Maximally entangled states are not complete for pseudo-telepathy

एक ऐसे ब्रह्मांड की कल्पना करें जहाँ दो मित्र, एलिस और बॉब, एक विशाल दूरी से अलग हैं, शायद आकाशगंगा के विपरीत छोरों पर। वे आपस में बात नहीं कर सकते, संदेश नहीं भेज सकते, या टेलीपैथी का उपयोग नहीं कर सकते। फिर भी, वे एक खेल खेल रहे हैं जहाँ उन्हें जीतने के लिए अपने उत्तरों को पूरी तरह से समन्वित (coordinate) करना होगा। शास्त्रीय दुनिया (classical world) में, यदि वे संवाद नहीं कर सकते, तो उनके समन्वय करने की एक सीमा होती है; वे तर्क और प्रायिकता के नियमों से बंधे होते हैं। लेकिन क्वांटम दुनिया में, चीजें अजीब हो जाती हैं। यदि एलिस और बॉब एक विशेष "क्वांटम लिंक" साझा करते हैं जिसे एंटैंगलमेंट (entanglement) कहा जाता है, तो वे कभी-कभी इस तरह से समन्वय कर सकते हैं जो असंभव लगता है, जैसे कि वे एक-दूसरे के मन को पढ़ रहे हों। इस रहस्यमयी घटना को क्वांटम स्यूडो-टेलीपैथी (quantum pseudo-telepathy) कहा जाता है।

बड़ा सवाल जो वैज्ञानिक लंबे समय से पूछ रहे हैं, वह यह है: इस क्वांटम लिंक को कितना मजबूत होने की आवश्यकता है? विशेष रूप से, क्या एलिस और बॉब को इन असंभव खेलों को जीतने के लिए "सबसे मजबूत संभव" लिंक की आवश्यकता है, जिसे मैक्सिमली एंटैंगल्ड स्टेट (maximally entangled state) कहा जाता है? यह कुछ ऐसा है जैसे यह पूछना कि क्या आपको दौड़ जीतने के लिए फेरारी की आवश्यकता है, या क्या एक बहुत अच्छी साइकिल भी काम कर जाएगी। कई वर्षों तक, वैज्ञानिकों को मिले इन दिमाग घुमा देने वाले खेलों के हर उदाहरण में, वे उस "फेरारी" स्तर के एंटैंगलमेंट का उपयोग करके जीत सकते थे। इससे एक आशावादी अनुमान लगा: शायद सबसे मजबूत लिंक ही आपकी एकमात्र आवश्यकता है। लेकिन क्या यह हर संभावित खेल के लिए सच है?

वॉ लेकर यूनिवर्सिटी के ओलिवियर लालोड का एक नया शोध पत्र कहता है: नहीं, हमेशा नहीं।

लालोड ने एक विशिष्ट खेल की खोज की है जहाँ "फेरारी" (मैक्सिमली एंटैंगल्ड स्टेट) वास्तव में हार जाती है, भले ही एक अलग, थोड़ी "अस्थिर" (wobblier) क्वांटम लिंक पूरी तरह से जीत सकता है। यह एक ऐसा प्रति-उदाहरण (counterexample) है जो इस विचार को ध्वस्त कर देता है कि सबसे मजबूत संबंध हमेशा काम करने के लिए सबसे अच्छा उपकरण होता है।

"इनर प्रोडक्ट" का खेल

इस खोज को समझने के लिए, हमें स्वयं खेल को देखना होगा। लालोड ने एक नए प्रकार के खेल का आविष्कार किया है जिसे "इनर प्रोडक्ट गेम" (inner product game) कहा जाता है। कल्पना करें कि एलिस और बॉब में से प्रत्येक को एक गुप्त कोड (एक इनपुट नंबर) दिया जाता है। अपने कोड के आधार पर, उन्हें विकल्पों की एक सूची से एक विशिष्ट वेक्टर (स्थान में एक दिशा) चुनना होता है। वे तब जीतते हैं यदि उनके द्वारा चुने गए दोनों वेक्टर एक-दूसरे के लंबवत (perpendicular) नहीं होते हैं—इसे ऐसे सोचें जैसे दो तीर एक-दूसरे से सटीक 90-डिग्री के कोण पर नहीं हैं।

नियम कठिन हैं। खेल को इस तरह डिज़ाइन किया गया है कि यदि एलिस और बॉब शास्त्रीय तर्क (केवल अनुमान लगाना या पहले से सहमत योजना का पालन करना) का उपयोग करने का प्रयास करते हैं, तो वे हार जाएंगे। लेकिन यदि वे एक क्वांटम लिंक साझा करते हैं, तो वे हर बार जीत सकते हैं।

लालोड ने इस खेल के विशिष्ट आँकड़े बनाए:

• इनपुट्स (Inputs): एलिस को 4 संभावित प्रश्न मिलते हैं; बॉब को 3।
• आउटपुट्स (Outputs): उन्हें प्रत्येक को 6 संभावित उत्तर चुनने होंगे।
• विजेता अवस्था (Winning State): पूरी तरह से जीतने के लिए, उन्हें एक ऐसी क्वांटम अवस्था साझा करने की आवश्यकता है जहाँ "लोकल डायमेंशन" 6 हो।

