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qiskit-qudits: A Qiskit Extension for Simulating Qudit Circuits

यह शोध पत्र **qiskit-qudits** प्रस्तुत करता है, जो एक Qiskit एक्सटेंशन है जो गैर-पावर-ऑफ-टू आयामों को संभालने के लिए आइडेंटिटी-पैडिंग के साथ उन्हें क्विबिट्स में एनकोड करके मनमाने d-स्तरीय क्वडिट्स का अनुकरण करता है, जो 16 तक के आयामों के लिए मानक गेट अपघटन और सटीक डेंस यूनिटरी संश्लेषण दोनों प्रदान करता है, जबकि क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म और गेट अपघटन के संख्यात्मक सत्यापन के माध्यम से अपने कार्यान्वयन को मान्य करता है।

मूल लेखक: Francesco Pudda

प्रकाशित 2026-08-25

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Francesco Pudda

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क्वांटम कंप्यूटिंग की दुनिया में, मानक निर्माण खंड 'क्यूबिट' (qubit) है, जो एक छोटा सिस्टम है जो एक साथ दो अवस्थाओं में रह सकता है, जिसे अक्सर शून्य और एक के रूप में वर्णित किया जाता है। लेकिन प्रकृति केवल दो विकल्पों तक सीमित नहीं है। कई भौतिक प्रणालियाँ, जैसे कि कुछ परमाणु या आयन, स्वाभाविक रूप से तीन, चार या उससे भी अधिक अलग-अलग ऊर्जा स्तरों को धारण करती हैं। वैज्ञानिक इन बहु-स्तरीय प्रणालियों को 'क्वाडिट्स' (qudits) कहते हैं। जबकि क्यूबिट्स वर्तमान क्वांटम कंप्यूटरों का आधार हैं, क्वाडिट्स गणना के लिए एक समृद्ध परिदृश्य प्रदान करते हैं, जिससे संभावित रूप से अधिक कुशल एल्गोरिदम और भौतिक हार्डवेयर का बेहतर उपयोग संभव हो पाता है। हालाँकि, एक महत्वपूर्ण बाधा बनी हुई है: क्वांटम प्रोग्राम डिजाइन करने के लिए सबसे लोकप्रिय सॉफ्टवेयर उपकरण विशेष रूप से दो-स्तरीय क्यूबिट्स के लिए बनाए गए थे। इसका अर्थ यह था कि जो शोधकर्ता क्वाडिट्स के साथ प्रयोग करना चाहते थे, उन्हें या तो अपने स्वयं के जटिल सॉफ्टवेयर को शून्य से लिखना पड़ता था या उस व्यापक समुदाय द्वारा विकसित शक्तिशाली उपकरणों को छोड़ना पड़ता था।

फ्रांसेस्को पुडा ने 'qiskit-qudits' नामक एक नए सॉफ्टवेयर एक्सटेंशन के साथ इस अंतर को पाट दिया है। यह उपकरण वैज्ञानिकों को बहु-स्तरीय क्वाडिट्स का उपयोग करके क्वांटम सर्किट डिजाइन करने की अनुमति देता है, जबकि वे अभी भी मानक Qiskit सॉफ्टवेयर सुइट का उपयोग कर सकते हैं, जो क्वांटम प्रोग्राम बनाने और परीक्षण करने के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इस कार्य की मुख्य उपलब्धि एक चतुर अनुवाद पद्धति है। चूंकि अंतर्निहित हार्डवेयर और मानक सॉफ्टवेयर दोनों दो-स्तरीय क्यूबिट्स के संदर्भ में सोचते हैं, इसलिए नया सिस्टम प्रत्येक बहु-स्तरीय क्वाडिट को क्यूबिट्स के एक छोटे समूह में एनकोड करता है। उदाहरण के लिए, एक तीन-स्तरीय प्रणाली को दो क्यूबिट्स द्वारा दर्शाया जाता है, और पांच-स्तरीय प्रणाली को तीन क्यूबटों द्वारा। यह दृष्टिकोण एक मामूली अक्षमता पैदा करता है क्योंकि क्यूबिट्स का समूह उन अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व कर सकता है जिनका क्वाडिट वास्तव में उपयोग नहीं करता है। इस दृष्टिकोण के कारण, सिस्टम इन अप्रयुक्त अवस्थाओं को इस तरह से देखता है जैसे कि वे कुछ भी नहीं करती हैं, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि क्वाडिट का जटिल तर्क क्यूबिट्स की परिचित भाषा के भीतर पूरी तरह से काम करता है।

