Quantitative Khintchine on the parabola with non-monotonic approximation functions

あなたは、動く標的に向かってダーツを投げようとしていると想像してください。しかし、このゲームのルールは非常に厳格です。あなたは、広大なフィールドに引かれた、目に見えないグリッド線の上にのみ、ダーツを命中させなければなりません。グリッドの正方形の中心にどれだけ近く着地できるかが、スコアを左右します。数学の世界では、このゲームは「ディオファントス近似」と呼ばれています。これは、単純な分数（例えば22/7）を使って、厄介な無理数（平方根の2や円周率など）をいかにうまく近似するかという問題です。1世紀以上にわたり、数学者たちはこのゲームのルールを解明しようとしてきました。どれほど近づけるのか？どれくらいの頻度で近づけるのか？そして、ターゲットがただの平らな紙の上のランダムな点なのか、それとも放物線のような特定の形状に固定されているのかによって、結果は変わるのでしょうか？

この論文が取り組んでいる大きな問いは、特定の形状、すなわち「放物線」についてです。放物線とは、虹の完璧に滑らかな曲線や、ボールを投げた時の軌道のようなものです。この数学的なゲームにおいて、「ターゲット」は単なる点ではありません。その点は、必ずこの曲線の上に存在しなければなりません。長い間、数学者たちは、もしあなたがこの曲線にダーツを当てようとするならば、そこには厳格な限界があることを知っていました。1924年の有名なルールである「ヒンチン（Khintchine）の定理」は、審判のような役割を果たします。それは、もしターゲットへの当たりやすさ（「近さ」の要件）が非常に厳しくなるならば、あなたはほとんど決して命中させることはできない、と述べています。しかし、ここには一つ落とし穴がありました。この審判のルールを成立させるためには、数学者たちは「近さ」の要件が、非常に予測可能で滑らかな方法で厳しくなること――つまり、決して上がることのない、下り坂のようなものであること――を仮定しなければなりませんでした。これは「単調（monotonic）」と呼ばれます。

この論文は、大胆な問いを投げかけています。もしゲームのルールが予測不能に変化したらどうなるでしょうか？もし「近さ」の要件が、滑らかなスロープのように降りていくのではなく、ジェットコースターのように激しく上下するとしたら？長年、この混沌としたシナリオにおいて、審判のルールが依然として有効であるかどうかは不明でした。特に、放物線のような曲線の上の点については。著者たちは、たとえルールが非単調で無秩序であっても、このゲームには依然として限界が存在する（つまり、ルールが十分に厳しくなれば、ターゲットに当たることはほとんどない）ことを証明しようとしました。彼らは単にそれが存在することを証明しただけでなく、ゲームが不可能になる前に、どれほど近くまで到達できるのかを定義する、正確な、とはいえ信じられないほど小さな数値を算出しました。

数値のジェットコースター

では、著者たちは具体的に何をしたのでしょうか？彼らは有名なヒンチンの定理を取り上げ、そこから「滑らかなスロープ」というルールを取り除きました。彼らは、近似関数（どれほど近くにある必要があるかを指示するルール）が、荒々しく非単調であることを許容した場合でも、定理が成立するかどうかを確かめたかったのです。数学の世界において、この「滑らかさ」の要件を取り除くことは、壁が突然位置を変える迷路をナビゲートしようとするようなものです。これは問題を著しく困難にします。

著者たちは、放物線（集合 $(x, x^2)$）に焦点を当てました。彼らはこう知りたかったのです。もし、ある点に対して分数がどれほど近くにあるべきかというルールのリストがあり、それらのルールが激しく上下するとしたら、その曲線上の点は実際にどれくらい存在し得るのか？彼らの主な発見は、力強い「ほとんど存在しない」という結論です。彼らは、これらの荒々しいルールの二乗の和が収束する場合（ルールが十分に速く厳しくなることを意味します）、放物線上の条件を満たす点の数は実質的にゼロであることを証明しました。

しかし、ここにひねりがあります。彼らは単に「ゼロである」と言ったのではありません。彼らは定量的な審判になろうとしたのです。ルールがどれほど厳しくなれば、ほとんどの点が命中しなくなることを保証する、特定の数、ここでは $\kappa$ と呼ぶ数を提示しようとしました。彼らは、そのような数 $\kappa$ が存在することを突き止めましたが、それはあまりにも小さすぎて、滑稽にさえ感じられるものです。

