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Matter density perturbations in Quadratic Gravity

यह शोध पत्र पूर्ण द्विघातीय गुरुत्वाकर्षण (full quadratic gravity) में रैखिक पदार्थ-घनत्व विक्षोभों (linear matter-density perturbations) की जांच करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि जबकि यह सिद्धांत प्रभावी गुरुत्वाकर्षण युग्मन (effective gravitational coupling) में ध्रुवों (poles) की उपस्थिति के कारण सामान्यतः मानक ब्रह्मांड संबंधी विकास को पुनरुत्पादित करने में विफल रहता है, यह विशिष्ट ध्रुव-मुक्त क्षेत्रों में नियमित पदार्थ वृद्धि का समर्थन कर सकता है जहाँ इसका व्यवहार $f(R)$ सिद्धांतों के समान निकटता से मेल खाता है।

मूल लेखक: Pedro Bessa

प्रकाशित 2026-09-25✓ Author reviewed ⓘ

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Pedro Bessa

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द दशकों से, हमारे ब्रह्मांड की कहानी एक लापता टुकड़े के साथ सुनाई जा रही है। हम जानते हैं कि ब्रह्मांड का विस्तार हो रहा है, और हम जानते हैं कि यह विस्तार तेज हो रहा है, लेकिन मानक स्पष्टीकरण के लिए इसे चलाने के लिए 'डार्क एनर्जी' नामक एक रहस्यमय, अदृश्य बल की आवश्यकता होती है। यह बल, हालांकि गणितीय रूप से सुविधाजनक है, कभी भी प्रत्यक्ष रूप से नहीं पाया गया है। इस कमी के कारण, कई वैज्ञानिकों ने अपना ध्यान स्वयं गुरुत्वाकर्षण के नियमों की ओर केंद्रित किया है। शायद गुरुत्वाकर्षण बड़े पैमाने पर ब्रह्मांड को देखते समय बिल्कुल वैसा व्यवहार नहीं करता जैसा अल्बर्ट आइंस्टीन ने एक सदी पहले वर्णित किया था। ब्रह्मांड के नुस्खे में एक नया, अनदेखा घटक जोड़ने के बजाय, ये शोधकर्ता पूछते हैं कि क्या उस नुस्खे को ही एक नए अध्याय की आवश्यकता है। इस पुनर्लेखन के लिए एक आशाजनक उम्मीदवार 'क्वाड्रेटिक ग्रेविटी' (quadratic gravity) नामक सिद्धांत है, जो यह सुझाव देता है कि जब स्पेस-टाइम की वक्रता (curvature) चरम पर होती है, तो गुरुत्वाकर्षण के नियम थोड़े बदल जाते हैं, जिससे उन समीकरणों में अतिरिक्त पद जुड़ जाते हैं जो ब्रह्मांड के विकास को नियंत्रित करते हैं।

इस नई जांच का मुख्य प्रश्न यह है कि क्या ये संशोधित नियम आज दिखाई देने वाली संरचनाओं, जैसे कि आकाशगंगाओं और आकाशगंगा समूहों के निर्माण की व्याख्या कर सकते हैं। मानक दृष्टिकोण में, प्रारंभिक ब्रह्मांड में पदार्थ के घनत्व की सूक्ष्म लहरें अरबों वर्षों में विकसित हुईं, जिन्हें गुरुत्वाकर्षण ने एक साथ खींचा, जिससे कॉस्मिक वेब (cosmic web) का निर्माण हुआ। यदि गुरुत्वाकर्षण के नियम अलग हैं, तो इन लहरों के बढ़ने का तरीका भी अलग होना चाहिए। ब्राजील के एक शोधकर्ता ने इसी विशिष्ट विचार का परीक्षण करने का निर्णय लिया। उन्होंने क्वाड्रेटिक ग्रेविटी के एक ऐसे संस्करण पर ध्यान केंद्रित किया जिसमें ब्रह्मांड की वक्रता के वर्ग से जुड़े सभी संभावित गणितीय पद शामिल हैं। उनका लक्ष्य यह देखना था कि क्या यह सिद्धांत पदार्थ को इस तरह से इकट्ठा होने की अनुमति दे सकता है जैसा कि हम देखते हैं, या क्या नए नियम ब्रह्मांड को असंभव तरीकों से व्यवहार करने के लिए मजबूर करेंगे।

ऐसा करने के लिए, शोधकर्ता ने इस संशोधित ब्रह्मांड में पदार्थ के छोटे पैच (patches) समय के साथ कैसे विकसित होते हैं, इसका एक विस्तृत गणितीय मॉडल बनाया। उन्होंने पूरे ब्रह्मांड को नहीं देखा, बल्कि उन विशिष्ट क्षेत्रों पर ध्यान केंद्रित किया जहाँ पदार्थ इतना घना है कि आकाशगंगाएँ बन सकें। उन्होंने मानकीकृत सरलीकृत धारणाओं का एक सेट लागू किया जो भौतिकविदों को इन क्षेत्रों को ब्रह्मांड के तीव्र विस्तार से अलग मानकर उपचार करने की अनुमति देता है, और इसके बजाय इस बात पर ध्यान केंद्रित करता है कि गुरुत्वाकर्षण स्थानीय स्तर पर पदार्थ को कैसे खींचता है। इन अंतःक्रियाओं का वर्णन करने वाले जटिल समीकरणों को हल करके, उन्होंने इन क्षेत्रों के भीतर गुरुत्वाकर्षण की शक्ति के लिए एक नया सूत्र प्राप्त किया। यह शक्ति एक स्थिर संख्या नहीं है; उनके सिद्धांत में, यह अध्ययन किए जा रहे क्षेत्र के आकार और क्वाड्रेटिक पदों द्वारा पेश किए गए नए मापदंडों (parameters) के विशिष्ट मूल्यों पर निर्भर करती है।

परिणामों ने संभावनाओं का एक ऐसा परिदृश्य प्रकट किया जो मानक मॉडल की तुलना में बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक है। शोधकर्ता ने पाया कि सिद्धांत के काम करने के लिए, नए मापदंडों को एक बहुत ही संकीर्ण सीमा के भीतर होना चाहिए। यदि मापदंडों को इस सुरक्षित क्षेत्र के बाहर चुना जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण का गणितीय विवरण 'पोल' (poles) विकसित कर लेता है। सरल शब्दों में, 'पोल' एक ऐसा बिंदु है जहाँ गुरुत्वाकर्षण की शक्ति अनंत तक बढ़ जाती है या अपना चिह्न बदल लेती है, जिससे ब्रह्मांड अराजक व्यवहार करेगा और आकाशगंगाओं के सुचारू, निरंतर विकास को रोक देगा। अध्ययन ने दिखाया कि कई परिदृश्यों में, ये पोल उन पैमानों पर दिखाई देते हैं जो ब्रह्मांडिक संरचनाओं के निर्माण के लिए प्रासंगिक हैं, जो प्रभावी रूप से इस सिद्धांत को हमारे ब्रह्मांड के इतिहास का वर्णन करने से रोकते हैं।

हालाँकि, शोध पत्र ने एक विशिष्ट क्षेत्र की भी पहचान की जहाँ यह सिद्धांत जीवित रहता है। जब एक पद के लिए नए मापदंडों को धनात्मक या शून्य और दूसरे के लिए ऋणात्मक या शून्य रखा जाता है, तो खतरनाक पोल गायब हो जाते हैं। इस सुरक्षित क्षेत्र में, यह सिद्धांत 'f(R) ग्रेविटी' नामक एक प्रसिद्ध विकल्प के समान व्यवहार करता है, जिसका पहले से ही व्यापक अध्ययन किया जा चुका है। इस शासन (regime) में, पदार्थ के विक्षोभ (perturbations) का विकास मानक कॉस्मोलॉजिकल मॉडल के बहुत करीब है। शोधकर्ता ने इसकी पुष्टि करने के लिए संख्यात्मक सिमुलेशन (numerical simulations) चलाए जिन्होंने प्रारंभिक ब्रह्मांड से लेकर वर्तमान समय तक पदार्थ के विकास को ट्रैक किया। इन सिमुलेशनों ने दिखाया कि जब तक सिद्धांत सुरक्षित पैरामीटर रेंज के भीतर रहता है, पदार्थ निरंतर बढ़ता है, और उन संरचनाओं का निर्माण करता है जिन्हें हम आज देखते हैं, बिना उन गणितीय सिंगुलैरिटी (singularities) के सामना किए जो अन्य विन्यासों में समस्या पैदा करती हैं।

अध्ययन ने उन बहुत छोटे पैमानों पर भी गुरुत्वाकर्षण के व्यवहार को देखा, जो आकाशगंगाओं के बनने वाले क्षेत्रों के भीतर गहराई में स्थित हैं। यहाँ, सिद्धांत एक नाटकीय बदलाव की भविष्यवाणी करता है। मानक गुरुत्वाकर्षण के विपरीत, जो मजबूत और सुसंगत रहता है, यह क्वाड्रेटिक सिद्धांत इन सूक्ष्म पैमानों पर प्रभावी गुरुत्वाकर्षण खिंचाव को समाप्त कर देता है। इसका अर्थ है कि सबसे छोटे स्तरों पर, पदार्थ का विकास अब सामान्य गुरुत्वाकर्षण आकर्षण द्वारा संचालित नहीं होता है, बल्कि यह पूरी तरह से ब्रह्मांड के समग्र विस्तार दर द्वारा निर्धारित होता है। यह अन्य संशोधित गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों से एक स्पष्ट विचलन है, जो अक्सर छोटे पैमानों पर एक अलग प्रकार का व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। शोधकर्ता ने नोट किया कि छोटे पैमाने पर गुरुत्वाकर्षण का यह लुप्त होना उन क्वाड्रेटिक पदों का एक अनूठा हस्ताक्षर (fingerprint) है जिन्हें उन्होंने शामिल किया था।

अंततः, यह कार्य मानक मॉडल के विकल्प के रूप में क्वाड्रेटिक ग्रेविटी के लिए एक कठोर 'स्ट्रेस टेस्ट' के रूप में कार्य करता है। निष्कर्ष बताते हैं कि हालांकि यह सिद्धांत गणितीय रूप से समृद्ध है और ब्रह्मांड का वर्णन करने में सक्षम है, लेकिन यह एक सार्वभौमिक समाधान नहीं है। क्वाड्रेटिक पदों द्वारा पेश किए गए अतिरिक्त स्वतंत्रता के स्तर (degrees of freedom) एक नाजुक संरचना बनाते हैं जहाँ केवल मापदंडों का एक विशिष्ट संयोजन ही एक स्थिर, बढ़ते हुए ब्रह्मांड की अनुमति देता है। जहाँ यह विफल होता है, वहाँ सिद्धांत पदार्थ के सुचारू विकास के टूटने की भविष्यवाणी करता है, जो हमारे अवलोकन के विपरीत है। शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि हालांकि क्वाड्रेटिक ग्रेविटी प्रारंभिक ब्रह्मांड या गुरुत्वाकर्षण की क्वांटम प्रकृति का वर्णन करने के लिए एक व्यवहार्य उम्मीदवार बनी हुई है, लेकिन ब्रह्मांड के देर से होने वाले विकास (late-time evolution) को समझाने की इसकी क्षमता इन नए प्रतिबंधों के कारण गंभीर रूप से सीमित है। सिद्धांत मानक मॉडल की नकल कर सकता है, लेकिन केवल तभी जब इसे सावधानीपूर्वक ट्यून किया जाए ताकि उन गणितीय ढलानों (cliffs) से बचा जा सके जो अन्यथा ब्रह्मांडीय संरचना को नष्ट कर सकती हैं।

तकनीकी सारांश: क्वाड्रेटिक ग्रेविटी में पदार्थ घनत्व विक्षोभ (Matter Density Perturbations)

समस्या विवरण
यद्यपि क्वाड्रेटिक ग्रेविटी (QG) सामान्य सापेक्षता (GR) के लिए एक पुनर्रचना योग्य (renormalizable) पराबैंगनी पूर्णता (ultraviolet completion) प्रदान करती है और प्रारंभिक ब्रह्मांड के मुद्रास्फीति (जैसे कि स्टारोबिंस्की इन्फ्लेशन) के लिए व्यापक रूप से अध्ययन की गई है, लेकिन देर के समय में इसके व्यवहार—विशेष रूप से पदार्थ-प्रधान ब्रह्मांड में रैखिक पदार्थ-घनत्व विक्षोभों के विकास के संबंध में—के बारे में समझ कम है। वक्रता-वर्ग पदों ( $R^2$ और $W^2$ ) को शामिल करने से चतुर्थ-क्रम के गति समीकरण (fourth-order equations of motion) उत्पन्न होते हैं, जो ओस्ट्रोग्राडस्की प्रमेय (Ostrogradsky's theorem) के अनुसार, घोस्ट मोड (ghost modes) या अंतर्निहित अस्थिरताओं का संकेत देते हैं। जबकि QG में बैकग्राउंड FLRW कॉस्मोलॉजी स्थिर है (बैकग्राउंड स्तर पर यह एक स्केलर-टेन्सर सिद्धांत के समान है), विक्षोभ समाधानों की स्थिरता और मानक ब्रह्मांडीय संरचना निर्माण को दोहराने की इस सिद्धांत की क्षमता खुले प्रश्न हैं। यह कार्य पूर्ण क्वाड्रेटिक ग्रेविटी में पदार्थ-घनत्व विक्षोभों के विकास की जांच करता है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि क्या यह सिद्धांत प्रेक्षणों के अनुरूप नियमित, पोल-मुक्त (pole-free) कॉस्मोलॉजिकल विकास का समर्थन कर सकता है।

कार्यप्रणाली
लेखक पूर्ण क्वाड्रेटिक ग्रेविटी के ढांचे के भीतर एक समतल FLRW मेट्रिक के रैखिक विक्षोभों का विश्लेषण करता है, जिसे क्रिया $S = \frac{1}{2\kappa} \int d^4x \sqrt{-g} (R + \alpha R^2 + \beta W^2) + S_m$ द्वारा परिभाषित किया गया है। विश्लेषण लॉन्गिट्यूडिनल गेज (longitudinal gauge) में स्कलर मोड पर केंद्रित है, जो बार्डन पोटेंशियल (Bardeen potentials) $\Phi$ और $\Psi$ द्वारा अभिलक्षित हैं।

विकास समीकरणों को प्राप्त करने के लिए, लेखक दो मानक सन्निकटन (approximations) का उपयोग करता है:

सब-होरिज़न सन्निकटन (Sub-Horizon Approximation - SHA): हबल क्षितिज के भीतर के मोड ( $k^2/a^2 H^2 \gg 1$ ) पर ध्यान केंद्रित करना।
क्वासी-स्टैटिक सन्निकटन (Quasi-Static Approximation - QSA): यह मान लेना कि स्थानिक परिवर्तन (spatial variations) उनके समय परिवर्तनों (time variations) पर हावी हैं ( $\nabla_i X \gg \nabla_0 X$ )।

व्युत्पत्ति में शामिल हैं:

प्रथम क्रम में क्षेत्र समीकरणों (field equations) को विक्षेपित करना।
समीकरणों को फूरियर स्पेस (Fourier space) में रूपांतरित करना।
पोटेंशियल $\Phi$ और $\Psi$ के लिए बीजगणितीय प्रणाली को हल करना ताकि पोटेंशियल और पदार्थ घनत्व कंट्रास्ट $\delta$ के बीच संबंध स्थापित किया जा सके।
पदार्थ घनत्व विक्षोभ $\delta$ के लिए एक बंद द्वितीय-क्रम के अवकल समीकरण (second-order differential equation) को व्युत्पन्न करना।
एक प्रभावी गुरुत्वाकर्षण युग्मन (effective gravitational coupling), $G_{\text{eff}}$ , को परिभाषित करना और युग्लकों $\alpha, \beta$ और भौतिक वेवनंबर $k/a$ के फलन के रूप में इसकी पोल संरचना (pole structure) का विश्लेषण करना।
पहले मिले पोल तक बढ़ते मोड (growing mode) के समाधानों का संख्यात्मक एकीकरण (numerical integration) करना।