शोधकर्ताओं ने केवल एक सैद्धांतिक विचार नहीं बनाया; उन्होंने एक पूरी तरह से कार्यात्मक लाइब्रेरी बनाई है जो मौजूदा क्वांटम वर्कफ़्लो के साथ सहजता से एकीकृत होती है। सॉफ्टवेयर निर्देशों या गेटों (gates) का एक नया सेट परिभाषित करता है, जो इन बहु-स्तरीय प्रणालियों पर कार्य करते हैं। ये गेट स्तरों को बदलने या जटिल सुपरपोजिशन बनाने जैसे मानक संचालन कर सकते हैं। इस डिज़ाइन की एक प्रमुख विशेषता विभिन्न आकारों के क्वाडिट्स को एक साथ संभालने की क्षमता है। एक एकल सर्किट में एक तीन-स्तरीय प्रणाली, एक चार-स्तरीय प्रणाली और एक पांच-स्तरीय प्रणाली एक साथ काम कर सकती है, और सॉफ्टवेयर प्रत्येक के लिए अनुवाद को स्वचालित रूप से प्रबंधित करता है। जब स्तरों की संख्या दो की घात (power of two) होती है, तो सॉफ्टवेयर ऑपरेशन को मानक क्यूबिट चरणों की एक श्रृंखला में तोड़ देता है जिन्हें कंप्यूटर के अनुकूलन उपकरण आसानी से संसाधित कर सकते हैं। जब स्तरों की संख्या दो की घात नहीं होती है, तो सॉफ्टवेयर एक अलग विधि का उपयोग करता है, जो क्यूबिट्स के पूरे समूह के लिए सटीक गणितीय रूपांतरण की गणना करता है। यह सुनिश्चित करता है कि सिस्टम सोलह स्तरों तक किसी भी आकार के लिए सही ढंग से काम करे, जो कई व्यावहारिक भौतिक प्रणालियों के दायरे को कवर करता है।

यह सिद्ध करने के लिए कि उनकी अनुवाद पद्धति सटीक थी, टीम ने कठोर संख्यात्मक परीक्षण किए। उन्होंने अपने सॉफ्टवेयर के व्यवहार की तुलना 'क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म' नामक एक विशिष्ट प्रकार के क्वांटम ऑपरेशन के ज्ञात गणितीय नियमों के विरुद्ध की, जो कई क्वांटम एल्गोरिदम में एक मौलिक उपकरण है। उन्होंने विभिन्न आकारों में इसका परीक्षण किया, जिसमें वे भी शामिल हैं जो दो की घात में सटीक रूप से फिट नहीं होते हैं। परिणामों ने दिखाया कि सॉफ्टवेयर का आउटपुट अत्यधिक सटीकता के साथ सैद्धांतिक अपेक्षाओं से मेल खाता है, जिसमें त्रुटियां इतनी कम थीं कि वे व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए शून्य के बराबर थीं। उन्होंने यह भी सत्यापित किया कि उनके द्वारा बनाया गया प्रत्येक प्रकार का गेट ठीक वैसे ही व्यवहार करता है जैसा कि अपेक्षित था, चाहे वह एक सरल शिफ्ट हो या एक जटिल बहु-स्तरीय इंटरेक्शन। परीक्षणों ने पुष्टि की कि सॉफ्टवेयर एनकोडेड स्पेस के "अप्रयुक्त" हिस्सों को सही ढंग से संभालता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि प्रक्रिया के दौरान कोई जानकारी लीक न हो या दूषित न हो।

