है कि यदि उस पहेली का कोई समाधान मौजूद है, तो वह उस 2-बाय-2 मामले की एक बहुत ही विशिष्ट, अद्वितीय विशेषता पर निर्भर करेगा, क्योंकि उनकी सामान्य विधि (जो बड़े आयामों के लिए काम करती है) वहाँ विफल हो जाती है।

संक्षेप में, कैससे ने एक गणितीय "असंभव वस्तु" (impossible object) बनाई है: एक ऐसी सामग्री जो हर सीधे कोण से देखने पर पूरी तरह स्थिर दिखती है लेकिन गुप्त रूप से ताश के पत्तों के घर की तरह है जो कभी भी ढह सकती है। यह हमें याद दिलाता है कि गणित की गहरी दुनिया में, चीजें शायद ही कभी उतनी सरल होती हैं जितनी वे दिखती हैं, और कभी-कभी, सत्य जानने का एकमात्र तरीका अपना खुद का काउंटरएग्जांपल बनाना ही होता है।

तकनीकी सारांश: $\mathbb{R}^{2\times m}$ में मोरे की समस्या का समाधान

समस्या विवरण
यह शोध पत्र मोरे की समस्या (Morrey's problem) को संबोधित करता है, जो 1952 में कैलकुलस ऑफ वेरिएशन्स (calculus of variations) में उठाया गया एक केंद्रीय प्रश्न है: क्या रैंक-वन उत्तलता (rank-one convexity), $f: \mathbb{R}^{d\times m} \to \mathbb{R}$ के लिए क्वासिकॉनवेक्सिटी (quasiconvexity) को दर्शाती है? जबकि शेवरक (Šverák, 1992) ने उन आयामों $d \times m$ के लिए एक प्रति-उदाहरण (counterexample) प्रदान किया जहाँ $d \ge 3$ और $m \ge 2$ है, $d=2$ (विशेष रूप से $2 \times m$ ) का मामला खुला रह गया था। इसके अतिरिक्त, यह शोध पत्र "होमोजेनियस मोरे समस्या" (homogeneous Morrey problem) की जांच करता है, जो $p$ -होमोजेनियस इंटीग्रेंड्स ( $f(tA) = |t|^p f(A)$ ) के लिए मूल बिंदु पर रैंक-वन उत्तलता और क्वासिकॉनवेक्सिटी के बीच संबंध पर प्रश्न उठाती है। पिछले परिणामों, जैसे कि किर्चहाइम-क्रिस्टेंसन (Kirchheim–Kristensen) के प्रमेय ने स्थापित किया था कि $p=1$ के लिए, रैंक-वन उत्तलता मूल बिंदु पर क्वासिकॉनवेक्सिटी को दर्शाती है, जिससे $p \in (1, \infty)$ का मामला अनसुलझा रह गया।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक निम्नलिखित रूप के इंटीग्रेंड्स पर आधारित एक "थ्रेशोल्ड-सेपरेशन स्कीम" (threshold-separation scheme) का उपयोग करके प्रति-उदाहरणों का निर्माण करते हैं:
$f_{C,p}(A) = C^p \|P(A)\|_X^p - \|Q(A)\|_X^p$
जहाँ $P$ और $Q$ , $\mathbb{R}^{d\times m}$ से एक बानाच स्पेस (Banach space) $X$ तक के रैखिक मानचित्र (linear maps) हैं, और $C$ एक स्थिरांक (constant) है। रणनीति रैंक-वन उत्तलता के थ्रेशोल्ड ( $C_{rc}$ ) को मूल बिंदु पर क्वासिकॉनवेक्सिटी के थ्रेशोल्ड ( $C_{qc}$ ) से अलग करने की है।