प्रमुख योगदान और परिणाम

प्रभावी गुरुत्वाकर्षण युग्मन (Effective Gravitational Coupling): लेखक प्रभावी गुरुत्वाकर्षण युग्मन $G_{\text{eff}}(k, a)$ के लिए एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति व्युत्पन्न करता है। यह युग्मन क्वाड्रेटिक पदों द्वारा पेश किए गए पॉइसन समीकरण (Poisson equation) में संशोधन को समाहित करता है।
पोल संरचना और स्थिरता: विश्लेषण पहचानता है कि $G_{\text{eff}}$ $G_{eff}$ में पोल (विलक्षणताएं/singularities) होते हैं जहाँ इसका हर (denominator) शून्य हो जाता है। इन पोल्स का अस्तित्व और स्थान युग्लकों $\alpha$ $α$ और $\beta$ $β$ के संकेतों और परिमाणों पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है:
- पोल-मुक्त क्षेत्र (Pole-Free Regime): जब $\alpha \geq 0$ और $\beta \leq 0$ हो, तो प्रभावी युग्मन धनात्मक वास्तविक वेवनंबरों ( $k/a > 0$ ) के लिए पोल से मुक्त होता है। इस क्षेत्र में, सिद्धांत नियमित, निरंतर पदार्थ-वृद्धि समाधानों का समर्थन करता है।
- पोल-अवरुद्ध क्षेत्र (Pole-Obstructed Regime): अन्य पैरामीटर संयोजनों (जैसे $\beta > 0$ ) के लिए, $k/a \sim 1$ पर पोल दिखाई देते हैं। ये पोल निरंतर देर के समय के विकास को बाधित करते हैं, जिससे सिद्धांत पदार्थ-प्रधान युग से वर्तमान समय तक मानक कॉस्मोलॉजिकल व्यवहार को दोहराने में विफल रहता है।
अनंत सीमाएं (Asymptotic Limits):
- इन्फ्रारेड सीमा ( $k/a \to 0$ ): सिद्धांत मानक GR व्यवहार को पुनः प्राप्त करता है, जहाँ $G_{\text{eff}} \to G$ होता है। यह सुपर-होरिज़न सीमा में विक्षेपी धारणाओं को मान्य करता है।
- पराबैंगनी सीमा ( $k/a \to \infty$ ): गहरे सब-होरिज़न सीमा में, यदि $\alpha$ और $\beta$ दोनों गैर-शून्य हैं, तो $G_{\text{eff}}$ शून्य हो जाता है। फलस्वरूप, विक्षोभों का विकास केवल बैकग्राउंड विस्तार दर $H(t)$ द्वारा निर्धारित होता है, न कि गुरुत्वाकर्षण क्लस्टरिंग द्वारा। यह व्यवहार $f(R)$ सिद्धांतों से मौलिक रूप से भिन्न है (जो इस सीमा में $\omega=0$ के साथ ब्रैंड्स-डिक (Brans-Dicke) गुरुत्वाकर्षण में बदल जाते हैं) क्योंकि पूर्ण QG में अतिरिक्त विशाल स्पिन-2 डिग्री ऑफ फ्रीडम की उपस्थिति है।
संख्यात्मक एकीकरण: बढ़ते मोड $\delta_m$ के संख्यात्मक समाधान पुष्टि करते हैं कि पोल-मुक्त क्षेत्रों में, समाधान नियमित होते हैं और $f(R)$ सिद्धांतों के व्यवहार से काफी मिलते-जुलते हैं। हालांकि, पोल्स वाले क्षेत्रों में, एकीकरण विलक्षणता (singularity) पर समाप्त हो जाता है, जो रैखिक विकास के टूटने का संकेत देता है।

महत्व और निष्कर्ष
यह शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि क्वाड्रेटिक ग्रेविटी सामान्यतः ब्रह्मांड में देखे गए पदार्थ के विक्षोभों के मानक कॉस्मोलॉजिकल विकास को पुनः उत्पन्न नहीं कर सकती है। प्रभावी गुरुत्वाकर्षण युग्मन में नए पोल्स का समावेश विस्तारित ब्रह्मांड में रैखिक विक्षोभों का वर्णन करने में एक महत्वपूर्ण बाधा के रूप में कार्य करता है।

लेखक का तर्क है कि:

सीमित व्यवहार्यता (Limited Viability): QG केवल पैरामीटर स्पेस के विशिष्ट क्षेत्रों ( $\alpha \geq 0, \beta \leq 0$ ) और छोटे वेवनंबरों में मानक देर के समय के कॉस्मोलॉजिकल विकास को पुनः प्राप्त कर सकती है।
$f(R)$ के साथ समानता: व्यवहार्य क्षेत्रों में, QG में विक्षोभों का व्यवहार $f(R)$ सिद्धांतों के समान होता है।
अस्थिरताओं की प्रकृति: $k/a \sim 1$ के पास देखे गए पोल स्वयं सिद्धांत की अंतर्निहित अस्थिरता के बजाय सब-होरिज़न और क्वासी-स्टैटिक सन्निकटन के टूटने का संकेत दे सकते हैं, जो यह सुझाव देता है कि इन श्रेणियों में सिद्धांत के व्यवहार को पूरी तरह से समझने के लिए पूर्ण गैर-रैखिक विश्लेषण की आवश्यकता है।

अंततः, यह अध्ययन इस बात पर प्रकाश डालता है कि क्वाड्रेटिक ग्रेविटी में निहित अतिरिक्त डिग्री ऑफ फ्रीडम (विशेष रूप से विशाल स्पिन-2 मोड) सभी पैमानों पर रैखिक विक्षोभों को लगातार वर्णित करने की क्षमता में बाधा डालती है, जो इसे $R + \alpha R^2$ जैसे सरल संशोधित गुरुत्वाकर्षण मॉडलों से अलग करती है।

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