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Interacting Tomonaga-Lüttinger liquid with impurity for interaction constant $K = 1/2$ : Thermopower investigation, entropy variation and heat capacity densities associated with thermoelectric particle transport

यह शोध पत्र एक टोमोनागा-लुटिंगर लिक्विड (Tomonaga-Luttinger liquid) के ऊष्मीय-विद्युत (thermoelectric) और ऊष्मागतिक (thermodynamic) गुणों की जांच करता है जिसमें अंतःक्रिया स्थिरांक $K=1/2$ और एक स्थानीय अशुद्धि है, जो थर्मोपावर के सटीक व्यंजक प्राप्त करता है और निम्न-तापमान शासन में परिवहन गुणांकों (transport coefficients) तथा एंट्रॉपी या ऊष्मा क्षमता घनत्वों के बीच एक घनिष्ठ संबंध प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Abdellah Touati, Redoune Zamoum, Farhi Houssam Eddine

प्रकाशित 2026-09-11

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Abdellah Touati, Redoune Zamoum, Farhi Houssam Eddine

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क्वांटम भौतिकी की सूक्ष्म दुनिया में, बिजली केवल आवेश का प्रवाह नहीं है; यह ऊष्मा और सूचना का भी प्रवाह है। जब वैज्ञानिक अध्ययन करते हैं कि कैसे इलेक्ट्रॉन सूक्ष्म, एक-आयामी तारों के माध्यम से चलते हैं, तो वे अक्सर 'थर्मोपावर' नामक एक गुण को देखते हैं। यह किसी पदार्थ की वह क्षमता है जिसके द्वारा वह केवल इसलिए वोल्टेज उत्पन्न कर सकता है क्योंकि उसका एक सिरा दूसरे की तुलना में अधिक गर्म होता है। यह एक संवेदनशील जांच है, जो न केवल यह बताती है कि इलेक्ट्रॉन कितनी आसानी से यात्रा करते हैं, बल्कि यह भी बताती है कि उनकी ऊर्जा कैसे वितरित होती है और वे एक-दूसरे के साथ कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। कई पदार्थों में, ये परस्पर क्रियाएं कमजोर होती हैं, लेकिन कुछ विशिष्ट क्वांटम अवस्थाओं में, इलेक्ट्रॉन एक घनिष्ठ रूप से जुड़े भीड़ की तरह व्यवहार करते हैं, जो जटिल तरीकों से एक-दूसरे की गति को प्रभावित करते हैं। ऊष्मा और आवेश के परिवहन को प्रभावित करने वाले इस सामूहिक व्यवहार को समझना भविष्य की उन तकनीकों को विकसित करने के लिए महत्वपूर्ण है जो अपशिष्ट ऊष्मा का दोहन कर सकें या नैनोस्केल पर ऊर्जा का प्रबंधन कर सकें।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने हाल ही में इस घटना का एक विशिष्ट, अत्यधिक नियंत्रित क्वांटम प्रणाली में अन्वेषण किया है। उन्होंने एक टोमोनागा-लुटिंगर लिक्विड (Tomonaga-Luttinger liquid) के रूप में ज्ञात एक सैद्धांतिक मॉडल पर ध्यान केंद्रित किया, जो यह बताता है कि जब इलेक्ट्रॉन एक-दूसरे को दृढ़ता से प्रतिकर्षित करते हैं, तो वे एक एक-आयामी तार में कैसे व्यवहार करते हैं। इस समस्या को सटीक गणितीय सटीकता के साथ हल करने के लिए, उन्होंने इस परस्पर क्रिया की शक्ति को एक विशिष्ट मान पर निर्धारित किया और एक एकल, स्थानीयकृत अशुद्धि (impurity)—बहते हुए इलेक्ट्रॉनों के मार्ग में एक सूक्ष्म बाधा—को पेश किया। इन परस्पर क्रिया करने वाले इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार को गैर-परस्पर क्रिया करने वाले कणों की एक सरल प्रणाली पर मैप करने के लिए उन्नत सैद्धांतिक तकनीकों का उपयोग करके, टीम ने सटीक रूप से गणना की कि विभिन्न स्थितियों में, जैसे कि बहुत कम तापमान से लेकर उच्च तापमान तक, और विभिन्न लागू वोल्टेज के तहत, थर्मोपावर कैसा व्यवहार करेगा।