फेरारी बनाम कस्टम बाइक

यहाँ मोड़ आता है। इस विशिष्ट खेल में, "परफेक्ट" क्वांटम रणनीति के लिए एक बहुत ही विशिष्ट, कस्टम-निर्मित एंटैंगल्ड स्टेट की आवश्यकता होती है। यह इस प्रकार दिखता है:
$$|\Phi\rangle = \frac{1}{\sqrt{18}} (|1\rangle|1\rangle + |2\rangle|2\rangle + 2|3\rangle|3\rangle + 2|4\rangle|4\rangle + 2|5\rangle|5\rangle + 2|6\rangle|6\rangle)$$

संख्याओं पर ध्यान दें? इसके कुछ हिस्से 1 द्वारा भारित (weighted) हैं, और अन्य 2 द्वारा। यह एक नॉन-मैक्सिमली एंटैंगल्ड स्टेट (non-maximally entangled state) है। यह पूरी तरह से संतुलित नहीं है; यह एकतरफा है।

और यहाँ मुख्य बात है: एक मैक्सिमली एंटैंगल्ड स्टेट इस खेल को नहीं जीत सकती।

एक मैक्सिमली एंटैंगल्ड स्टेट एक पूरी तरह से संतुलित तराजू की तरह है जहाँ प्रत्येक विकल्प का समान भार होता है (सभी 1s)। लालोड ने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि यदि एलिस और बॉब इस विशिष्ट खेल को खेलने के लिए इस पूरी तरह से संतुलित "फेरारी" का उपयोग करने का प्रयास करते हैं, तो वे अनिवार्य रूप से विफल हो जाएंगे। वे इस प्रकार के लिंक का उपयोग करके अपने उत्तरों को पूरी तरह से समन्वित नहीं कर सकते। उन्हें उस लंबवत, कस्टम-निर्मित लिंक का उपयोग करना ही होगा जिसका वर्णन ऊपर किया गया है।

उन्होंने इसे कैसे सिद्ध किया?

आप सोच सकते हैं, "आप कैसे सुनिश्चित हो सकते हैं कि एक आदर्श रणनीति मौजूद नहीं है?" आप बस खेल को दस लाख बार नहीं खेल सकते; आपको एक गणितीय प्रमाण की आवश्यकता है।

लालोड ने एक शक्तिशाली उपकरण का उपयोग किया जिसे ट्रैशियल एनपीए पदानुक्रम (tracial NPA hierarchy) कहा जाता है। इसे एक अत्यंत परिष्कृत तर्क मशीन के रूप में समझें जो हर उस तरीके की जाँच करती है जिससे एलिस और बॉब अपने उत्तरों को समन्वित करने का प्रयास कर सकते हैं। यह शतरंज के हर संभावित चाल की जाँच करने जैसा है कि क्या चेकमेट संभव है।

प्रमाण बहुत गहन था। इसमें एक कंप्यूटर शामिल था जिसने 207,202 वेरिएबल्स और 208,702 बाधाओं (constraints) वाली एक विशाल पहेली को हल किया। इसे एक लैपटॉप पर हल करने में 7 मिनट लगे। कंप्यूटर ने केवल अनुमान नहीं लगाया; इसने एक "रेशनल सर्टिफिकेट ऑफ इनफीज़िबिलिटी" (rational certificate of infeasibility) उत्पन्न किया, जो एक गणितीय रसीद है जो सिद्ध करती है कि कोई समाधान मौजूद नहीं है। अतिरिक्त सावधानी के लिए, पूरे प्रमाण की Lean नामक एक कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा दोबारा जाँच की गई, जो एक 'प्रूफ असिस्टेंट' है जो गणित को चरण-दर-चरण सत्यापित करता है।

परिणाम ठोस है: इस खेल के लिए मैक्सिमली एंटैंगल्ड स्टेट का उपयोग करने वाली कोई भी आदर्श रणनीति मौजूद नहीं है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह खोज एक बड़ी बात है क्योंकि यह एक लंबे समय से चल रही बहस को सुलझाती है। वर्षों से, वैज्ञानिक आश्चर्य कर रहे थे कि क्या इन दिमाग घुमा देने वाले खेलों के लिए "सबसे मजबूत" क्वांटम लिंक ही एकमात्र मायने रखता है। यह शोध पत्र दिखाता है कि प्रकृति उस से कहीं अधिक सूक्ष्म है। कभी-कभी, "सर्वश्रेष्ठ" उपकरण सही उपकरण नहीं होता; आपको काम पूरा करने के लिए एक विशिष्ट, थोड़े अपूर्ण एक की आवश्यकता होती है।

यह नए प्रश्न भी खड़े करता है। क्या यह खेल एक "सेल्फ-टेस्ट" (self-test) है? इसका मतलब यह है कि यदि कोई दावा करता है कि वह इस खेल को जीत सकता है, तो क्या यह सिद्ध करता है कि उसके पास वह विशिष्ट, एकतरफा क्वांटम स्टेट है? संख्याएँ हाँ कहती हैं, लेकिन इसे विश्लेषणात्मक रूप से (कंप्यूटर के बिना) सिद्ध करना भविष्य के लिए एक चुनौती है।

संक्षेप में, अब हम जानते हैं कि क्वांटम दुनिया में, सबसे मजबूत एंटैंगलमेंट होना ही पर्याप्त नहीं है। कभी-कभी, आपको सही प्रकार के एंटैंगलमेंट की आवश्यकता होती है, भले ही वह सबसे मजबूत न हो।