モンスター・コンスタント（怪物的な定数）

これらの数値を導き出すために、著者たちは非常に古く、非常に頑固な数学的ツールと格闘しなければなりませんでした。彼らは「特性和（character sums）」を用いた手法を用いました。これは、数値の波を足し合わせて、それらが互いに打ち消し合うかどうかを確認するようなものです。これらの和を推定するために、彼らは数学者バージェスによって発見された有名な境界（Burgess bound）に依拠しました。しかし、標準的なバージスの境界では、彼らのニーズに対して精密さが足りませんでした。彼らには「明示的な（explicit）」バージョン、つまり、単に存在するだけでなく、関わる定数の正確な大きさを知る必要がありました。

ここから、論文の内容は少し過激になります。著者たちは、異なる種類の数（素数、合成数、大きな数、小さな数）に対して、これらの定数を計算しなければなりませんでした。その結果、それぞれ独自の $\kappa$ を持つ4つの異なる定理が得られました。

最も一般的なバージョン（定理4）では、任意の分母 $q$ に対して機能しますが、ここでの $\kappa$ は悪夢のような極小数です。計算に含まれる項の一つは、およそ $10^{-1023.89775276641198}$ です。これを説明するなら、もしその数を書き出したとした場合、最初の非ゼロの数字が現れる前に、小数点の後に1000個以上のゼロが続くことになります。それは実質的にゼロに近いほど小さいですが、数学的には、それが証明を解き明かす鍵なのです。著者たちは、この数が「非常に小さい」こと、そしてその主な原因が、ある数がどのように分割されるかを数える「約数関数（divisor function）」であることを認めています。この関数は特定の数において非常に大きくなる可能性があるため、彼らの定数をほぼ無に等しいレベルまで縮小させてしまうのです。

しかし、著者たちはそこで立ち止まりませんでした。もしゲームを少し限定的なものにすれば、より「まともな」数値が得られることに気づいたのです。

• 「大きな $q$」バージョン（定理5）： もし非常に大きな分母（具体的には $q$ が $e^{e^{41}}$ より大きい場合）のみを対象とするならば、定数 $\kappa$ ははるかに妥当なサイズである約 $0.00499$ まで跳ね上がります。
• 「素数」バージョン（定理7）： 分母が素数である場合のみを対象とすれば、定数は再び改善され、約 $0.012$ に達します。
• 「少ない約数」バージョン（定理6）： もし約数が多すぎない数に注目するのであれば、定数はその中間あたりに位置します。

なぜこれが重要なのか（たとえ数値が奇妙であっても）

あなたはこう思うかもしれません。「$10^{-1023}$ なんて数に、誰が関心を持つというのか？」ということを。その答えは、証明の構造の中にあります。この論文以前は、放物線上の非単調な関数に対して、定数が存在することさえ分かっていませんでした。著者たちが、たとえその数が微小であっても、それが存在することを証明できたという事実は、極めて大きな一歩です。これは、放物線の「曲がった」性質が、ルールが混沌としている場合であっても、近似のルールを回避することを魔法のように許してくれるわけではないことを裏付けています。

また、この論文は数学的なツールキットにおける特定の問題を浮き彫りにしています。著者たちは、自分たちの数値がこれほどまでに小さい理由は、使用した「約数関数」の境界によるものであると指摘しています。もし数学者が、ある数がどれほど多くの約数を持つかを推定するより優れた方法を見つけることができれば、これらの定数はもっと大きく、より有用なものになり得ると彼らは示唆しています。彼らは本質的に、峡谷に橋を架けましたが、その橋は歩けるようになるにはあまりにも細い素材で作られています。それは、橋が「存在できる」ことを証明していますが、同時に、それを歩行可能なものにするためには、より強い素材が必要であることを私たちに伝えているのです。

結局のところ、グラヴガードとクリステンセンは、放物線が手強い相手であることを示しました。滑らかで予測可能なルールで近づこうとも、あるいは混沌とした跳ね回るルールで近づこうとも、放物線は近似されることに抵抗します。彼らは、たとえルールがいかに荒々しくなろうとも、この抵抗が絶対的なものであることを定量化し、この条件下ではゲームは勝ち得ないものであることを、数学的な証明をもって示したのです。彼らは、数値を大きくする方法を解決したわけではありませんが、この条件下ではゲームが攻略不可能であることを、恐ろしいほど小さく、かつ厳密に正確な形で決定づけたのです。