शोधकर्ताओं ने पाया कि अशुद्धि की उपस्थिति ऊर्जा के लिए एक शक्तिशाली फिल्टर के रूप में कार्य करती है। जब इलेक्ट्रॉन इस बाधा का सामना करते हैं, तो प्रणाली इस बारे में अत्यधिक चयनात्मक हो जाती है कि कौन से इलेक्ट्रॉन गुजर सकते हैं। विशिष्ट ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों को रोक दिया जाता है, जबकि अन्य को बहने की अनुमति दी जाती है, जिससे उच्च ऊर्जा वाले और निम्न ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों के बीच एक तीव्र विषमता पैदा होती है। यह ऊर्जा छँटाई (energy filtering) थर्मोपावर का मुख्य चालक है। टीम ने पाया कि जैसे-जैसे तापमान परम शून्य से ऊपर बढ़ता है, थर्मोपावर केवल निरंतर नहीं बढ़ता है। इसके बजाय, यह एक विशिष्ट शिखर (peak) तक चढ़ता है और फिर फिर से गिरने लगता है। यह शिखर तब होता है जब इलेक्ट्रॉनों की तापीय ऊर्जा अशुद्धि के प्रभाव के विशिष्ट ऊर्जा पैमाने से मेल खाती है, जिससे प्रणाली विभिन्न ऊर्जा स्तरों के बीच सबसे प्रभावी ढंग से अंतर करने में सक्षम होती है।

एक विशेष रूप से उल्लेखनीय निष्कर्ष इस विद्युत वोल्टेज और 'एन्ट्रॉपी' (entropy) की अवधारणा के बीच संबंध था, जो किसी प्रणाली की अव्यवस्था या सूचना सामग्री को मापता है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि निम्न-तापमान सीमा में, थर्मोपावर प्रत्येक व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉन द्वारा ले जा जाने वाली एन्ट्रॉपी के सीधे आनुपातिक होता है। इस संबंध ने उन्हें एक मौलिक ऊष्मप्रवैगिकी नियम का उपयोग करके यह गणना करने की अनुमति दी कि प्रणाली की कुल अव्यवस्था कैसे बदलती है जब इलेक्ट्रॉनों का परिवहन किया जाता है। उन्होंने पाया कि इस परिवहन से जुड़ी एन्ट्रॉपी भिन्नता भी निम्न तापमान पर एक शिखर प्रदर्शित करती है, जो थर्मोपावर के व्यवहार को प्रतिबिंबित करती है। इसके अलावा, उन्होंने ऊष्मा क्षमता घनत्व (heat capacity density) की गणना की, जो एक माप है कि इन परिवहन किए गए आवेशों के कारण प्रणाली के तापमान को बदलने के लिए कितनी ऊर्जा की आवश्यकता होती है। इस मात्रा ने भी एक तीव्र शिखर दिखाया, जो इंगित करता है कि तापमान बढ़ने के साथ प्रणाली की ऊष्मप्रवैगिक अवस्था में तेजी से परिवर्तन होता है।

इस अध्ययन ने इन सामान्य निष्कर्षों को दो विशिष्ट भौतिक सेटअपों पर लागू किया जिन्हें एक ही गणितीय मॉडल द्वारा वर्णित किया जा सकता है। पहला एक क्वांटम पॉइंट कॉन्टैक्ट (quantum point contact) था, जो एक सामान्य धातु को फ्रैक्शनल क्वांटम हॉल प्रभाव में पाए जाने वाले एक विशेष पदार्थ की अवस्था से जोड़ने वाला एक संकीर्ण पुल है। दूसरा एक प्रतिरोधक वातावरण से जुड़ा एक एक-आयामी चालक था। दोनों मामलों में, परिणाम सुसंगत थे: अशुद्धि से होने वाला तीव्र प्रकीर्णन (scattering), जो समग्र विद्युत चालकता को कम करता है, थर्मोपावर को नाटकीय रूप से बढ़ाता है। यह एक ऐसा व्यापार-व्यवहार (trade-off) बनाता है जहाँ बिजली के प्रवाह को रोकना वास्तव में प्रणाली को ऊष्मा से वोल्टेज उत्पन्न करने में बेहतर बनाता है। शोधकर्ताओं ने देखा कि जबकि बहुत कम तापमान पर थर्मोपावर और एन्ट्रॉपी भिन्नता स्थिर और अनुमानित रहती है, तापमान बढ़ने के साथ वे अस्थिर हो जाती हैं और व्यवहार बदलने लगती हैं, और अंततः तापीय ऊर्जा विशिष्ट क्वांटम प्रभावों को अभिभूत कर देने पर सुचारू हो जाती है।

