A solution to Morrey's problem in $\mathbb{R}^{2\times m}$

技术摘要：$\mathbb{R}^{2\times m}$ 中 Morrey 问题的解

问题陈述
本文探讨了由 1952 年提出的变分法中心问题——Morrey 问题：对于泛函 $f: \mathbb{R}^{d\times m} \to \mathbb{R}$，秩一凸性（rank-one convexity）是否蕴含拟凸性（quasiconvexity）？虽然 Šverák (1992) 在维度 $d \ge 3$ 且 $m \ge 2$ 的情况下提供了反例，但 $d=2$（具体为 $2 \times m$）的情况仍然悬而未决。此外，本文研究了“齐次 Morrey 问题”，即询问对于 $p$-齐次泛函（满足 $f(tA) = |t|^p f(A)$），秩一凸性是否蕴含在原点处的拟凸性。先前的研究结果（如 Kirchheim–Kristesten 定理）已经确定，当 $p=1$ 时，秩一凸性蕴含在 0 处的拟凸性，但对于 $p \in (1, \infty)$ 的情况仍未解决。

方法论
作者使用一种基于如下形式泛函的“阈值分离方案”来构建反例：
$$f_{C,p}(A) = C^p \|P(A)\|_X^p - \|Q(A)\|_X^p$$
其中 $P$ 和 $Q$ 是从 $\mathbb{R}^{d\times m}$ 到 Banach 空格 $X$ 的线性映射，$C$ 是一个常数。该策略的核心在于将秩一凸性的阈值（$C_{rc}$）与原点处拟凸性的阈值（$C_{qc}$）进行分离。

1. 秩一凸性 ($C_{rc}$): 作者利用了秩一凸性与鞅变换（martingale transforms）之间的对应关系。具体而言，在 0 处的秩一凸性等价于对所有秩一 Rademacher 鞅 $M_n$，均满足 $f(0) \le \mathbb{E}[f(M_n)]$。通过使用 UMD（无条件鞅差） 空间理论和 Burkholder 不等式来控制界限 $C_{rc}$。该构造利用了目标空间 $X$（特别是非希尔伯特空间的 $\ell_q$ 空间，$q \neq 2$）的非希尔伯特几何特性，以保持 $C_{rc}$ 有界。
2. 拟凸性 ($C_{qc}$): 通过在环面或立方体上构造显式的测试映射（向量场）$u$ 来从下方估计界限 $C_{qc}$。作者采用特定的振荡测试函数（例如复共轭的乘积或三角级数）来证明比例 $\|Q(\nabla u)\| / \|P(\nabla u)\|$ 随维度 $m$（或 $d$）的增加而增长，最终超过 $C_{rc}$ 的界限。
3. 包络构造: 一旦选取一个常数 $C$ 使得 $C_{rc} < C < C_{qc}$，则该泛函在 0 处不是拟凸的。为了确保最终的泛函在处处都是秩一凸的，作者取了所构造函数的秩一凸包络（rank-one convex envelope）。命题 2.3 保证了对于齐次泛函，如果其包络在 0 处不是拟凸的，则该函数处处不是拟凸的。

主要贡献与结果

本文在高维情形下为原始 Morrey 问题和齐次 Morrey 问题提供了负解：

• 定理 1.2 ($2 \times m$ 情况): 对于任何 $p \in (1, \infty)$，存在维度 $m_0(p)$，使得对于所有 $m \ge m_0(p)$，存在一个 $p$-齐次泛函 $f: \mathbb{R}^{2\times m} \to \mathbb{R}$，它是秩一凸的但处处不是拟凸的。该构造依赖于“分块 Wirtinger 对”以及 $\ell_q^n$ 的非希尔伯特结构。
• 定理 1.3 (方阵情况 $d \times d$): 对于任何 $p \in (1, \infty)$，存在 $d_0(p)$，使得对于所有 $d \ge d_0(p)$，存在一个关于共轭和转置不变的 $p$-齐次泛函在 $\mathbb{R}^{d\times d}$ 上，它是秩一凸的但处处不是拟凸的。这是通过利用 Schatten $q$-范数中对称部分与反对称部分之间的差异来实现的。
• 定理 1.4 ($4 \times 2$ 情况): 对于任何 $p \in (1, \infty) \setminus \{2\}$，存在一个在 $\mathbb{R}^{4\times 2}$ 上的 $p$-齐次泛函，它是秩一凸的但处处不是拟凸的。该结果是通过涉及与 Beurling-Ahlfors 变换相关的特定线性映射的构造获得的。

显式构造
论文为特定参数提供了显式示例：

• 对于 $p=3$，给出了一个涉及 $\ell_6$ 范数的特定泛函的初等证明，证明其具有秩一凸性。
• 对于具有 $p=q=4$ 的方阵情况，作者构造了一个全局秩一凸的 4 次齐次多项式，当 $d$ 足够大时，该多项式在 0 处不满足拟凸性。
• 对于 $4 \times 2$ 且 $p=4$ 的情况，显式构造了一个 4 次齐次多项式反例。

意义与主张
本文声称在高维情形下（$2 \times m$, $d \times d$, 以及 $4 \times 2$）否定了齐次 Morrey 问题。

• 影响: 对齐次 Morrey 问题的正面回答将意味着 Iwaniec 关于与共形和反共形部分相关的特定泛函之拟凸性的猜想成立。通过提供反例，本文表明 Iwaniec 的猜想不能通过从秩一凸性到 0 处拟凸性的一般蕴含关系来证明；任何证明都必须依赖于这些反例中所缺失的 Iwaniec 泛函的特定特征。
• 非局部性: 结果表明，在 $2 \times m$ 且 $m$ 足够大时，拟凸性是一个非局部条件，因为所构造的泛函满足一致的 Legendre-Hadamard 不等式（强椭圆性）但却不满足全局拟凸性。
• 对称性: 方阵情况下的反例被构造为在共轭和转置下是不变的，这表明即使是极强的对称性假设也无法在高维情形下强制实现拟凸性。

局限性与开放问题
作者明确指出，这些结果并未解决 $2 \times 2$ 的情况。该构造依赖于维度 $m$ 足够大，以使 UMD 常数与拟凸性阈值实现分离。本文推测齐次 Morrey 问题在 $2 \times 2$ 情况下可能具有正向答案，而目前的这种方法无法在不大幅改进 UMD 常数和拟凸性阈值估计的情况下将其推向证伪。此外，本文保留了一个猜想，即各向同性（旋转不变）的秩一凸泛函可能仍然在 0 处是拟凸的。