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Interacting Tomonaga-Lüttinger liquid with impurity for interaction constant $K = 1/2$ : Thermopower investigation, entropy variation and heat capacity densities associated with thermoelectric particle transport

Cet article étudie les propriétés thermoélectriques et thermodynamiques d'un liquide de Tomonaga-Luttinger avec une constante d'interaction $K=1/2$ et une impureté localisée, en dérivant des expressions exactes pour le pouvoir thermoélectrique et en démontrant un lien étroit entre les coefficients de transport et les densités d'entropie ou de capacité thermique dans le régime de basse température.

Auteurs originaux : Abdellah Touati, Redoune Zamoum, Farhi Houssam Eddine

Publié 2026-09-11

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Abdellah Touati, Redoune Zamoum, Farhi Houssam Eddine

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Dans le monde microscopique de la physique quantique, l'électricité n'est pas seulement un flux de charge ; c'est aussi un flux de chaleur et d'information. Lorsque les scientifiques étudient comment les électrons se déplacent à travers de minuscules fils unidimensionnels, ils observent souvent une propriété appelée thermopouvoir. Il s'agit de la capacité d'un matériau à générer une tension simplement parce qu'une extrémité est plus chaude que l'autre. C'est une sonde sensible, révélant non seulement la facilité avec laquelle les électrons voyagent, mais aussi la manière dont leur énergie est distribuée et la façon dont ils interagissent entre eux. Dans de nombreux matériaux, ces interactions sont faibles, mais dans certains états quantiques exotiques, les électrons se comportent comme une foule étroitement liée, influençant le mouvement de chacun de manière complexe. Comprendre comment ce comportement collectif affecte le transport de la chaleur et de la charge est crucial pour développer de futures technologies capables de récolter la chaleur résiduelle ou de manipuler l'énergie à l'échelle nanométrique.

Une équipe de chercheurs a récemment exploré ce phénomène dans un système quantique spécifique et hautement contrôlé. Ils se sont concentrés sur un modèle théorique connu sous le nom de liquide de Tomonaga-Luttinger, qui décrit comment les électrons se comportent dans un fil unidimensionnel lorsqu'ils se repoussent fortement. Pour rendre le problème soluble avec une précision mathématique exacte, ils ont fixé la force de cette interaction à une valeur spécifique et ont introduit une impureté localisée unique — un minuscule obstacle sur le chemin des électrons en mouvement. En utilisant des techniques théoriques avancées pour cartographier le comportement de ces électrons en interaction sur un système plus simple de particules sans interaction, l'équipe a calculé exactement comment le thermopouvoir se comporterait sous différentes conditions, des températures très basses aux températures plus élevées, et sous diverses tensions appliquées.

Les chercheurs ont découvert que la présence de l'impureté agit comme un filtre énergétique puissant. Lorsque les électrons rencontrent cet obstacle, le système devient hautement sélectif quant aux électrons pouvant passer. Les électrons ayant des énergies spécifiques sont bloqués, tandis que d'autres sont autorisés à circuler, créant une asymétrie marquée entre ceux possédant une énergie plus élevée et ceux possédant une énergie plus faible. Ce filtrage d'énergie est le moteur clé du thermopouvoir. L'équipe a constaté qu'à mesure que la température augmente depuis le zéro absolu, le thermopouvoir n'augmente pas simplement de manière constante. Au lieu de cela, il grimpe jusqu'à un pic distinct avant de redescendre. Ce pic survient lorsque l'énergie thermique des électrons correspond à l'échelle d'énergie spécifique de l'effet de l'impureté, permettant au système de distinguer le plus efficacement les différents niveaux d'énergie.

Une découverte particulièrement frappante était la relation entre cette tension électrique et le concept d'entropie, qui mesure le désordre ou le contenu informationnel d'un système. Les chercheurs ont montré que, dans la limite des basses températures, le thermopouvoir est directement proportionnel à l'entropie transportée par chaque électron individuel. Cette connexion leur a permis d'utiliser une règle thermodynamique fondamentale pour calculer comment le désordre total du système change lors du transport des électrons. Ils ont découvert que la variation d'entropie associée à ce transport présente également un pic à basse température, reflétant le comportement du thermopouvoir. De plus, ils ont calculé la densité de capacité thermique, une mesure de la quantité d'énergie nécessaire pour changer la température du système en raison de ces charges transportées. Cette quantité a également montré un pic aigu, indiquant un changement rapide de l'état thermodynamique du système à mesure que la température augmentait.