ये निष्कर्ष एक एकीकृत चित्र प्रदान करते हैं कि कैसे गैर-संतुलन क्वांटम परिवहन, एक-आयामी प्रणालियों में ऊष्मप्रवैगिकी से जुड़ा हुआ है। यह कार्य प्रदर्शित करता है कि वही क्वांटम परस्पर क्रियाएं जो बिजली के प्रवाह में बाधा डालती हैं, उन्हें मजबूत थर्मोइलेक्ट्रिक प्रतिक्रिया उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। यह समझकर कि कैसे एक एकल अशुद्धि ऊर्जा फिल्टर के रूप में कार्य कर सकती है, वैज्ञानिक आवेश के प्रवाह और एन्ट्रॉपी के प्रवाह के बीच मौलिक संबंध के बारे में अंतर्दृष्टि प्राप्त करते हैं। यह ज्ञान भविष्य के क्वांटम उपकरणों को डिजाइन करने के लिए मूल्यवान हो सकता है जो ऊष्मा और आवेश के सटीक नियंत्रण पर निर्भर करते हैं, जो संभवतः सबसे छोटे स्तरों पर ऊर्जा के प्रबंधन की दिशा में एक स्पष्ट मार्ग प्रदान करता है। यह अध्ययन पुष्टि करता है कि क्वांटम जगत में, प्रणाली में बाधाएं केवल पार की जाने वाली बाधाएं नहीं हैं, बल्कि वे आवश्यक विशेषताएं हैं जो ऊर्जा और सूचना के परिवहन को परिभाषित करती हैं।

तकनीकी सारांश: एक अंतःक्रियात्मक टोमोनागा-लुटिंगर लिक्विड के साथ अशुद्धि के थर्मोइलेक्ट्रिक और ऊष्मागतिक गुण ( $K=1/2$ )

समस्या विवरण
यह शोध पत्र एक अंतःक्रियात्मक एक-आयामी क्वांटम प्रणाली, विशेष रूप से एक अशुद्धि की उपस्थिति में एक टोमोनागा-लुटिंगर लिक्विड (TLL) के थर्मोइलेक्ट्रिक और ऊष्मागतिक गुणों की जांच करता है, जहाँ $K=1/2$ है। यह अध्ययन गैर-रेखीय शासन (nonlinear regime) में थर्मोपॉवर ( $Q$ ) और रेखीय-प्रतिक्रिया (linear-response) शासन में सीबेक गुणांक ( $S_{Seebeck}$ ) की गणना करने पर केंद्रित है। एक केंद्रीय लक्ष्य इन परिवहन गुणांकों और ऊष्मागतिक मात्राओं, विशेष रूप से प्रति कण एंट्रॉपी और ऊष्मा क्षमता घनत्व (heat capacity density) के बीच संबंध को 'केल्विन फॉर्मूला' का उपयोग करके तलाशना है। लेखक इन सटीक सैद्धांतिक परिणामों को दो विशिष्ट भौतिक प्रणालियों पर लागू करने का लक्ष्य रखते हैं जो इस TLL मॉडल पर मानचित्रित (map) होती हैं: एक फ्रैक्शनल क्वांटम हॉल (FQH) एज स्टेट्स के बीच क्वांटम पॉइंट कॉन्टैक्ट (QPC) और एक ओमिक वातावरण (Ohmic environment) से जुड़ा हुआ एक एक-चैनल क्वांटम कंडक्टर।

कार्यप्रणाली
लेखक इस प्रणाली को सटीक रूप से हल करने के लिए बोसोनाइजेशन (bosonization) और री-फर्मियनाइजेशन (refermionization) की तकनीकों का उपयोग करते हैं।

