技术摘要：QISKIT-QUDITS

问题陈述

Qudits（高维量子比特）将二能级量子比特推广到 $d$ 个计算能级，为量子信息处理提供了潜在优势。然而，Qiskit 框架缺乏对 qudits 的原生支持，将其视为一个已知的第三方扩展缺口。现有的工具链面临两难境地：原生的 qudit 模拟器（如 Cirq、QuTiP）无法利用 Qiskit 广泛的编译栈、转译器 Pass 和硬件后端；而针对量子比特设计的工具则缺乏 qudit 层级的编程接口。用户目前必须手动实现编码方案、门矩阵、分解以及经典解码，这一过程极易在处理非物理态空间和测量解码时出现错误。

方法论

本文介绍了 qiskit-qudits，这是一个 Qiskit 扩展，通过将每个 qudit 编码为 $m = \lceil \log_2 d \rceil$ 个量子比特来模拟 $d$ 级 qudit。该软件基于 Qiskit 公开的 Instruction、Gate 和 ControlledGate 类构建，确保了与现有生态系统的兼容性。

核心设计决策

1. 编码与单位阵填充（Identity Padding）：
   由于 $d$ 不一定是 2 的幂，编码后的希尔伯特空间（$D = 2^N$）通常大于逻辑子空间（$L = \prod d_i$）。本库采用了单位阵填充约定：每个门在逻辑子空间的正交补空间上表现为单位阵。形式上，对于逻辑门 $G$，其编码后的酉算符为 $U = E G E^\dagger + (I - \Pi)$，其中 $E$ 是编码同构映射，$\Pi$ 是逻辑子空间的投影算符。这一选择防止了无噪声模拟过程中的泄漏，并保持了置换属性。

2. 门层级与分解：
   本库定义了三个基类：QuditGate（单 qudit）、QuditControlledGate（多控制）和 QuditMultiGate。

   • 2 的幂次路径： 当所有操作数的维度均为 2 的幂时，门会分解为标准 Qiskit 量子比特门的固定级联（例如 mcx、cp、synth_qft_full）。这使得 Qiskit 转译器能够进行优化。
   • 稠密合成回退（Dense-Synthesis Fallback）： 对于非 2 的幂次维度，门会回退到精确的稠密酉矩阵合成。本库生成完整的 $D \times D$ 酉矩阵（通过 NumPy 的 __array__ 协议），并将其嵌入为一个单一的透明酉指令，随后由 UnitarySynthesis Pass 进行分解。

3. 电路模型与测量：
   QuditQuantumCircuit 维护两个同步视图：qudit 层级的指令日志（.data）和编码后的量子比特级电路（.circuit）。测量通过 QuditMeasure 处理，它将编码量子比特映射到经典位（ClByte）。专门的解码层将后端计数转换回 qudit 能级，并显式检测“泄漏”（结果 $\ge d$），可通过配置策略（keep、drop、raise）进行处理。

核心贡献

• 实现了可转译的 Qudit 层： 本工作将先前研究 [1] 中的理论门定义转化为一个可工作的、可转译的 Qiskit 扩展。它支持维度 $2 \le d \le 16$ 以及混合维度寄存器。
• 针对非 2 的幂次维度的精确模拟： 不同于以往受限于 $d=2^m$ 的量子比特模拟方法，本库通过稠密酉回退支持在支持范围内的任意 $d$ 的精确合成。
• 理论与实现的验证：
  • 检查 A： 验证了稠密酉矩阵在 2 的幂次和非 2 的幂次维度下均能重现离散傅里叶变换（DFT）的逻辑子空间，扩展了 [1] 的验证工作。
  • 检查 B： 验证了分解后的电路（包括级联路径和稠密路径）与稠密酉定义在 138 个门实例中保持一致，偏差在机器精度（$\approx 10^{-15}$）范围内。
  • 填充不变性： 确认了单位阵填充不变性严格成立，确保了有效子空间与无效子空间之间不会发生混合。
• 泄漏检测： 提供了一种显式机制来检测并处理模拟中的泄漏事件，从而区分理想行为与噪声诱发的误差。

结果

数值验证确认了实现的正确性：

• QFT vs. DFT： 对于维度 $d \in \{2, 3, 4, 5, 8\}$，QFT 实现与理论 DFT 矩阵的匹配度在 $10^{-15}$ 以内。
• 门分解： 包括 SUMX、SUMP、SWAP 和 QFT 在内的所有门，其生成的分解均与其稠密酉定义一致。
• 资源分析：
  • 2 的幂次： 分解效率高且对转译器友好。例如，一个 3-qutrit QFT ($d=3$) 需要 1,783 个 CX 门，而一个 3-ququart QFT ($d=4$) 仅需要 56 个 CX 门。
  • 非 2 的幂次： 稠密回退会产生显著开销。一个 3-qutrit QFT ($d=3$) 合成为 1,783 个 CX 门，而一个 3-ququint ($d=5$) QFT 则需要 119,383 个 CX 门。这突显了对于较大非 2 幂次维度使用稠密合成的成本。
  • 内存约束： 稠密路径受内存限制；对 8 个 16 级 qudits（$N=32$）进行操作将需要约 256 EiB 的内存，因此在普通硬件上的实际极限为 $N \approx 13\text{--}14$。

意义与局限性

本文将 qiskit-qudits 定位为一种桥梁，允许用户在逻辑层面编写 qudit 算法，同时保留对 Qiskit 编译栈、后端和原语（primitives）的完整访问权限。它明确解决了手动实现中经常出错的“非物理部分”及测量解码问题。

局限性与权衡：

• 维度上限： 本库强制执行 $2 \le d \le 16$ 且每个门最多 8 个 qudits。这些是名义上的上限；实际限制取决于稠密酉合成所需的内存（$N \lesssim 13\text{--}14$）。
• 泄漏语义： 单位阵填充约定是通过“冻结”泄漏的振幅而非建模物理泄漏。这意味着它与张量积不交换，因此必须在投影子空间（$\Pi U \Pi$）上检查电路等价性。
• 优化： 当前实现并未利用转译器中的“无关项（don't-care）”行或列，且对于非 2 的幂次维度的稠密回退相比于原生的 qudit 模拟器或优化的可逆逻辑合成，计算成本较高。

研究结论认为，虽然稠密回退实现了对非 2 的幂次维度的精确模拟，但未来的改进应侧重于维度无关的可逆逻辑合成，并将非物理子空间暴露给转译器，以降低资源开销。