L'étude a appliqué ces conclusions générales à deux configurations physiques spécifiques pouvant être décrites par le même modèle mathématique. La première était un contact ponctuel quantique, un pont étroit reliant un métal normal à un état spécial de la matière présent dans l'effet Hall quantique fractionnaire. Le second était un conducteur unidimensionnel couplé à un environnement résistif. Dans les deux cas, les résultats étaient cohérents : la diffusion intense de l'impureté, qui réduit la conductance électrique globale, augmente considérablement le thermopouvoir. Cela crée un compromis où le fait de bloquer le flux d'électricité rend en réalité le système plus efficace pour générer une tension à partir de la chaleur. Les chercheurs ont observé que si le thermopouvoir et la variation d'entropie restent stables et prévisibles à de très basses températures, ils deviennent instables et changent de comportement à mesure que la température augmente, finissant par s'atténuer lorsque l'énergie thermique submerge les effets quantiques spécifiques de l'impureté.

Ces découvertes fournissent une image unifiée de la manière dont le transport quantique hors équilibre est lié à la thermodynamique dans les systèmes unidimensionnels. Ce travail démontre que les mêmes interactions quantiques qui entravent le flux d'électricité peuvent être exploitées pour créer de fortes réponses thermoélectriques. En comprenant comment une seule impureté peut agir comme un filtre énergétique, les scientifiques acquièrent un aperçu du lien fondamental entre le mouvement de la charge et le flux d'entropie. Cette connaissance pourrait être précieuse pour la conception de futurs dispositifs quantiques reposant sur un contrôle précis de la chaleur et de la charge, offrant une voie plus claire vers la manipulation de l'énergie aux échelles les plus petites possibles. L'étude confirme que dans le domaine quantique, les obstacles d'un système ne sont pas seulement des barrières à surmonter, mais des caractéristiques essentielles qui définissent la manière dont l'énergie et l'information sont transportées.

Résumé technique : Propriétés thermoélectriques et thermodynamiques d'un liquide de Tomonaga-Luttinger interagissant avec une impureté ( $K=1/2$ )

Énoncé du problème
L'article étudie les propriétés thermoélectriques et thermodynamiques d'un système quantique unidimensionnel interagissant, plus précisément un liquide de Tomonaga-Luttinger (TLL) avec un paramètre d'interaction $K=1/2$ en présence d'une impureté localisée. L'étude se concentre sur le calcul du pouvoir thermoélectrique ( $Q$ ) dans le régime non linéaire et du coefficient Seebeck ( $S_{Seebeck}$ ) dans le régime de réponse linéaire. Un objectif central est d'explorer la connexion entre ces coefficients de transport et les grandeurs thermodynamiques, spécifiquement l'entropie par particule et la densité de capacité thermique, en utilisant la formule de Kelvin. Les auteurs visent à appliquer ces résultats théoriques exacts à deux systèmes physiques spécifiques qui se mappent sur ce modèle TLL : un contact ponctuel quantique (QPC) entre des états limites de l'effet Hall quantique fractionnaire (FQH) et un conducteur quantique à un canal couplé à un environnement ohmique.

Méthodologie
Les auteurs emploient les techniques de bosonisation et de refermionisation pour résoudre le système exactement.

Modèle : Le système est décrit par une densité d'Hamiltonien bosonisée contenant un mode chiral libre et un terme de tunnel représentant l'impureté à $x=0$ . La valeur spécifique $K=1/2$ est cruciale car elle permet aux champs bosoniques d'être « refermionisés » en de nouveaux champs fermioniques ( $\gamma_\pm$ ), rendant l'Hamiltonien exactement soluble sans recours à la théorie des perturbations.
Dérivation : En utilisant les fonctions d'onde exactes des porteurs de charge, les auteurs dérivent des expressions exactes pour le courant électrique et la conductance différentielle. Celles-ci sont ensuite utilisées pour calculer le pouvoir thermoélectrique $Q$ dans le régime non linéaire (tension $V$ et température $T$ finies).
Réponse linéaire : Le coefficient Seebeck est dérivé en prenant la limite de la réponse linéaire ( $V \to 0$ ) du pouvoir thermoélectrique.
Connexion thermodynamique : Les auteurs utilisent la formule de Kelvin, qui relie le coefficient Seebeck à l'entropie par particule ( $s = e S_{Seebeck}$ ), pour dériver des expressions pour la variation de la densité d'entropie ( $\Delta S$ ) et la densité de capacité thermique ( $C$ ) associées au transport thermoélectrique de particules.
Applications : Les résultats généraux sont appliqués à deux mappages spécifiques :
1. Un QPC connectant un état limite FQH de $\nu=1/3$ à un métal normal de $\nu=1$ .
2. Un conducteur cohérent à un canal (OCC) couplé à un environnement ohmique dissipatif.