मॉडल: प्रणाली को एक मुक्त चिरल मोड (free chiral mode) और $x=0$ पर एक टनलिंग टर्म (tunneling term) वाले बोसोनाइज्ड हैमिल्टनियन घनत्व द्वारा वर्णित किया गया है। विशिष्ट मान $K=1/2$ अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि यह बोसोनिक क्षेत्रों को नए फर्मियॉनिक क्षेत्रों ( $\gamma_\pm$ ) में "री-फर्मियनाइज" करने की अनुमति देता है, जिससे हैमिल्टनियन बिना किसी विक्षोभ सिद्धांत (perturbation theory) के सटीक रूप से हल करने योग्य हो जाता है।
व्युत्पत्ति: चार्ज वाहकों के सटीक तरंग फलनों (wave functions) का उपयोग करते हुए, लेखक विद्युत धारा और विभेदक चालकता (differential conductance) के सटीक व्यंजक प्राप्त करते हैं। इनका उपयोग परिमित वोल्टेज ( $V$ ) और तापमान ( $T$ ) पर गैर-रेखीय शासन में थर्मोपॉवर $Q$ की गणना करने के लिए किया जाता है।
रेखीय प्रतिक्रिया: सीबेक गुणांक को $V \to 0$ के रैखिक-प्रतिक्रिया सीमा को लेकर प्राप्त किया जाता है।
ऊष्मागतिक संबंध: लेखक केल्विन फॉर्मूला का उपयोग करते हैं, जो सीबेक गुणांक को प्रति कण एंट्रॉपी ( $s = e S_{Seebeck}$ ) से जोड़ता है, ताकि एंट्रॉपी घनत्व परिवर्तन ( $\Delta S$ ) और परिवहन से जुड़ी ऊष्मा क्षमता घनत्व ( $C$ ) के व्यंजक प्राप्त किए जा सकें।
अनुप्रयोग: सामान्य परिणामों को दो विशिष्ट मैपिंग पर लागू किया जाता है:
1. एक QPC जो $\nu=1/3$ FQH एज स्टेट को $\nu=1$ सामान्य धातु से जोड़ता है।
2. एक विसरित (dissipative) ओमिक वातावरण से जुड़ा हुआ एक एक-चैनल सुसंगत चालक (OCC)।

प्रमुख योगदान और परिणाम

सटीक थर्मोपॉवर व्यंजक: शोध पत्र सभी वोल्टेज और तापमान शासनों के लिए मान्य थर्मोपॉवर $Q$ के सटीक विश्लेषणात्मक व्यंजक प्रदान करता है। निम्न-तापमान सीमा ( $k_B T \ll \hbar\omega$ ) में, थर्मोपॉवर एक मॉट-समान (Mott-like) संबंध का पालन करता है:
$Q \approx \frac{\pi^2 k_B^2 T}{3e} \frac{\partial \ln T(\mu)}{\partial \mu}$
जहाँ $T(\mu)$ एक ट्रांसमिशन गुणांक है। यह पुष्टि करता है कि $Q$ , रासायनिक क्षमता के आसपास ट्रांसमिशन की ऊर्जा निर्भरता द्वारा नियंत्रित होता है।
रेखीय प्रतिक्रिया और मॉट फॉर्मूला: रेखीय-प्रतिक्रिया शासन में, सीबेक गुणांक $S_{Seebeck}$ व्युत्पन्न किया गया है। निम्न तापमान पर, यह फर्मी ऊर्जा पर ट्रांसमिशन गुणांक के लघुगणकीय अवकलज (logarithmic derivative) पर निर्भर एक मॉट-समान सूत्र का भी अनुसरण करता है। लेखक नोट करते हैं कि $S_{Seebeck}$ आमतौर पर गैर-रेखीय थर्मोपॉवर $Q$ की तुलना में परिमाण में छोटा होता है क्योंकि $Q$ लागू वोल्टेज द्वारा परिभाषित एक व्यापक ऊर्जा विंडो के भीतर ट्रांसमिशन को एकीकृत करता है।
एंट्रॉपी और ऊष्मा क्षमता: निम्न तापमान पर प्रति कण एंट्रॉपी ( $s$ ) के साथ $S_{Seebeck}$ के घनिष्ठ संबंध को स्थापित करके, लेखक परिवहन से जुड़े आवेशों द्वारा एंट्रॉपी घनत्व परिवर्तन ( $\Delta S$ ) और ऊष्मा क्षमता घनत्व ( $C$ ) को व्युत्पन्न करते हैं।
- $\Delta S$ और $C$ दोनों निम्न-तापमान सीमा में मॉट-समान व्यवहार प्रदर्शित करते हैं।
- ऊष्मा क्षमता घनत्व $C$ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान प्रदर्शित कर सकता है। एक धनात्मक शिखर तब होता है जब निम्न तापमान पर एंट्रॉपी परिवर्तन $\Delta S$ सबसे तेजी से सक्रिय होता है, जिसे शोट्की पीक (Schottky peak) के रूप में व्याख्यायित किया जाता है। इसके विपरीत, एक ऋणात्मक $C$ इंगित करता है कि $\Delta S$ तापमान के साथ घट रहा है, जो तापमान बढ़ने के साथ परिवहन-संबंधी एंट्रॉपी योगदान की कमी को दर्शाता है।
- विश्लेषण से पता चलता है कि मजबूत बैकस्कैटरिंग (कम प्रभावी ट्रांसमिशन) परिवहन चैनल की ऊर्जा चयनात्मकता (energy selectivity) को बढ़ाता है, जिससे थर्मोपॉवर, एंट्रॉपी परिवर्तन और ऊष्मा क्षमता शिखर (धनात्मक और ऋणात्मक दोनों) का परिमाण बढ़ जाता है, भले ही विद्युत चालकता कम हो जाए।
प्रणाली-विशिष्ट व्यवहार:
- QPC प्रणाली: उच्च बैकस्कैटरिंग आयाम ( $\Gamma_B$ ) ट्रांसमिशन की मजबूत ऊर्जा निर्भरता की ओर ले जाता है, जिससे थर्मोपॉवर और एंट्रॉपी परिवर्तन बढ़ता है।
- OCC प्रणाली: कम प्रभावी ट्रांसमिशन ( $\tau$ ) मजबूत बैकस्कैटरिंग के अनुरूप है, जो इसी प्रकार थर्मोइलेक्ट्रिक प्रभावों को बढ़ाता है।
- तापमान शासन: निम्न तापमान पर, प्रणाली मजबूत मॉट-समान पावर-लॉ स्केलिंग प्रदर्शित करती है। उच्च तापमान पर, थर्मल ब्रोडनिंग (thermal broadening) ऊर्जा विषमता को धुंधला कर देती है, जिससे थर्मोपॉवर और संबंधित मात्राएँ कम हो जाती हैं।