यह शोध पत्र इस दृष्टिकोण से जुड़े समझौतों (trade-offs) पर भी प्रकाश डालता है। चूंकि सिस्टम प्रत्येक क्वाडिट का प्रतिनिधित्व करने के लिए अतिरिक्त क्यूबिट्स का उपयोग करता है, इसलिए इसे क्लासिकल कंप्यूटर पर सिम्युलेट करने के लिए अधिक मेमोरी की आवश्यकता होती है। बहुत बड़ी प्रणालियों के लिए, यह ओवरहेड महत्वपूर्ण हो जाता है, और शोधकर्ता नोट करते हैं कि विशाल प्र적인 प्रणालियों के शुद्ध सिमुलेशन के लिए, विशेष रूप से क्वाडिट्स के लिए निर्मित टूल अधिक कुशल हो सकता है। हालांकि, वर्तमान उपयोग के अधिकांश मामलों के लिए, मानक Qiskit इकोसिस्टम का लाभ इस लागत से कहीं अधिक है। यह सॉफ्टवेयर शोधकर्ताओं को क्वाडिट स्तर पर सर्किट बनाने, उन्हें मानक अनुकूलन पासों के माध्यम से चलाने और बिना कोड को मैन्युअल रूप से पुनर्गठित किए, वास्तविक क्वांटम हार्डवेयर या सिम्युलेटर पर निष्पादन के लिए तैयार करने की अनुमति देता है।

इस कार्य का सबसे व्यावहारिक पहलू यह है कि यह माप (measurement) को कैसे संभालता है। जब एक क्वांटम प्रणाली को मापा जाता है, तो परिणाम को कच्चे क्यूबिट डेटा से सार्थक क्वाडिट स्तरों में वापस परिवर्तित किया जाना चाहिए। नया सॉफ्टवेयर एक डिकोडिंग लेयर शामिल करता है जो इस अनुवाद को स्वचालित रूप से करता है। इसमें "लीकेज" (leakage) का पता लगाने के लिए एक सुरक्षा तंत्र भी शामिल है, जो एक ऐसी स्थिति है जहाँ एक प्रणाली गलती से ऐसी अवस्था में पहुँच जाती है जो क्वाडिट के किसी भी वैध स्तर के अनुरूप नहीं होती है। एक आदर्श सिमुलेशन में, ऐसा कभी नहीं होना चाहिए, लेकिन वास्तविक हार्डवेयर पर या जब शोर (noise) पेश किया जाता है, तो यह हो सकता है। सॉफ्टवेयर उपयोगकर्ताओं को इन दुर्लभ घटनाओं को संभालने के लिए चुनने की अनुमति देता है, या तो खराब डेटा को हटाने के लिए या समीक्षा के लिए फ्लैग करने के लिए, जिससे सिमुलेशन परिणाम अधिक विश्वसनीय और पारदर्शी बनते हैं।

यह कार्य क्वांटम कंप्यूटिंग को अधिक सुलभ और बहुमुखी बनाने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है। बहु-स्तरीय क्वांटम प्रणालियों की सैद्धांतिक अवधारणाओं को एक कार्यात्मक, ट्रांसलेटेबल सॉफ्टवेयर लेयर में बदलकर, यह शोधकर्ताओं के लिए एक बड़ी बाधा को दूर करता है। टीम ने सत्यापित किया कि उनकी विधि दो से सोलह तक के आयामों के लिए काम करती है, जो कई वर्तमान प्रयोगात्मक प्लेटफार्मों की आवश्यकताओं को पूरा करती है। हालांकि सॉफ्टवेयर एक विशिष्ट एनकोडिंग रणनीति पर निर्भर करता है जो जटिलता की एक परत जोड़ती है, लेखक प्रदर्शित करते हैं कि इस जटिलता को प्रभावी ढंग से प्रबंधित किया गया है, जिससे क्वांटम समुदाय के मानक उपकरणों को भौतिक प्रणालियों की एक विस्तृत श्रृंखला पर संचालित करने की अनुमति मिलती है। परिणाम एक ऐसा उपकरण है जो वैज्ञानिकों को उस शक्तिशाली, स्थापित बुनियादी ढांचे को छोड़े बिना बहु-स्तरीय क्वांटम यांत्रिकी की पूर्ण क्षमता का पता लगाने की अनुमति देता है जिस पर वे पहले से ही भरोसा करते हैं।

