Fourier Symmetrization for Geometric Quantum Machine Learning

आधुनिक विज्ञान के विशाल परिदृश्य में, शोधकर्ता तेजी से उन मशीनों की ओर मुड़ रहे हैं जो डेटा से सीखकर उन समस्याओं को हल कर सकती हैं जो कभी मानवीय अंतर्ज्ञान का अनन्य क्षेत्र हुआ करती थीं। इस क्षेत्र में सबसे आशाजनक उपकरणों में से एक क्वांटम कंप्यूटर हैं, जो उप-परमाणु दुनिया के विचित्र नियमों का उपयोग करके सूचनाओं को उन तरीकों से संसाधित करते हैं जो शास्त्रीय मशीनें नहीं कर सकतीं। इस क्षेत्र की एक विशिष्ट शाखा, जिसे ज्यामितीय क्वांटम मशीन लर्निंग (geometric quantum machine learning) कहा जाता है, इन क्वांटम प्रणालियों को भौतिक दुनिया की प्राकृतिक समरूपताओं (symmetries) को पहचानने और उनका सम्मान करने के लिए प्रशिक्षित करने का प्रयास करती है। जिस तरह एक स्नोफ्लेक (हिमपात का कण) घूमने के बाद भी एक जैसा ही दिखता है या एक अणु इस बात की परवाह किए बिना सुसंगत व्यवहार करता है कि उसे कैसे पलटा गया है, कई वैज्ञानिक समस्याओं में अपरिवर्तनीयता (invariance) के छिपे हुए पैटर्न होते हैं। चुनौती यह समझना रही है कि ऐसे क्वांटम मॉडल कैसे बनाए जाएं जो स्वाभाविक रूप से इन पैटर्नों का पालन करें, बिना इतने जटिल हुए कि उन्हें प्रशिक्षित करना या नियंत्रित करना असंभव हो जाए।

फ्रांस के सेंट्रेल सुपलेक (CentraleSupélec) के शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब इस क्षेत्र में नेविगेट करने के लिए एक स्पष्ट मानचित्र प्रदान किया है। उन्होंने इस बात की जांच की कि क्वांटम मॉडलों पर समरूपता (symmetry) लागू करने से डेटा के बारे में सोचने के उनके तरीके में क्या बदलाव आता है, विशेष रूप से यह देखते हुए कि मॉडल सूचना को विभिन्न आवृत्ति घटकों (frequency components) में कैसे विभाजित करते हैं। उनका कार्य प्रकट करता है कि जब एक क्वांटम मॉडल को समरूपता का सम्मान करने के लिए मजबूर किया जाता है, तो यह केवल अपने विकल्पों को सीमित नहीं करता है; इसके बजाय, यह अपनी आंतरिक संरचना को इस तरह से पुनर्गठित करता है जो इसे वास्तव में अधिक शक्तिशाली और प्रशिक्षित करने में आसान बना सकता है। संबंधित सूचनाओं के टुकड़ों को एक साथ समूहबद्ध करके, शोधकर्ताओं ने एक ऐसा तरीका खोजा जिससे वे मॉडल के सीखने के संकेतों को शून्य में लुप्त होने से रोक सकें, जो एक आम समस्या है जिसने क्वांटम मशीन लर्निंग को परेशान किया है। इसके अलावा, उन्होंने इन सममित मॉडलों को बनाने का एक नया, अधिक कुशल तरीका खोजा जो पहले आवश्यक समझे जाने वाले भारी हार्डवेयर खर्चों से बचता है।

शोधकर्ताओं ने क्वांटम मॉडल के एक प्रकार, जिसे क्वांटम फूरियर मॉडल कहा जाता है, पर ध्यान केंद्रित किया। एक क्वांटम कंप्यूटर की कल्पना एक जटिल वाद्य यंत्र के रूप में करें जो एक साथ कई अलग-अलग स्वर (notes) बजाने में सक्षम है, जहाँ प्रत्येक स्वर सूचना की एक विशिष्ट आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है। एक मानक सेटअप में, कंप्यूटर प्रत्येक स्वर के वॉल्यूम (आवाज़) को स्वतंत्र रूप से समायोजित करके एक पैटर्न सीखने की कोशिश कर सकता है। हालाँकि, शोधकर्ताओं ने दिखाया कि जब आप कंप्यूटर को एक समरूपता का सम्मान करने के लिए बाध्य करते हैं—जैसे कि दो चरों (variables) को बदलना या उनके संकेतों को पलटना—तो स्वर अब स्वतंत्र नहीं रह जाते। इसके बजाय, वे समूह या "ऑर्बिट्स" (orbits) बनाते हैं, जहाँ कंप्यूटर को उस समूह के सभी स्वरों के साथ एक एकल इकाई के रूप में व्यवहार करना होगा। मॉडल फिर उस समूह के सभी स्वरों के वॉल्यूम को जोड़कर एक एकल, मजबूत संकेत बनाता है।

यह पुनर्गठन एक महत्वपूर्ण लाभ साबित होता है। कई क्वांटम मॉडलों में, व्यक्तिगत स्वरों के लिए संकेत जैसे-जैसे सिस्टम बड़ा होता जाता है, इतना धीमा हो जाता है कि कंप्यूटर प्रभावी रूप से सीखना बंद कर देता है, जिसे 'वैनिशिंग एक्सप्रेसिविटी' (vanishing expressivity) नामक घटना कहा जाता है। शोधकर्ताओं ने प्रदर्शित किया कि इन स्वरों को सममित ऑर्बिट्स में समूहित करके, संयुक्त संकेत काफी तेज हो जाता है। भले ही व्यक्तिगत स्वर फुसफुसा रहे हों, उनकी सामूहिक आवाज़ इतनी मजबूत होती है कि उसे सुना और प्रशिक्षित किया जा सके। उन्होंने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि आदर्श परिस्थितियों में, इस संयुक्त संकेत की शक्ति समूह के भीतर व्यक्तिगत स्वरों की ताकत के योग के बिल्कुल बराबर होती है। यहाँ तक कि अधिक वास्तविक, अपूर्ण परिदृश्यों में भी, उन्होंने दिखाया कि यह समूहीकरण संकेत की शक्ति में भारी वृद्धि प्रदान करता है, जो मौजूदा तरीकों की तुलना में बहुत अधिक है।

केवल मॉडलों को मजबूत बनाने के अलावा, शोधकर्ताओं ने पाया कि यह समरूपता दृष्टिकोण दुनिया का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले भाषा को ही बदल देता है। जब उन्होंने अपने मॉडलों पर साइन फ्लिप (sign flips) से जुड़ी एक विशिष्ट प्रकार की समरूपता लागू की, तो परिणामी गणितीय संरचना स्वाभाविक रूप से चेबिशेव बहुपदों (Chebyshev polynomials) के एक सेट में परिवर्तित हो गई। ये गणितज्ञों और इंजीनियरों द्वारा जटिल वक्रों (curves) का अनुमान लगाने और कठिन समीकरणों को हल करने के लिए सदियों से उपयोग किए जाने वाले शक्तिशाली उपकरण हैं। क्वांटम मॉडल को इन समरूपताओं का सम्मान करने के लिए मजबूर करके, शोधकर्ताओं ने प्रभावी रूप से इसे इस तरह प्रोग्राम किया कि यह स्वचालित रूप से इस इष्टतम भाषा को बोल सके, बिना उस जटिल सर्किट को मैन्युअल रूप से डिजाइन किए जिसकी अन्यथा आवश्यकता होती। यह सुझाव देता है कि समरूपता केवल एक प्रतिबंध नहीं है बल्कि एक मार्गदर्शक है जो क्वांटम मॉडलों को समस्याओं को हल करने के सबसे कुशल तरीकों की ओर ले जा सकती है।

हालाँकि, एक बड़ी बाधा शेष थी: वास्तविक क्वांटम हार्डवेयर पर इन सममित मॉडलों को वास्तव में कैसे बनाया जाए। समरूपता को लागू करने के पारंपरिक तरीकों के लिए अक्सर अतिरिक्त क्वांटम बिट्स जोड़ने या जटिल, गहरे सर्किट चलाने की आवश्यकता होती है जो निष्पादित करने में लंबा समय लेते हैं, जिससे वे वर्तमान तकनीक के लिए अव्यावहारिक हो जाते हैं। टीम ने 'रैंडमाइज्ड एनकोडिंग' (randomized encoding) नामक एक चतुर विकल्प प्रस्तावित किया। एक विशेष, कठोर सर्किट बनाने के बजाय जो समरूपता को हार्ड-कोड करता है, उनकी विधि में मानक क्वांटम सर्किट में प्रवेश करने से पहले इनपुट डेटा को यादृच्छिक (randomly) रूप से बदलना शामिल है। एक ही सर्किट को थोड़े अलग, यादृच्छिक रूप से रूपांतरित इनपुट के साथ कई बार चलाने और फिर परिणामों का औसत निकालकर, सिस्टम उसी सममित आउटपुट को उत्पन्न करता है जो जटिल, महंगे तरीकों से प्राप्त होता है। इस दृष्टिकोण के लिए कोई अतिरिक्त क्वांटम बिट्स की आवश्यकता नहीं होती है और यह सर्किट की गहराई को नहीं बढ़ाता है, जिससे यह आज के शोर वाले (noisy) क्वांटम उपकरणों के लिए बहुत अधिक व्यवहार्य हो जाता है।

अपने विचारों का परीक्षण करने के लिए, शोधकर्ताओं ने इन कठिन गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए अपने नए मॉडलों को लागू किया जो भौतिक घटनाओं का वर्णन करती हैं: एक स्क्रीन्ड पॉइसन समीकरण (screened Poisson equation) और एक स्टेशनरी विस्कस हैमिल्टन-जैकबी समीकरण (stationary viscous Hamilton-Jacobi equation)। इन समीकरणों का उपयोग बिजली के क्षेत्रों से लेकर तरल गतिशीलता (fluid dynamics) तक सब कुछ मॉडल करने के लिए किया जाता है। उन्होंने अपने नए सममित मॉडलों की तुलना मानक क्वांटम मॉडलों और शास्त्रीय न्यूरल नेटवर्क से की। परिणाम स्पष्ट थे: जिन मॉडलों ने समरूपता का उपयोग किया, विशेष रूप से जो उनके नए रैंडमाइज्ड एनकोडिंग पद्धति से बने थे, उन्होंने सबसे कम त्रुटियां और सबसे सटीक समाधान प्राप्त किए। एक विशिष्ट परीक्षण में जिसमें कठिन सीमा स्थितियाँ (boundary conditions) शामिल थीं, सममित क्वांटम मॉडल ने शास्त्रीय न्यूरल नेटवर्क सहित अन्य सभी दृष्टिकोणों को पछाड़ दिया।

अध्ययन यह निष्कर्ष निकालता है कि समरूपता क्वांटम मशीन लर्निंग में एक शक्तिशाली, अल्प-उपयोग की गई संसाधन है। यह न केवल मॉडल की क्षमता को सीमित करती है; बल्कि यह मॉडल की आंतरिक संरचना को अधिक मजबूत और कुशल बनाने के लिए उसे नया आकार देती है। सूचना को सममित समूहों में पुनर्गठित करके, शोधकर्ताओं ने दिखाया कि क्वांटम मॉडल उस सिग्नल हानि (signal loss) को दूर कर सकते हैं जिसने उनकी प्रगति को बाधित किया है। इन समरूपताओं को लागू करने का उनका नया तरीका एक व्यावहारिक मार्ग प्रदान करता है, जिससे शोधकर्ता उन लाभों का उपयोग कर सकते हैं जो पहले इन तरीकों को स्केल करना कठिन बनाते थे। यह कार्य बेहतर क्वांटम एल्गोरिदम डिजाइन करने के लिए एक ठोस ब्लूप्रिंट प्रदान करता है जो न केवल अधिक सटीक हैं बल्कि उस भौतिक दुनिया की मौलिक समरूपताओं के साथ अधिक संरेखित भी हैं जिसका वे अनुकरण (simulate) करना चाहते हैं।