महत्व और दावे
शोध पत्र यह प्रदर्शित करने का दावा करता है कि "अंतःक्रियात्मक एक-आयामी क्वांटम प्रणालियों में थर्मोइलेक्ट्रिक परिवहन और ऊष्मागतिक गुणों के बीच एक गहरा संबंध है।" विशेष रूप से, यह दिखाता है कि:

निम्न तापमान और निम्न फर्मी ऊर्जा पर रेखीय शासन में सीबेक गुणांक, प्रति कण एंट्रॉपी के सीधे आनुपातिक है।
यह आनुपातिकता एंट्रॉपी घनत्व परिवर्तन और ऊष्मा क्षमता योगदान को सीधे ऊष्मागतिक मापों (केल्विन फॉर्मूला के माध्यम से) से व्युत्पन्न करने की अनुमति देती है।
बैकस्कैटरिंग और थर्मोइलेक्ट्रिसिटी के बीच परस्पर क्रिया एक व्यापार-बंद (trade-off) को प्रकट करती है: जबकि मजबूत बैकस्कैटरिंग विद्युत चालकता को कम करती है, यह ऊर्जा फ़िल्टरिंग के कारण थर्मोपॉवर और स्थानीय ऊष्मागतिक हस्ताक्षरों (एंट्रॉपी और ऊष्मा क्षमता) को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाती है।
परिणाम एक एकीकृत सैद्धांतिक चित्र प्रदान करते हैं जो गैर-संतुलन क्वांटम परिवहन को मेसोस्कोपिक ऊष्मागतिकी से जोड़ता है, जो FQH QPCs और ओमिक-कपल्ड कंडक्टर्स जैसे क्वांटम उपकरणों में ऊर्जा-फ़िल्टरिंग तंत्रों को प्रोब करने के लिए एक ढांचा प्रदान करता है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि उनका कार्य यह समझने के लिए बहुमूल्य अंतर्दृष्टि प्रदान करता है कि कैसे अनेक-निकाय सहसंबंध (many-body correlations) और अशुद्धियाँ 1D क्वांटम प्रणालियों में थर्मोइलेक्ट्रिक दक्षता और ऊष्मागतिक अवस्था फलनों को प्रभावित करती हैं, बिना किसी नए प्रयोगात्मक सेटअप या भविष्य के अनुप्रयोगों का प्रस्ताव दिए जो स्पष्ट रूप से विश्लेषित प्रणालियों के परे हों।

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