Perturbative modelling of Arrhenius reactive transport in non-isothermal Gordon– Schowalter Couette–Poiseuille flow

तकनीकी सारांश: गैर-समतापी गोर्डन-शौवाल्टर कूपेट-पोइज़ुइल प्रवाह में अरहेनियस प्रतिक्रियाशील परिवहन का विचलित मॉडलिंग (Perturbative Modelling)

समस्या विवरण
यह अध्ययन एक प्लेन कूपेट-पोइज़ुइल प्रवाह में एक प्रथम-कोटि के समांगी अरहेनियस अभिक्रिया (Arrhenius reaction) से गुजरने वाले एक विस्कोइलास्टिक (viscoelastic) तरल पदार्थ में युग्मित ऊष्मा और द्रव्यमान स्थानांतरण की समस्या को संबोधित करता है। विशिष्ट भौतिक प्रणाली में $H_0$ दूरी द्वारा अलग किए गए दो समानांतर प्लेटों के बीच एक गोर्डन-शौवाल्टर तरल प्रवाहित हो रहा है। प्लेटें समान वेग $V$ के साथ चलती हैं (जो प्लेट फ्रेम में शुद्ध कूपेट शियर को समाप्त करती है), और प्रवाह पूरी तरह से एक बाहरी दबाव प्रवणता (pressure gradient) द्वारा संचालित होता है। दीवारें तापमान $T_0$ पर समतापी (isothermal) हैं और पूर्णतः प्रतिक्रियाशील (डिरिचलेट सीमा स्थिति) हैं। तरल विस्कस अपव्यय (viscous dissipation) प्रदर्शित करता है, जो एक वितरित ऊष्मा स्रोत के रूप में कार्य करता है, और अभिक्रिया दर तापमान के प्रति चरघातांकीय रूप से संवेदनशील है। विश्लेषण कम ब्रिंकमैन संख्या ($Br \ll 1$) और कमजोर विस्कोइलास्टिक प्रवाह ($We < 1$) के शासन में किया गया है, जो विस्कोइलास्टिकिटी, तापीय अपव्यय और रासायनिक गतिकी के "त्रिपल कपलिंग" (triple coupling) पर केंद्रित है—एक ऐसा परिदृश्य जिसे साहित्य में पहले संबोधित नहीं किया गया है।

कार्यप्रणाली
लेखक एक संयुक्त पैरामीटर $\varepsilon \equiv (1-a^2)We^2$ पर आधारित एक विचलन विधि (perturbation method) का उपयोग करते हैं, जहाँ $a$ एक संवहन-व्युत्पन्न पैरामीटर है ($a \in [-1, 1]$) और $We$ वीसेनबर्ग संख्या (Weissenberg number) है।

1. संरचनात्मक मॉडलिंग (Constitutive Modeling): गोर्डन-शौवाल्टर संरचनात्मक समीकरण का उपयोग किया गया है, जो स्थिर सरल शियर (steady simple shear) में एक बंद-रूप शियर स्ट्रेस समाधान प्रदान करता है। शियर श्यानता (shear viscosity) $|a| < 1$ के लिए दर-घटती (rate-thinning) होती है, लेकिन ऊपरी-और-निम्न-संवहित मैक्सवेल सीमाओं ($a = \pm 1$) के लिए स्थिर रहती है।
2. विचलन पदानुक्रम (Perturbative Hierarchy): वेग, तापमान और सांद्रता क्षेत्रों का $\varepsilon$ और $Br$ की घातों में विस्तार किया गया है। विश्लेषण तीन विशिष्ट भौतिक योगदानों को अलग करता है:
   • आधार न्यूटनियन प्रतिक्रियाशील ग्राएट्ज़ क्षेत्र (Newtonian reactive Graetz field)।
   • न्यूटनियन तापीय-प्रतिक्रियाशील सुधार (न्यूटनियन तरल में विस्कस हीटिंग)।
   • मिश्रित विस्कोइलास्टिक सुधार, जिसके लिए इलास्टिसिटी, अपव्यय और गतिक संवेदनशीलता का एक साथ उपस्थित होना आवश्यक है।
3. विश्लेषणात्मक समाधान: वेग सुधार को निश्चित स्ट्रेस पर संरचनात्मक नियम को उलटने (inverting) द्वारा प्राप्त किया जाता है। तापमान क्षेत्र को ऊर्जा संतुलन के बंद-रूप एकीकरण के माध्यम से प्राप्त किया जाता है। प्रतिक्रियाशील क्षेत्र को एक स्टर्म-लियूविल (Sturm–Liouville) आइजनवैल्यू समस्या के रूप में माना जाता है, जहाँ विस्कोइलास्टिक विचलन मौलिक आइजनवैल्यू ($\lambda_1^2$) में बदलाव लाता है, जो अक्षीय क्षय दर और रूपांतरण लंबाई (conversion length) को नियंत्रित करता है।
4. संख्यात्मक सत्यापन: विश्लेषणात्मक परिणामों को शूटिंग विधियों और परिमित-अंतर विविक्तकरण (finite-difference discretization) का उपयोग करके ऊर्जा संतुलन और पूर्ण प्रतिक्रियाशील परिवहन समीकरण के प्रत्यक्ष संख्यात्मक समाधानों के विरुद्ध सत्यापित किया गया है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

1. मिश्रित समूह हस्ताक्षर (The Mixed Group Signature): तापीय-प्रतिक्रियाशील प्रतिक्रिया के अग्रणी विस्कोइलास्टिक सुधार का मान मिश्रित समूह $Br \cdot We^2 (1-a^2)$ के समानुपाती है। यह पद ऊपरी-संवहित मैक्सवेल ($a=1$) और निम्न-संवहित मैक्सवेल ($a=-1$) सीमाओं के लिए शून्य हो जाता है, जहाँ शियर श्यानता स्थिर रहती है। यह प्रभाव कोरोटेशनल केस ($a=0$) के लिए अधिकतम है। फलस्वरूप, पैरामीटर $a$ न केवल स्ट्रेस क्षेत्र में, बल्कि तापमान वृद्धि, अक्षीय क्षय दर और रूपांतरण लंबाई में भी एक मापने योग्य हस्ताक्षर प्राप्त करता है।

2. दोहरी प्रतिस्पर्धी मार्ग (Dual Competing Routes): विस्कोइलास्टिक विचलन सांद्रता क्षेत्र को दो योज्य (additive), प्रथम-क्रम के मार्गों के माध्यम से प्रभावित करता है जिनके चिह्न विपरीत हैं:

   • एडवेक्टिव मार्ग (Advective Route): एक निश्चित दबाव प्रवणता पर, दर-घटती (rate-thinning) प्रतिक्रिया थ्रू-फ्लो वेग को बढ़ा देती है। यह अभिकारक (reactant) को उपभोग होने से पहले अधिक दूर तक ले जाती है, जिससे रूपांतरण लंबाई बढ़ जाती है (आइजनवैल्यू में नकारात्मक बदलाव)।
   • तापीय-प्रतिक्रियात्मक मार्ग (Thermal–Reactive Route): वही दर-घटती प्रक्रिया निश्चित ड्राइविंग स्ट्रेस पर शियर दर और इस प्रकार विस्कस अपव्यय को बढ़ा देती है। यह तापमान को बढ़ाती है, जिससे अरहेनियस गतिकी तेज हो जाती है और रूपांतरण लंबाई कम हो जाती है (आइजनवैल्यू में सकारात्मक बदलाव)।

3. क्रॉसओवर संख्या ($K$): इन मार्गों के बीच प्रतिस्पर्धा को एक एकल आयामहीन क्रॉसओवर संख्या $K$ द्वारा नियंत्रित किया जाता है।

   • यदि $K < 1$, तो एडवेक्टिव मार्ग प्रभावी होता है: विस्कोइलास्टिकिटी न्यूटनियन डिजाइन की तुलना में आवश्यक रिएक्टर लंबाई को बढ़ा देती है।
   • यदि $K > 1$, तो तापीय-प्रतिक्रियात्मक मार्ग प्रभावी होता है: विस्कस हीटिंग अभिक्रिया को पर्याप्त रूप से तेज कर देती है जिससे आवश्यक रिएक्टर लंबाई कम हो जाती है।
   • रिएक्टर के आकार पर शुद्ध विस्कोइलास्टिक प्रभाव का चिह्न ठीक $K=1$ पर उलट जाता है।

4. मात्रात्मक सटीकता: वेग और तापमान सुधारों के लिए बंद-रूप व्यंजक प्राप्त किए गए हैं। प्रथम-क्रम विचलन सिद्धांत द्वारा अनुमानित आइजनवैल्यू शिफ्ट, 1.9% से कम सापेक्ष त्रुटि के साथ प्रत्यक्ष संख्यात्मक समाधानों से मेल खाता है। दोनों मार्गों की योज्यता (additivity) को 0.13% के भीतर सत्यापित किया गया है।

महत्व और दावे
यह शोध दावा करता है कि यह तापीय कपलिंग की उपस्थिति में प्रतिक्रियाशील परिवहन में विस्कोइलास्टिकिटी हस्ताक्षरों के प्रकट होने का पहला संरचनात्मक विश्लेषण प्रदान करता है।

• संरचनात्मक अंतर्दृष्टि: यह प्रदर्शित करता है कि मानक मैक्सवेल मॉडल ($a=\pm 1$) रेक्टिलिनियर शियर प्रवाह में इस विशिष्ट विस्कोइलास्टिक हस्ताक्षर के प्रति "संरचनात्मक रूप से अंधे" (structurally blind) हैं क्योंकि सामान्य स्ट्रेस इस गतिकी में कोई कार्य नहीं करते हैं। केवल मिश्रित संवहन-व्युत्पन्न वाले तरल पदार्थ ($|a| < 1$) ही इस प्रभाव को प्रदर्शित करते हैं।
• अभियांत्रिकी उपयोगिता: यह अध्ययन प्रतिक्रियाशील कोटिंग, पॉलिमर प्रोसेसिंग और चैनल-रिएक्टर अनुप्रयोगों के लिए एक संक्षिप्त डिजाइन नियम प्रदान करता है। व्युत्पन्न क्रॉसओवर संख्या $K$ इंजीनियरों को यह अनुमान लगाने में सक्षम बनाती है कि क्या न्यूटनियन-आधारित डिजाइन विस्कोइलास्टिक तरल पदार्थों के लिए आवश्यक रिएक्टर लंबाई का कम या अधिक अनुमान लगाएगा।
• डिजाइन मैप: $(Da_{II}, Br \gamma_A)$ तल में एक पैरामेट्रिक मैप प्रस्तुत किया गया है जो उन क्षेत्रों को रेखांकित करता है जहाँ विस्कोइलास्टिक सुधार नगण्य, एडवेक्शन-प्रधान, या गतिकी-प्रधान है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि उनका मॉडल उन प्रणालियों के लिए एक पूर्णतः पुनरुत्पादनीय बेंचमार्क के रूप में कार्य करता है जहाँ विस्कस हीटिंग, अभिक्रिया गतिकी और इलास्टिसिटी परस्पर क्रिया करते हैं, यह नोट करते हुए कि अरहेनियस पद की सख्त रैखिकीकरण सीमाओं के परे भी शुद्ध प्रभाव का चिह्न परिवर्तन एक सुदृढ़ विशेषता है।