रैंक-वन उत्तलता ( $C_{rc}$ ): लेखक रैंक-वन उत्तलता और मार्टिंगेल ट्रांसफॉर्म्स (martingale transforms) के बीच पत्राचार का उपयोग करते हैं। विशेष रूप से, 0 पर रैंक-वन उत्तलता इस शर्त के समतुल्य है कि $f(0) \le \mathbb{E}[f(M_n)]$ सभी रैंक-वन रेडेमेकर मार्टिंगल्स (Rademacher martingales) $M_n$ के लिए। $C_{rc}$ को UMD (Unconditional Martingale Difference) स्पेस थ्योरी और बर्कहोल्डर (Burkholder) की असमानताओं का उपयोग करके नियंत्रित किया जाता है। निर्माण लक्षित स्पेस $X$ (विशेष रूप से $\ell_q$ स्पेस जहाँ $q \neq 2$ ) की गैर-हिल्बर्टियन ज्यामिति (non-Hilbertian geometry) का लाभ उठाता है ताकि $C_{rc}$ को सीमित रखा जा सके।
क्वासिकॉनवेक्सिटी ( $C_{qc}$ ): $C_{qc}$ का निचला अनुमान स्पष्ट टेस्ट मैप्स (वेक्टर फील्ड्स) $u$ के निर्माण के माध्यम से लगाया जाता है जो टोरस या क्यूब पर स्थित हैं। लेखक विशिष्ट ऑसिलेटरी टेस्ट फंक्शन्स (जैसे जटिल संयुग्मी या त्रिकोणमितीय योगों के उत्पाद) का उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए करते हैं कि अनुपात $\|Q(\nabla u)\| / \|P(\nabla u)\|$ आयाम $m$ (या $d$ ) के साथ बढ़ता है, और अंततः $C_{rc}$ के मान से अधिक हो जाता है।
एनवेलप निर्माण (Envelope Construction): एक बार जब $C$ का एक स्थिरांक चुना जाता है कि $C_{rc} < C < C_{qc}$ , तो इंटीग्रेंड क्वासिकॉनवेक्स नहीं होता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि अंतिम इंटीग्रेंड हर जगह रैंक-वन उत्तलता रखता है, लेखक निर्मित फलन का रैंक-वन उत्तलता एनवेलप (rank-one convex envelope) लेते हैं। प्रपोजिशन 2.3 गारंटी देता है कि होमोजेनियस इंटीग्रेंड्स के लिए, यदि एनवेलप 0 पर क्वासिकॉनवेक्स नहीं है, तो फलन कहीं भी क्वासिकॉनवेक्स नहीं होता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

शोध पत्र उच्च आयामों में दोनों मूल और होमोजेनियस मोरे समस्याओं के नकारात्मक समाधान प्रदान करता है:

थ्योरम 1.2 ( $2 \times m$ का मामला): किसी भी $p \in (1, \infty)$ के लिए, एक $m_0(p)$ आयाम मौजूद है ताकि सभी $m \ge m_0(p)$ के लिए, एक $p$ -होमोजेनियस इंटीग्रेंड $f: \mathbb{R}^{2\times m} \to \mathbb{R}$ मौजूद हो जो रैंक-वन उत्तलता है लेकिन कहीं भी क्वासिकॉनवेक्स नहीं है। निर्माण "ब्लॉकवाइज विर्टिंगर पेयर" (blockwise Wirtinger pair) और $\ell_q^n$ की गैर-हिल्बर्टियन संरचना पर निर्भर करता है।
थ्योरम 1.3 (वर्ग मामला $d \times d$ ): किसी भी $p \in (1, \infty)$ के लिए, एक $d_0(p)$ आयाम मौजूद है ताकि सभी $d \ge d_0(p)$ के लिए, $\mathbb{R}^{d\times d}$ पर एक कंजुगेशन- और ट्रांसपोज़िशन-इनवेरिएंट (conjugation- and transposition-invariant) $p$ -होमोजेनियस इंटीग्रेंड मौजूद हो जो रैंक-वन उत्तलता है लेकिन कहीं भी क्वासिकॉनवेक्स नहीं है। यह शैटन $q$ -नॉर्म्स (Schatten $q$ -norms) में ग्रेडिएंट के सिमेट्रिक और स्क्यू-सिमेट्रिक भागों के अंतर का उपयोग करके प्राप्त किया गया है।
थ्योरम 1.4 ( $4 \times 2$ का मामला): किसी भी $p \in (1, \infty) \setminus \{2\}$ के लिए, $\mathbb{R}^{4\times 2}$ पर एक $p$ -होमोजेनियस इंटीग्रेंड मौजूद है जो रैंक-वन उत्तलता है लेकिन कहीं भी क्वासिकॉनवेक्स नहीं है। यह परिणाम ब्यूर्लिंग-अहलफोर्स ट्रांसफॉर्म (Beurling-Ahlfors transform) से संबंधित रैखिक मानचित्रों वाले एक विशिष्ट निर्माण के माध्यम से प्राप्त किया गया है।

स्पष्ट निर्माण (Explicit Constructions)
शोध पत्र विशिष्ट मापदंडों के लिए स्पष्ट उदाहरण प्रदान करता है:

