Quantitative Khintchine on the parabola with non-monotonic approximation functions

कल्पना कीजिए कि आप एक चलते हुए लक्ष्य पर डार्ट (dart) से निशाना लगाने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन इस खेल के नियम अविश्वसनीय रूप से सख्त हैं। आप केवल उन डार्ट्स को फेंक सकते हैं जो एक विशाल मैदान में खींची गई विशिष्ट, अदृश्य ग्रिड रेखाओं पर गिरते हैं। आप अपने डार्ट को ग्रिड के वर्ग के केंद्र के जितने करीब गिराएंगे, आपका स्कोर उतना ही बेहतर होगा। गणित की दुनिया में, इस खेल को "डायोफेंटाइन एप्रोक्सिमेशन" (Diophantine approximation) कहा जाता है। यह इस बारे में है कि हम सरल भिन्नों (जैसे 22/7) का उपयोग करके जटिल, अपरिमेय संख्याओं (जैसे $\sqrt{2}$ या $\pi$) का कितनी अच्छी तरह से अनुमान लगा सकते हैं। एक सदी से अधिक समय से, गणितज्ञ इस खेल के नियम समझने की कोशिश कर रहे हैं: आप कितना करीब पहुँच सकते हैं? आप कितनी बार करीब पहुँच सकते हैं? और क्या इससे कोई फर्क पड़ता है कि आपका लक्ष्य कागज की एक सपाट शीट पर एक यादृच्छिक बिंदु है, या वह एक विशिष्ट आकार, जैसे कि एक वक्र रेखा (curved line) पर अटका हुआ है?

यह शोध पत्र एक विशेष आकार के बारे में है: एक परवलय (parabola)। एक परवलय को एक इंद्रधनुष के पूर्ण, चिकने वक्र या आपके द्वारा फेंकी गई गेंद के पथ के रूप में सोचें। इस गणितीय खेल में, "लक्ष्य" केवल कोई बिंदु नहीं है; यह एक ऐसा बिंदु है जिसे इस घुमावदार रेखा पर बिल्कुल सटीक बैठना चाहिए। लंबे समय तक, गणितज्ञों को पता था कि यदि आप इस वक्र को हिट करने की कोशिश करते हैं, तो इसके कुछ सख्त नियम थे। 1924 का एक प्रसिद्ध नियम, जिसे खिंचिन का प्रमेय (Khintchine's Theorem) कहा जाता है, एक रेफरी की तरह कार्य करता है। यह कहता है कि यदि आपका लक्ष्य हिट करना कठिन है (अर्थात, "निकटता" की आवश्यकता बहुत तेजी से सख्त होती जा रही है), तो आप इसे लगभग कभी नहीं हिट कर पाएंगे। हालांकि, एक पेच था: इस रेफरी के नियम को काम करने के लिए, गणितज्ञों को यह मानना पड़ा कि आपकी "निकटता" की आवश्यकता एक बहुत ही अनुमानित, सुचारू तरीके से सख्त होनी चाहिए—जैसे कि एक ढलान जो केवल नीचे जाती है, कभी ऊपर नहीं जाती। इसे "मोनोटोनिक" (monotonic) कहा जाता है।

मैकेन ग्रेवगार्ड (Maiken Gravgaard) और साइमन क्रिस्टेंसन (Simon Kristensen) द्वारा लिखित यह शोध पत्र एक साहसी प्रश्न पूछता है: क्या होगा यदि खेल के नियम अप्रत्याशित रूप से बदल जाते हैं? क्या होगा यदि "निकटता" की आवश्यकता एक चिकनी ढलान के बजाय एक रोलरकोस्टर की तरह ऊपर-नीचे कूदती है? लंबे समय तक, किसी को नहीं पता था कि क्या रेफरी का नियम इस अराजक परिदृश्य में भी सत्य रहेगा, विशेष रूप से एक परवलय जैसी विशिष्ट वक्र रेखा पर अटके बिंदुओं के लिए। लेखकों ने यह सिद्ध करने का लक्ष्य रखा कि भले ही नियम अव्यवस्थित और गैर-मोनोटोनिक हों, खेल की एक सीमा होगी: यदि नियम पर्याप्त सख्त होते हैं, तो आप लक्ष्य को लगभग कभी नहीं हिट कर पाएंगे। उन्होंने केवल यह सिद्ध नहीं किया कि यह अस्तित्व में है; उन्होंने उन सटीक, हालांकि अविश्वसनीय रूप से सूक्ष्म, संख्याओं की गणना भी की जो यह परिभाषित करती हैं कि आप कितनी निकटता तक पहुँच सकते हैं इससे पहले कि खेल असंभव हो जाए।

संख्याओं का रोलरकोस्टर

तो, इन लेखकों ने वास्तव में क्या किया? उन्होंने प्रसिद्ध खिंचिन प्रमेय को लिया और "चिकनी ढलान" वाले नियम को हटा दिया। वे यह देखना चाहते थे कि क्या प्रमेय तब भी लागू होता है जब एप्रोक्सिमेशन फंक्शन (वह नियम जो बताता है कि आपको कितना करीब होना चाहिए) जंगली और गैर-मोनोटोनिक होने की अनुमति देता है। गणित की दुनिया में, इस "सुचारूता" की आवश्यकता को हटाना एक ऐसे भूलभुलैया में नेविगेट करने की कोशिश करने जैसा है जहाँ दीवारें अचानक अपनी स्थिति बदल लेती हैं। यह समस्या को काफी कठिन बना देता है।

लेखकों ने परवलय, यानी बिंदुओं के सेट $(x, x^2)$ पर ध्यान केंद्रित किया। वे जानना चाहते थे: यदि हमारे पास इस वक्र के एक बिंदु के करीब होने के नियमों की एक सूची है, और वे नियम बेतरतीब ढंग से उछलते-कूदते हैं, तो इस वक्र पर कितने बिंदु वास्तव में उन्हें संतुष्ट कर सकते हैं? उनका मुख्य निष्कर्ष एक स्पष्ट "लगभग कोई नहीं" है। उन्होंने सिद्ध किया कि यदि इन जंगली नियमों के वर्गों का योग अभिसरण (converge) करता है (एक शानदार तरीका यह कहने का कि नियम पर्याप्त तेजी से सख्त हो रहे हैं), तो परवलय पर संतुष्ट करने वाले बिंदुओं की संख्या प्रभावी रूप से शून्य है।

लेकिन यहाँ एक मोड़ है: उन्होंने केवल यह नहीं कहा कि "यह शून्य है।" वे एक मात्रात्मक (quantitative) रेफरी बनना चाहते थे। वे एक विशिष्ट संख्या देना चाहते थे, मान लीजिए $\kappa$, जो यह दर्शाती है कि नियम कितने सख्त होने चाहिए ताकि यह गारंटी दी जा सके कि लगभग कोई भी बिंदु हिट नहीं होगा। उन्होंने पाया कि ऐसा एक नंबर मौजूद है, लेकिन यह इतना अविश्वसनीय रूप से छोटा है कि यह लगभग हास्यास्पद लगता है।

मॉन्स्टर कांस्टेंट्स (Monster Constants)

इन संख्याओं को प्राप्त करने के लिए, लेखकों को कुछ बहुत पुराने, बहुत जिद्दी गणितीय उपकरणों से जूझना पड़ा। उन्होंने "कैरेक्टर सम्स" (character sums) से जुड़ी एक तकनीक का उपयोग किया, जो संख्याओं की लहरों को जोड़ने जैसा है ताकि यह देखा जा सके कि क्या वे एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं। इन योगों का अनुमान लगाने के लिए, उन्होंने गणितज्ञ बर्गेस द्वारा खोजे गए एक प्रसिद्ध बाउंड (bound) पर भरोसा किया। हालांकि, बर्गेस के बाउंड का मानक संस्करण उनकी जरूरतों के लिए पर्याप्त सटीक नहीं था। उन्हें एक "स्पष्ट" (explicit) संस्करण की आवश्यकता थी, जिसका अर्थ था कि उन्हें शामिल किए गए स्थिरांकों (constants) के सटीक आकार को जानना था, न कि केवल यह कि वे मौजूद हैं।

यहीं पर यह शोध पत्र थोड़ा विचित्र हो जाता है। लेखकों को विभिन्न प्रकार की संख्याओं (अभाज्य संख्याएं, भाज्य संख्याएं, बड़ी संख्याएं, छोटी संख्याएं) के लिए इन स्थिरांकों की गणना करनी पड़ी। परिणाम चार अलग-अलग प्रमेयों का एक सेट है, जिनमें से प्रत्येक का अपना $\kappa$ संस्करण है।

अपने सबसे सामान्य संस्करण (थ्योरम 4) में, जो किसी भी हर (denominator) $q$ के लिए काम करता है, $\kappa$ का मान अत्यंत सूक्ष्म संख्याओं का एक दुःस्वप्न है। उनकी गणना में से एक पद लगभग $10^{-1023.89775276641198}$ है। इसे समझने के लिए, यदि आप उस संख्या को लिखेंगे, तो उसमें पहले गैर-शून्य अंक तक पहुँचने से पहले दशमलव के बाद एक हजार से अधिक शून्य होंगे। यह इतना छोटा है कि यह व्यावहारिक रूप से शून्य है, फिर भी गणितीय रूप से, यह उस कुंजी के समान है जो प्रमाण को खोलती है। लेखक स्वीकार करते हैं कि यह संख्या "बहुत छोटी" है और इसका मुख्य कारण "डिविसर फंक्शन" (divisor function) है, जो यह गिनता है कि एक संख्या को कितने तरीकों से विभाजित किया जा सकता है। क्योंकि यह फंक्शन कुछ संख्याओं के लिए बहुत बड़ा हो सकता है, यह उनके स्थिरांक को लगभग शून्य तक सिकोड़ने के लिए मजबूर करता है।

हालाँकि, लेखकों ने इसे वहीं नहीं छोड़ा। उन्होंने महसूस किया कि यदि वे खेल को थोड़ा अधिक विशिष्ट बना दें, तो वे बहुत अधिक "तर्कसंगत" संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं।

• "लार्ज $q$" संस्करण (थ्योरम 5): यदि वे केवल बहुत बड़े हरों (विशेष रूप से, $q$ जो $e^{e^{41}}$ से बड़ा है, एक ऐसी संख्या जिसे समझना कठिन है) को देखते हैं, तो $\kappa$ बढ़कर एक बहुत ही उचित आकार, लगभग $0.00499$ हो जाता है।
• "प्राइम" संस्करण (थ्योरम 7): यदि वे केवल अभाज्य संख्याओं वाले हरों को देखते हैं, तो $\kappa$ फिर से सुधरता है, लगभग $0.012$ तक पहुँच जाता है।
• "फ्यू डिविसर्स" संस्करण (थ्योरम 6): यदि वे उन संख्याओं को देखते है जिनके पास बहुत अधिक कारक (factors) नहीं हैं, तो $\kappa$ इनके बीच कहीं स्थित है।

यह क्यों मायने रखता है (भले ही संख्याएँ अजीब हों)

आप सोच सकते हैं, "कौन सी परवाह करता है कि कोई संख्या $10^{-1023}$ है?" उत्तर प्रमाण की संरचना में निहित है। इस शोध पत्र से पहले, हमें पता नहीं था कि गैर-मोनोटोनिक कार्यों के लिए एक स्थिरांक मौजूद भी है या नहीं। तथ्य यह है कि लेखक यह सिद्ध करने में सक्षम रहे कि यह मौजूद है, भले ही वह संख्या सूक्ष्म हो, एक बड़ी प्रगति है। यह पुष्टि करता है कि परवलय की "वक्राकार" प्रकृति हमें अराजक नियमों के बावजूद एप्रोक्सिमेशन के नियमों से बचने की अनुमति नहीं देती है।

यह शोध पत्र गणितीय टूलकिट में एक विशिष्ट समस्या को भी उजागर करता है। लेखक बताते हैं कि उनके नंबर इतने छोटे होने का कारण "डिविसर फंक्शन" के बाउंड्स हैं जिनका उन्हें उपयोग करना पड़ा। वे सुझाव देते हैं कि यदि गणितज्ञ बेहतर तरीके खोज लें जिससे यह अनुमान लगाया जा सके कि किसी संख्या के कितने विभाजक हैं, तो ये स्थिरांक बहुत बड़े और अधिक उपयोगी हो सकते हैं। उन्होंने अनिवार्य रूप से एक खाई के ऊपर एक पुल बनाया है, लेकिन पुल ऐसे पदार्थ से बना है जो इतना पतला है कि वह लगभग अदृश्य है। यह सिद्ध करता है कि पुल का अस्तित्व हो सकता है, लेकिन यह यह भी बताता है कि हमें इसे चलने योग्य बनाने के लिए एक मजबूत सामग्री खोजने की आवश्यकता है।

अंत में, ग्रेवगार्ड और क्रिस्टेंसन ने दिखाया है कि परवलय एक जिद्दी प्रतिद्वंद्वी है। चाहे आप इसे सुचारू, अनुमानित नियमों या अराजक, कूदते हुए नियमों के साथ देखें, यह एप्रोक्सिमेशन का विरोध करता है। उन्होंने गणितीय प्रमाण प्रदान किया है कि यह प्रतिरोध पूर्ण है, और उस सटीकता को मापा है जिसे प्राप्त करना असंभव है, जो कि डरावनी रूप से छोटी और कठोर रूप से सटीक दोनों है। उन्होंने संख्याओं को बड़ा बनाने की समस्या को हल नहीं किया है, लेकिन उन्होंने निश्चित रूप से यह दिखा दिया है कि इन परिस्थितियों में खेल जीतना असंभव है, चाहे नियम कितने भी जंगली क्यों न हों।