Contributions clés et résultats

Expressions exactes du pouvoir thermoélectrique : L'article fournit des expressions analytiques exactes pour le pouvoir thermoélectrique $Q$ , valables pour tous les régimes de tension et de température. Dans la limite de basse température ( $k_B T \ll \hbar\omega$ ), le pouvoir thermoélectrique suit une relation de type Mott :
$Q \approx \frac{\pi^2 k_B^2 T}{3e} \frac{\partial \ln T(\mu)}{\partial \mu}$
où $T(\mu)$ est le coefficient de transmission. Cela confirme que $Q$ est régi par la dépendance énergétique de la transmission autour du potentiel chimique.
Réponse linéaire et formule de Mott : Dans le régime de réponse linéaire, le coefficient Seebeck $S_{Seebeck}$ est dérivé. À basse température, il suit également une formule de type Mott dépendant de la dérivée logarithmique du coefficient de transmission à l'énergie de Fermi. Les auteurs notent que $S_{Seebeck}$ est généralement de plus faible magnitude que le pouvoir thermoélectrique non linéaire $Q$ car $Q$ intègre la transmission sur une fenêtre d'énergie plus large définie par la tension appliquée.
Entropie et capacité thermique : En établissant la relation étroite entre $S_{Seebeck}$ et l'entropie par particule ( $s$ ) à basses températures, les auteurs dérivent la variation de la densité d'entropie ( $\Delta S$ ) et la densité de capacité thermique ( $C$ ) contribuées par les charges transportées.
- $\Delta S$ et $C$ présentent tous deux un comportement de type Mott à basse température.
- La capacité thermique $C$ peut présenter des valeurs positives et négatives. Un pic positif se produit lorsque la variation d'entropie $\Delta S$ est activée le plus rapidement à basses températures, interprété comme un pic de Schottky. Inversement, une valeur négative de $C$ indique que $\Delta S$ diminue avec la température, caractérisant une déplétion de la contribution d'entropie liée au transport à mesure que la température augmente.
- L'analyse révèle que la rétrodiffusion forte (faible transmission effective) accentue la sélectivité énergétique du canal de transport, augmentant ainsi le pouvoir thermoélectrique, la variation d'entropie et l'amplitude des pics de capacité thermique (positifs et négatifs), malgré la suppression de la conductance électrique.
Comportements spécifiques aux systèmes :
- Système QPC : Une amplitude de rétrodiffusion plus élevée ( $\Gamma_B$ ) conduit à une dépendance énergétique de la transmission plus forte, accentuant le pouvoir thermoélectrique et la variation d'entropie.
- Système OCC : Une transmission effective plus faible ( $\tau$ ) correspond à une rétrodiffusion plus forte, accentuant de la même manière les effets thermoélectriques.
- Régimes de température : À basse température, le système présente une mise à l'échelle robuste de type loi de puissance de Mott. À haute température, l'élargissement thermique lisse l'asymétrie d'énergie, provoquant une diminution du pouvoir thermoélectrique et des grandeurs associées.

Signification et affirmations
L'article affirme démontrer une « relation étroite entre le transport thermoélectrique et les propriétés thermodynamiques dans les systèmes quantiques unidimensionnels interagissants ». Plus précisément, il montre que :

Le coefficient Seebeck dans le régime linéaire est directement proportionnel à l'entropie par particule à basses températures et basses énergies de Fermi.
Cette proportionnalité permet la dérivation des variations de densité d'entropie et des contributions de capacité thermique directement à partir de mesures de transport (via la formule de Kelvin).
L'interaction entre la rétrodiffusion et la thermoélectricité révèle un compromis : si la rétrodiffusion forte réduit la conductance électrique, elle accentue considérablement le pouvoir thermoélectrique et les signatures thermodynamiques locales (entropie et capacité thermique) en raison de l'augmentation du filtrage énergétique.
Les résultats fournissent une image théorique unifiée reliant le transport quantique hors équilibre à la thermodynamique mésoscopique, offrant un cadre pour sonder les mécanismes de filtrage d'énergie dans les dispositifs quantiques tels que les QPC FQH et les conducteurs couplés à un environnement ohmique.

Les auteurs concluent que leurs travaux offrent des perspectives précieuses pour comprendre comment les corrélations de nombreux corps et les impuretés influencent l'efficacité thermoélectrique et les fonctions d'état thermodynamiques dans les systèmes quantiques 1D, sans proposer de nouvelles configurations expérimentales ou d'applications futures au-delà des systèmes explicitement analysés.

Résumé technique : Propriétés thermoélectriques et thermodynamiques d'un liquide de Tomonaga-Luttinger interagissant avec une impureté (K=1/2K=1/2K=1/2)

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