Beyond Integrability Preserving Renormalization-Group Protocol in Non-Hermitian Hamiltonians with Time-Dependent Interaction Strengths

क्वांटम दुनिया में, जहाँ कण ठोस वस्तुओं के बजाय तरंगों की तरह व्यवहार करते हैं, वैज्ञानिक अक्सर ऐसे सिस्टम की तलाश करते हैं जिन्हें सटीक रूप से हल किया जा सके। इन्हें "इंटीग्रेबल" (integrable) सिस्टम कहा जाता है। ऐसे सिस्टम में, अनगिनत कणों के बीच की जटिल अंतःक्रियाएं अराजकता पैदा नहीं करती हैं; इसके बजाय, वे सख्त, अनुमानित नियमों का पालन करती हैं जो भौतिकविदों को यह गणना करने की अनुमति देते हैं कि सिस्टम कैसे व्यवहार करेगा। यह दुर्लभ और बहुमूल्य है, क्योंकि अधिकांश क्वांटम सिस्टम बहुत अधिक जटिल होते हैं जिन्हें पूर्ण सटीकता के साथ हल करना कठिन होता है। दशकों से, शोधकर्ता जानते हैं कि यदि आप अंतःक्रिया के नियमों को स्थिर रखते हैं, तो कुछ मॉडल हल करने योग्य बने रहते हैं। हालाँकि, एक हालिया खोज ने दिखाया कि यदि आप समय के साथ इन अंतःक्रियाओं की शक्ति को बदलते भी हैं, तो भी सिस्टम हल करने योग्य बना रह सकता है, लेकिन केवल तभी जब वे परिवर्तन एक बहुत ही विशिष्ट पथ का अनुसरण करते हैं। यह पाया गया कि यह पथ "रेनोर्मलाइजेशन ग्रुप" (renormalization group) फ्लो से मेल खाता है, जो एक गणितीय उपकरण है जिसका उपयोग यह देखने के लिए किया जाता है कि अलग-अलग पैमानों पर देखने पर एक सिस्टम का व्यवहार कैसे बदलता है। यह माना जाता था कि इस मिलान पथ का पालन करना ही सिस्टम को हल करने योग्य बनाए रखने का एकमात्र तरीका था जब अंतःक्रियाएं बदल रही हों।

यह विचार मानक क्वांटम सिस्टम के लिए सत्य था, लेकिन परमेश्वर पसनोरी का एक नया अध्ययन पूछता है कि क्या हम गैर-हर्मिटियन (non-Hermitian) भौतिकी के क्षेत्र में कदम रखते समय यह नियम पूर्ण है। इन प्रणालियों में, ऊर्जा संरक्षण के नियमों को थोड़ा मोड़ा जाता है, जो अक्सर इसलिए होता है क्योंकि सिस्टम खुला होता है, जिससे वह अपने परिवेश को ऊर्जा खो देता है या प्राप्त करता है। पसनोरी ने एक विशिष्ट मॉडल की जांच की जिसे कोंडो मॉडल (Kondo model) कहा जाता है, जो यह वर्णन करता है कि कैसे एक एकल चुंबकीय अशुद्धि (magnetic impurity) चलते हुए इलेक्ट्रॉनों के समुद्र के साथ अंतःक्रिया करती है। इस नए संस्करण में, अशुद्धि और इलेक्ट्रॉनों के बीच अंतःक्रिया की शक्ति न केवल समय के साथ बदल रही है, बल्कि यह एक जटिल संख्या (complex number) भी है, जिसका अर्थ है कि इसका एक वास्तविक और एक काल्पनिक भाग है। यह सेटअप मानक मॉडलों की तुलना में अधिक समृद्ध, विलक्षण व्यवहार की अनुमति देता है। शोधकर्ता यह जानना चाहता था: यदि अंतःक्रिया की शक्ति इस जटिल तरीके से समय के साथ बदलती है, तो क्या इसे अभी भी रेनोर्मलाइजेशन ग्रुप द्वारा निर्धारित पुराने, कठोर पथ का पालन करना चाहिए ताकि यह हल करने योग्य बना रहे?

उत्तर यह निकलता है कि नहीं। "जनरलाइज्ड बेथे अनसाट" (generalized Bethe ansatz) नामक एक शक्तिशाली गणितीय तकनीक का उपयोग करके, जो इन बहु-शरीर (many-body) समस्याओं के सटीक समाधान बनाती है, पसनोरी ने पाया कि सिस्टम को हल करने योग्य बनाए रखने के नियम पहले की तुलना में बहुत अधिक लचीले हैं। हालांकि यह सच है कि यदि अंतःक्रिया की शक्ति इस तरह बदलती है कि वह रेनोर्मलाइजेशन ग्रुप फ्लो से मेल खाती है, तो सिस्टम हल करने योग्य बना रहता है, लेकिन यह एकमात्र तरीका नहीं है। अध्ययन यह प्रदर्शित करता है कि अंतःक्रिया की शक्तियों का एक पूरा नया परिवार मौजूद है जो सिस्टम की हल करने की क्षमता को भी सुरक्षित रखता है। ये नए पथ पुराने रेनोर्मलाइजेशन ग्रुप प्रक्षेपवक्रों (trajectories) का अनुसरण नहीं करते हैं। इसके बजाय, वे अंतःक्रिया की शक्ति के गणितीय स्थान में अलग, फिर भी पूरी तरह से अनुमानित पथों को उकेरते हैं।

