Maximally entangled states are not complete for pseudo-telepathy

アリスとボブという二人の友人が、銀河の反対側にいるかのような、膨大な距離によって隔てられた宇宙を想像してみてください。彼らは会話もできず、テキストメッセージを送ることも、SF的なテレパシーを使うこともできません。しかし、彼らは完璧に答えを一致させて勝たなければならないというゲームに挑んでいます。古典的な世界では、コミュニケーションが取れない場合、彼らの調整能力には限界があります。論理と確率のルールに縛られるからです。しかし、量子力学の世界では、物事は奇妙になります。もしアリスとボブが「もつれ（エンタングルメント）」と呼ばれる特別な「量子的リンク」を共有していれば、まるで互いの心を読み取っているかのように、不可能に見える方法で答えを一致させることができるのです。この不気fulな現象は、「量子擬似テレパシー」と呼ばれています。

科学者たちが長年問い続けてきた大きな疑問があります。それは、「この量子的なリンクは、どれほど強力である必要があるのか？」ということです。具体的には、彼らがこれらの驚異的なゲームに勝つためには、「最大もつれ状態」として知られる「最強の」リンクが必要なのでしょうか？これは、レースに勝つためにフェラーリが必要なのか、それとも非常に優れた自転車で十分なのか、と問うようなものです。長年、科学者が発見したこれらの一風変わったゲームの多くは、この「フェラーリ」レベルのもつれを用いて勝つことができました。このことは、「最強のリンクこそが常に必要である」という希望に満ちた推測へとつながりました。しかし、それは「あらゆる」ゲームにおいて真実なのでしょうか？

ウォータールー大学のオリビエ・ラロンドによる新しい論文は、こう告げています。「いいえ、常にそうとは限りません。」

ラロンドは、この「最強の」リンク（最大もつれ状態）が失敗する一方で、別の少し「偏った」量子的なリンクなら完璧に勝てるという、特定のゲームを発見しました。これは、最強の繋がりが常に最適な道具であるという考えを打ち砕く反例です。

「内積」のゲーム

この発見を理解するには、ゲームそのものを見る必要があります。ラロンドは、「内積ゲーム」と呼ばれる新しいタイプのゲームを考案しました。アリスとボブがそれぞれ秘密のコード（入力値）を受け取ると想像してください。彼らはそのコードに基づき、選択肢の中から特定のベクトル（空間内の方向）を選ばなければなりません。彼らが選んだ二つのベクトルが、互いに直交していない（つまり、二つの矢印が完璧な90度の角度を向いていない）場合に、彼らは勝利します。

ルールはトリッキーです。このゲームは、アリスとボブが古典的な論理（単なる推測や、事前に合意した計画に従うこと）を用いようとすると、必ず負けるように設計されています。しかし、もし彼らが量子的なリンクを共有していれば、毎回完璧に勝つことができます。

ラロンドは、このゲームの統計を次のように設定しました：

• 入力： アリスには4つの可能な質問が与えられ、ボブには3つ。
• 出力： 彼らはそれぞれ6つの可能な答えのいずれかを選択しなければならない。
• 勝利する状態： 完璧に勝つためには、彼らは「局所次元」が6である量子状態を共有する必要があります。

フェラーリ vs カスタム・バイク

ここでのひねりは、この特定のゲームにおいて、「完璧な」量子戦略には、非常に特殊でカスタムメイドされたもつれ状態が必要であるということです。それは次のような形をしています：
$$|\Phi\rangle = \frac{1}{\sqrt{18}} (|1\rangle|1\rangle + |2\rangle|2\rangle + 2|3\rangle|3\rangle + 2|4\rangle|4\rangle + 2|5\rangle|5\rangle + 2|6\rangle|6\rangle)$$

数字に注目してください。リンクの一部は1で重み付けされ、他の部分は2で重み付けされています。これは「非最大もつれ状態」です。完全にバランスが取れているわけではなく、偏っています。

そして、ここが決定的なポイントです。最大もつれ状態はこのゲームで勝つことができません。

最大もつれ状態とは、すべての選択肢が等しい重み（すべてが1）を持つ、完璧にバランスの取れた天秤のようなものです。ラロンドは、もしアリスとボブがこの完璧にバランスの取れた「フェラーリ」を使ってこの特定のゲームをプレイしようとすれば、必然的に失敗することを数学的に証明しました。彼らは、そのような種類のリンクを使って答えを完璧に一致させることは、決してできないのです。彼らは、上述のような、偏ったカスタムメイドのリンクを使わなければなりません。

これをどのように証明したのか？

「完璧な戦略が存在しないと、どうして断言できるのか？」と思うかもしれません。何百万回もゲームをプレイするだけでは不十分です。数学的な証明が必要です。

ラロンドは、**「トレイシャルNPA階層（tracial NPA hierarchy）」**という強力なツールを使用しました。これは、アリスとボブが答えを一致させるために取り得るあらゆる方法をチェックする、非常に洗練された論理マシンだと考えてください。チェスのゲームにおけるあらゆる手を調べ、チェックメイトが可能かどうかを確認するようなものです。

その証明は非常に大規模なものでした。207,202個の変数と208,702個の制約を持つ巨大なパズルをコンピュータが解く作業を含んでいました。ノートパソコンでの計算時間は7分でした。コンピュータは単に推測したのではなく、存在しないことを証明する数学的な「不可能性の有理的証明書（rational certificate of infeasibility）」を生み出しました。念には念を入れるため、証明全体は、ステップごとに数学を検証する証明助手であるLeanというプログラムによってダブルチェックされました。

結果は確実です。このゲームにおいて、最大もつれ状態を用いた完璧な戦略は存在しません。

なぜこれが重要なのか

この発見は、長年の議論に終止符を打つ重要なものです。長年、科学者たちは、これらの驚異的なゲームにおいて、「最強の」量子的なリンクだけが重要なのかどうかを疑問に思ってきました。この論文は、自然界はもっと繊細であることを示しています。時には、「完璧な」道具が適切な道具ではないこともあり、任務を遂行するためには、特定の、少し不完全な道具が必要なのです。

また、これは新たな問いを投げかけます。このゲームは「セルフテスト（自己検証）」になるのでしょうか？ つまり、誰かがこのゲームに勝てると主張した場合、それはその人が特定の、偏った量子状態を持っていることを証明することになるのでしょうか？ 数値はそれを暗示していますが、これを（コンピュータを使わずに）解析的に証明することは、将来の課題です。

要するに、私たちは今、量子力学の世界においては、最高の「もつれ」を持っているだけでは不十分であることを知ったのです。時には、最強のもつれではなく、正しい種類のもつれが必要なのです。