$p=3$ के लिए, $\ell_6$ नॉर्म्स वाले एक विशिष्ट इंटीग्रेंड के लिए एक प्रारंभिक प्रमाण दिया गया है।
वर्ग मामले के लिए $p=q=4$ के साथ, लेखक पर्याप्त बड़े $d$ के लिए पर्याप्त बड़े $d$ के लिए एक वैश्विक रैंक-वन उत्तलता वाला चतुर्थ घात (degree 4) का होमोजेनियस पॉलीनोमियल निर्मित करते हैं जो 0 पर क्वासिकॉनवेक्स होने में विफल रहता है।
$4 \times 2$ के लिए $p=4$ के साथ, एक चतुर्थ घात का होमोजेनियस पॉलीनोमियल प्रति-उदाहरण स्पष्ट रूप से निर्मित किया गया है।

महत्व और दावे
शोध पत्र बड़े आयामों ( $2 \times m$ , $d \times d$ , और $4 \times 2$ ) में दोनों मूल और होमोजेनियस मोरे समस्याओं को नकारात्मक रूप से हल करने का दावा करता है।

निहितार्थ: होमोजेनियस मोरे समस्या का सकारात्मक उत्तर इवानिएक (Iwaniec) के उस अनुमान (conjecture) को सिद्ध करेगा जो कॉन्फॉर्मल और एंटीकॉन्फॉर्मल भागों से संबंधित एक विशिष्ट इंटीग्रेंड से संबंधित है। इन प्रति-उदाहरणों के माध्यम से, यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि इवानिएक के अनुमान को रैंक-वन उत्तलता से 0 पर क्वासिकॉनवेक्सिटी के सामान्य निहितार्थ से सिद्ध नहीं किया जा सकता है; किसी भी प्रमाण को उन विशिष्ट विशेषताओं पर निर्भर रहना चाहिए जो इवानिएक इंटीग्रेंड में मौजूद हैं और इन प्रति-उदाहरणों में अनुपस्थित हैं।
गैर-स्थानीयता (Non-locality): परिणाम यह संकेत देते हैं कि $2 \times m$ में क्वासिकॉनवेक्सिटी एक गैर-स्थानीय स्थिति है, क्योंकि निर्मित इंटीग्रेंड्स यूनिफॉर्म लेजेंड्रे-हाडेमैर्ड असमानता (लेजेन्ड्रे-हाडेमैर्ड की प्रबल दीर्घवृतीयता) को संतुष्ट करते हैं लेकिन वैश्विक क्वासिकॉनवेक्सिटी में विफल रहते हैं।
समरूपता (Symmetry): वर्ग मामले में प्रति-उदाहरणों को कंजुगेशन और ट्रांसपोज़िशन के तहत इनवेरिएंट बनाया गया है, जो यह दर्शाता है कि मजबूत समरूपता धारणाएं भी उच्च आयामों में क्वासिकॉनवेक्सिटी को मजबूर नहीं करती हैं।

सीमाएं और खुले प्रश्न
लेखक स्पष्ट रूप से उल्लेख करते हैं कि ये परिणाम $2 \times 2$ के मामले को हल नहीं करते हैं। निर्माण इस बात पर निर्भर करता है कि आयाम $m$ UMD स्थिरांकों और क्वासिकॉनवेक्सिटी थ्रेशोल्ड को अलग करने के लिए पर्याप्त बड़ा हो। शोध पत्र यह अनुमान लगाता है कि होमोजेनियस मोरे समस्या का $2 \times 2$ में सकारात्मक उत्तर होने की संभावना है, और वर्तमान विधि UMD स्थिरांकों और क्वासिकॉनवेक्सिटी थ्रेशोल्ड के अधिक परिष्कृत अनुमानों के बिना इसे गलत सिद्ध करने के लिए नहीं खींची जा सकती है। इसके अतिरिक्त, शोध पत्र यह भी खुला छोड़ता है कि आइसोट्रोपिक (आइसोट्रोपिक/घूर्णन-अपरिवर्तनीय) रैंक-वन उत्तलता इंटीग्रेंड्स अभी भी 0 पर क्वासिकॉनवेक्स हो सकते हैं।

वह महान शॉर्टकट जो नहीं मिला

"जादुई" निर्माण

परिणाम: कई आयामों में "नहीं"

यह क्यों मायने रखता है (और यह क्यों दुखद है)

तकनीकी सारांश: R2×m\mathbb{R}^{2\times m}R2×m में मोरे की समस्या का समाधान

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