इसे विज़ुअलाइज़ करने के लिए, कल्पना करें कि अंतःक्रिया की शक्ति एक मानचित्र पर चलते हुए एक बिंदु की तरह है। पुरानी समझ में, यदि सिस्टम को बदलने के दौरान हल करने योग्य रहना था, तो उस बिंदु को एक ऊर्ध्धर रेखा पर केंद्रित विशिष्ट गोलाकार पटरियों पर चलना था। नया शोध दिखाता है कि जबकि बिंदु अभी भी उन मूल पटरियों पर चल सकता है, उसे बगल की ओर स्थानांतरित गोलाकार पटरियों पर चलने की भी अनुमति है। ये नई पटरियाँ सिस्टम को हल करने योग्य बनाए रखने के लिए उतनी ही वैध हैं, लेकिन वे अंतःक्रिया की शक्ति के लिए एक अलग प्रकार के विकास का प्रतिनिधित्व करती हैं। अध्ययन सिद्ध करता है कि सिस्टम को हल करने योग्य बनाए रखने के तरीकों का सेट उन तरीकों के सेट से बड़ा है जो केवल रेनोर्मलाइजेशन ग्रुप फ्लो का पालन करते हैं।

यह खोज महत्वपूर्ण है क्योंकि यह जटिल क्वांटम सिस्टम का अध्ययन करने वाले भौतिकविदों के लिए टूलकिट का विस्तार करती है। यह सुझाव देती है कि गैर-हर्मिटियन सिस्टम में, जो अपव्यय (dissipation) या ऊर्जा विनिमय से जुड़े वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में आम हैं, सिस्टम को नियंत्रित और अनुमानित बनाए रखते हुए उसे संचालित करने के तरीके में अधिक स्वतंत्रता है। शोधकर्ता ने दिखाया कि अंतःक्रिया की शक्ति के लिए हल करने योग्य रहने के लिए, इसके वास्तविक और काल्पनिक भागों को समय के साथ एक विशिष्ट, रैखिक संबंध में बदलना चाहिए। यह संबंध अंतःक्रिया की शक्ति को इन नई, स्थानांतरित गोलाकार पथों के साथ विकसित होने की अनुमति देता है। अध्ययन यह दावा नहीं करता है कि ये नए पथ उपयोग करने में आसान हैं या वे तुरंत नई तकनीकों की ओर ले जाएंगे, लेकिन यह दृढ़ता से स्थापित करता है कि हल करने योग्य क्वांटम सिस्टम का गणितीय परिदृश्य पहले की तुलना में अधिक व्यापक है।

यह कार्य परमाणुओं की गैस में एक चुंबकीय अशुद्धि से जुड़े एक विशिष्ट मॉडल पर केंद्रित है, एक ऐसा सेटअप जिसे यटरबियम (ytterbium) परमाणुओं के प्रयोगों में साकार किया गया है। इन प्रयोगों में, उत्तेजित अवस्था के परमाणु चुंबकीय अशुद्धियों के रूप में कार्य करते हैं, जबकि ग्राउंड स्टेट के परमाणु चलते हुए इलेक्ट्रॉनों के रूप में कार्य करते हैं। यहाँ विकसित सैद्धांतिक ढांचा इस वास्तविक दुनिया के सिस्टम पर लागू होता है। अध्ययन पुष्टि करता है कि हल करने की आवश्यकता द्वारा लगाए गए प्रतिबंध रेनोर्मलाइजेशन ग्रुप प्रोटोकॉल की तुलना में अधिक सामान्य हैं। यह दिखाता है कि अंतःक्रिया की शक्तियां ऐसे प्रक्षेपवक्रों का अनुसरण कर सकती हैं जो न केवल रेनोर्मलाइजेशन ग्रुप फ्लो हैं बल्कि इनमें ये नई, स्थानांतरित पथ भी शामिल हैं। इसका अर्थ है कि "इंटीग्रैबिलिटी प्रिजर्विंग" (integrability preserving) ड्राइविंग प्रोटोकॉल रेनोर्मलाइजेशन ग्रुप प्रक्षेपवक्रों तक सीमित नहीं हैं।

अंत में, पेपर यह प्रकट करता है कि समय-निर्भर अंतःक्रियाओं और रेनोर्मलाइजेशन ग्रुप फ्लो के बीच का संबंध प्रकृति का कोई मौलिक नियम नहीं है बल्कि एक विशेष मामला है। मौलिक बाधा स्वयं इंटीग्रैबिलिटी (solvability) है, और जब सिस्टम गैर-हर्मिटियन होता है, तो यह बाधा विविध प्रकार के व्यवहारों की अनुमति देती है। शोधकर्ता ने पाया कि जबकि रेनोर्मलाइजेशन ग्रुप फ्लो एक वैध पथ है, यह एकमात्र पथ नहीं है। वैध पथों का सेट बड़ा है, जिसमें पुराने पथ और ये नए, स्थानांतरित प्रक्षेपवक्र दोनों शामिल हैं। यह खोज कि कैसे क्वांटम सिस्टम को नियंत्रित और हल किया जा सकता है, इसे गहरा करती है, जिससे उन सिस्टमों में नए गतिशील घटनाओं की खोज का द्वार खुलता है जहाँ अंतःक्रिया की शक्ति समय के साथ जटिल तरीकों से बदलती है। अध्ययन समय-निर्भर गैर-हर्मिटियन कोंडो मॉडल का एक स्पष्ट, सटीक समाधान प्रदान करता है, जो यह दर्शाता है कि हल करने योग्य होने के नियम पहले की तुलना में अधिक उदार हैं।