तकनीकी सारांश: QISKIT-QUDITS

समस्या विवरण

क्वाडिट्स (Qudits), जो दो-स्तरीय क्यूबिट्स का सामान्यीकरण करते हैं, $d$ कम्प्यूटेशनल स्तरों की पेशकश करते हैं और सूचना प्रसंस्करण में संभावित लाभ प्रदान करते हैं। हालाँकि, Qiskit फ्रेमवर्क में क्वाडिट्स के लिए नेटिव सपोर्ट का अभाव है, जो इसे एक ज्ञात तृतीय-पक्ष विस्तार अंतराल (third-party extension gap) के रूप में मानता है। मौजूदा टूलचेन एक द्वैत (dichotomy) का सामना करते हैं: नेटिव क्वाडिट सिम्युलेटर्स (जैसे, Cirq, QuTiP) Qiskit के विस्तृत संकलन स्टैक (compilation stack), ट्रांसपाइलर पासेस और हार्डवेयर बैकएंड का लाभ नहीं उठा सकते, जबकि क्यूबिट-केंद्रित टूल में अक्सर क्वाडिट-स्तर के ऑपरेशन्स के लिए प्रोग्रामिंग सतह का अभाव होता है। उपयोगकर्ता वर्तमान में एन्कोडिंग स्कीम्स, गेट मैट्रिसेस, डिकम्पोजिशन और क्लासिकल डिकोडिंग को मैन्युअल रूप से लागू करने के लिए मजबूर हैं, जो अनफिजिकल स्टेट स्पेस (unphysical state space) के उपचार और मेजरमेंट डिकोडिंग के संबंध में त्रुटियों के प्रति संवेदनशील है।

कार्यप्रणाली

यह शोध पत्र qiskit-qudits प्रस्तुत करता है, जो एक Qiskit एक्सटेंशन है जो प्रत्येक क्वाडिट को $m = \lceil \log_2 d \rceil$ क्यूबिट्स में एनकोड करके $d$ -स्तरीय क्वाडिट्स का अनुकरण करता है। यह सॉफ्टवेयर Qiskit के सार्वजनिक Instruction, Gate, और ControlledGate क्लासेज पर आधारित है, जो मौजूदा इकोसिस्टम के साथ अनुकूलता सुनिश्चित करता है।

मुख्य डिजाइन निर्णय

एन्कोडिंग और आइडेंटिटी पैडिंग (Identity Padding):
चूंकि $d$ अनिवार्य रूप से दो की घात (power of two) नहीं है, इसलिए एनकोडेड हिल्बर्ट स्पेस ( $D = 2^N$ ) आम तौर पर लॉजिकल सबस्पेस ( $L = \prod d_i$ ) से बड़ा होता है। लाइब्रेरी आइडेंटिटी-पैडिंग कन्वेंशन को अपनाती है: प्रत्येक गेट लॉजिकल सबस्पेस के ऑर्थोगोनल कॉम्प्लीमेंट पर आइडेंटिटी के रूप में कार्य करता है। औपचारिक रूप से, एक लॉजिकल गेट $G$ के लिए, एनकोडेड यूनिटरी $U = E G E^\dagger + (I - \Pi)$ है, जहाँ $E$ एनकोडिंग आइसोमेट्री है और $\Pi$ लॉजिकल सबस्पेस पर प्रोजेक्टर है। यह विकल्प शोर रहित सिमुलेशन के दौरान लीकेज को रोकता है और परम्यूटेशन गुणों को सुरक्षित रखता है।
गेट पदानुक्रम और डिकम्पोजिशन (Gate Hierarchy and Decomposition):
लाइब्रेरी तीन बेस क्लासेज को परिभाषित करती है: QuditGate (सिंगल क्वाडिट), QuditControlledGate (मल्टी-कंट्रोल), और QuditMultiGate|

पावर-ऑफ-टू पाथ: जब सभी ऑपरेंड डाइमेंशन्स दो की घात होते हैं, तो गेट्स मानक Qiskit क्यूबिट गेट्स (जैसे, mcx, cp, synth_qft_full) के फिक्स्ड कैस्केड्स में डिकम्पोज़ होते हैं। यह Qiskit ट्रांसपाइलर को अनुकूलित करने की अनुमति देता है।
डेंस-सिंथेसिस फॉलबैक (Dense-Synthesis Fallback): गैर-पावर-ऑफ-टू डाइमेंशन्स के लिए, गेट्स सटीक डेंस यूनिटरी सिंथेसिस की ओर गिरते हैं। लाइब्रेरी पूर्ण $D \times D$ यूनिटरी मैट्रिक्स उत्पन्न करती है (NumPy के __array__ प्रोटोकॉल के माध्यम से) और इसे एक एकल ओपेक यूनिटरी इंस्ट्रक्शन के रूप में एम्बेड करती है, जिसे UnitarySynthesis पास फिर डिकम्पोज़ करता है।

सर्किट मॉडल और मेजरमेंट:
QuditQuantumCircuit दो सिंक्रोनाइज़्ड व्यू बनाए रखता है: एक क्वाडिट-स्तरीय इंस्ट्रक्शन लॉग (.data) और एक एनकोडेड क्यूबिट-स्तरीय सर्किट (.circuit)। मेजरमेंट को QuditMeasure के माध्यम से संभाला जाता है, जो एनकोडिंग क्यूबिट्स को क्लासिकल बिट्स (ClByte) में मैप करता है। एक समर्पित डिकोडिंग लेयर बैकएंड काउंट्स को क्वाडिट स्तरों में अनुवादित करती है, जो स्पष्ट रूप से "लीकेज" (परिणाम $\ge d$ ) का पता लगाती है जिसे कॉन्फ़िगर करने योग्य नीतियों (keep, drop, raise) के माध्यम से संभाला जा सकता है।

मुख्य योगदान

एक ट्रांसपाइल करने योग्य क्वाडिट लेयर का कार्यान्वयन: यह कार्य पूर्ववर्ती कार्य [1] से सैद्धांतिक गेट परिभाषाओं को एक कार्यरत, ट्रांसपाइल करने योग्य Qiskit एक्सटेंशन में परिवर्तित करता है। यह डाइमेंशन्स $2 \le d \le 16$ और मिश्रित-डाइमेंशनल रजिस्टरों का समर्थन करता है।
गैर-पावर-ऑफ-टू डाइमेंशन्स के लिए सटीक सिमुलेशन: $d=2^m$ तक सीमित पिछले क्यूबिट-सिमुलेशन दृष्टिकोणों के विपरीत, यह लाइब्रेरी डेंस यूनिटरी फॉलबैक का उपयोग करके मनमाने $d$ के लिए सटीक सिंथेसिस का समर्थन करती है।
सिद्धांत और कार्यान्वयन का सत्यापन:
- चेक A: सत्यापित किया गया कि डेंस यूनिटरी मैट्रिसेस दोनों पावर-ऑफ-टू और गैर-पावर-ऑफ-टू डाइमेंशन्स के लिए डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) को पुनरुत्पादित करते हैं, जो [1] के सत्यापन का विस्तार करता है।
- चेक B: मान्य किया गया कि डिकम्पोज़्ड सर्किट्स (कैस्केड और डेंस दोनों पथ) 138 गेट इंस्टेंस में डेंस यूनिटरी परिभाषाओं से मेल खाते हैं, जिसमें विचलन मशीन प्रिसिजन ( $\approx 0^{-15}$ ) के भीतर है।
- पैडिंग इनवेरिएंट: पुष्टि की गई कि आइडेंटिटी-पैडिंग इनवेरिएंट बिल्कुल बना रहता है, जिससे वैध और अमान्य सबस्पेस के बीच कोई मिश्रण नहीं होता है।
लीकेज डिटेक्शन: सिमुलेशन में लीकेज घटनाओं का पता लगाने और उन्हें संभालने के लिए एक स्पष्ट तंत्र प्रदान करता है, जो आदर्श व्यवहार और शोर-प्रेरित त्रुटियों के बीच अंतर करता है।

परिणाम

संख्यात्मक सत्यापन कार्यान्वयन की शुद्धता की पुष्टि करता है:

QFT बनाम DFT: QFT कार्यान्वयन डाइमेंशन्स $d \in \{2, 3, 4, 5, 8\}$ के लिए सैद्धांतिक DFT मैट्रिक्स से $10^{-15}$ के भीतर मेल खाता है।
गेट डिकम्पोजिशन: सभी गेट्स, जिनमें SUMX, SUMP, SWAP, और QFT शामिल हैं, अपने डेंस यूनिटरी परिभाषाओं के अनुरूप डिकम्पोजिशन उत्पन्न करते हैं।
संसाधन विश्लेषण:
- पावर-ऑफ-टू: डिकम्पोजिशन कुशल और ट्रांसपाइलर-फ्रेंडली हैं। उदाहरण के लिए, एक 3-क्यूट्रिट QFT ( $d=3$ ) के लिए 1,783 CX गेट्स की आवश्यकता होती है, जबकि एक 3-क्वक्वार्ट QFT ( $d=4$ ) के लिए केवल 56 CX गेट्स की आवश्यकता होती है।
- गैर-पावर-ऑफ-टू: डेंस फॉलबैक महत्वपूर्ण ओवरहेड डालता है। एक 3-क्यूट्रिट QFT ( $d=3$ ) 1,783 CX गेट्स में सिंथेसाइज़ होता है, जबकि एक 3-क्विक्विंट ( $d=5$ ) QFT के लिए 119,383 CX गेट्स की आवश्यकता होती है। यह बड़े गैर-पावर-ऑफ-टू डाइमेंशन्स के लिए डेंस सिंथेसिस की लागत को उजागर करता है।
- मेमोरी बाधाएं: डेंस पथ मेमोरी द्वारा सीमित है; आठ 16-लेवल क्वाडिट्स ( $N=32$ ) पर एक गेट के लिए $\approx 256$ EiB मेमोरी की आवश्यकता होगी, जिससे कमोडिटी हार्डवेयर पर व्यावहारिक सीमा $N \approx 13\text{--}14$ हो जाती है।

महत्व और सीमाएं

यह पेपर qiskit-qudits को एक ब्रिज के रूप में स्थापित करता है जो उपयोगकर्ताओं को लॉजिकल स्तर पर क्वाडिट एल्गोरिदम लिखने की अनुमति देता है और साथ ही Qiskit के व्यापक संकलन स्टैक, बैकएंड और प्रिमिटिव्स तक पूर्ण पहुंच बनाए रखता है। यह स्पष्ट रूप से एनकोडेड स्पेस के "अनफिजिकल भाग" और मेजरमेंट डिकोडिंग को संबोधित करता है, जो अक्सर मैन्युअल कार्यान्वयन में त्रुटिपूर्ण होते हैं।

सीमाएं और ट्रेड-ऑफ:

डाइमेंशन कैप: लाइब्रेरी $2 \le d \le 16$ को लागू करती है और प्रति गेट अधिकतम 8 क्वाडिट्स। ये नाममात्र कैप हैं; व्यावहारिक सीमा डेंस यूनिटरी सिंथेसिस के लिए आवश्यक मेमोरी ( $N \lesssim 13\text{--}14$ ) द्वारा निर्धारित होती है।
लीकेज सिमेंटिक्स: आइडेंटिटी-पैडिंग कन्वेंशन भौतिक लीकेज को मॉडल करने के बजाय लीक हुए एम्प्लीट्यूड को फ्रीज कर देती है। यह टेंसरिंग (tensoring) के साथ कम्यूट नहीं करता है, जिसका अर्थ है कि सर्किट इक्विवेलेंस को प्रोजेक्टेड सबस्पेस ( $\Pi U \Pi$ ) पर जांचा जाना चाहिए।
ऑप्टिमाइजेशन: वर्तमान कार्यान्वयन ट्रांसपाइलर में "डोंट-केयर" पंक्तियों/स्तंभों का लाभ नहीं उठाता है, और गैर-पावर-ऑफ-टू डाइमेंशन्स के लिए डेंस फॉलबैक, नेटिव क्वाडिट सिम्युलेटर्स या अनुकूलित रिवर्सिबल लॉजिक सिंथेसिस की तुलना में कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा है।

यह कार्य निष्कर्ष निकालता है कि हालांकि डेंस फॉलबैक गैर-पावर-ऑफ-टू डाइमेंशन्स के लिए सटीक सिमुलेशन सक्षम करता है, भविष्य के सुधारों को डाइमेंशन-एग्नोस्टिक रिवर्सिबल लॉजिक सिंथेसिस और संसाधन ओवरहेड को कम करने के लिए अनफिजिकल सबस्पेस को ट्रांसपाइलर के सामने एक्सपोज़ करने पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए।