Perturbative modelling of Arrhenius reactive transport in non-isothermal Gordon– Schowalter Couette–Poiseuille flow

Resumo Técnico: Modelagem Perturbativa de Transporte Reativo de Arrhenius em Escoamento de Couette–Poiseuille de Gordon–Schowalter Não Isotérmico

Definição do Problema
Este estudo aborda o problema acoplado de transferência de calor e massa em um escoamento plano de Couette–Poiseuille de um fluido viscoelástico submetido a uma reação de Arrhenius homogênea de primeira ordem. O sistema físico específico envolve um fluido de Gordon–Schowalter fluindo entre duas placas paralelas separadas por uma distância $H_0$. As placas movem-se com velocidade idêntica $V$ (eliminando o cisalhamento de Couette líquido no referencial das placas), e o escoamento é impulsionado inteiramente por um gradiente de pressão externo. As paredes são isotérmicas à temperatura $T_0$ e perfeitamente reativas (condição de contorno de Dirichlet). O fluido exibe dissipação viscosa, que atua como uma fonte de calor distribuída, e a taxa de reação é exponencialmente sensível à temperatura. A análise é conduzida no regime de pequeno número de Brinkman ($Br \ll 1$) e escoamento fracamente viscoelástico ($We < 1$), focando no "acoplamento triplo" de viscoelasticidade, dissipação térmica e cinética química — um cenário não abordado anteriormente na literatura.

Metodologia
Os autores empregam um método de perturbação baseado em um parâmetro composto $\varepsilon \equiv (1-a^2)We^2$, onde $a$ é o parâmetro da derivada convectiva ($a \in [-1, 1]$) e $We$ é o número de Weissenberg.

1. Modelagem Constitutiva: A equação constitutiva de Gordon–Schowalter é utilizada, a qual admite uma solução de tensão de cisalhamento em forma fechada para cisalhamento simples estacionário. A viscosidade de cisalhamento é de afinidade por taxa (rate-thinning) para $|a| < 1$, mas constante para os limites de Maxwell upper-convected e lower-convected ($a = \pm 1$).
2. Hierarquia Perturbativa: Os campos de velocidade, temperatura e concentração são expandidos em potências de $\varepsilon$ e $Br$. A análise isola três contribuições físicas distintas:
   • O campo de Graetz reativo Newtoniano base.
   • A correção térmica–reativa Newtoniana (aquecimento viscoso em um fluido Newtoniano).
   • A correção mista viscoelástica, que requer a presença simultânea de elasticidade, dissipação e sensibilidade cinética.
3. Solução Analítica: A correção de velocidade é derivada pela inversão da lei constitutiva para uma tensão fixa. O campo de temperatura é obtido via integração em forma fechada do balanço de energia. O campo reativo é tratado como um problema de autovalor de Sturm–Liouville, onde a perturbação viscoelástica induz um deslocamento no autovalor fundamental ($\lambda_1^2$), governando a taxa de decaimento axial e o comprimento de conversão.
4. Validação Numérica: Os resultados analíticos são validados contra soluções numéricas diretas do balanço de energia e da equação completa de transporte reativo usando métodos de shooting e discretização de diferenças finitas.

Principais Contribuições e Resultados

1. A Assinatura do Grupo Misto: A principal correção viscoelástica à resposta térmica–reativa é proporcional ao grupo misto $Br \cdot We^2 (1-a^2)$. Este termo desaparece identicamente para os limites de Maxwell upper-convected ($a=1$) e lower-convected ($a=-1$), onde a viscosidade de cisalhamento permanece constante. O efeito é máximo para o caso corrotacional ($a=0$). Consequentemente, o parâmetro da derivada convectiva $a$ adquire uma assinatura mensurável no aumento de temperatura, na taxa de decaimento axial e no comprimento de conversão.

2. Rotas Competitivas Duplas: A perturbação viscoelástica influencia o campo de concentração através de duas rotas aditivas de primeira ordem com sinais opostos:

   • Rota Advectiva: Para um gradiente de pressão fixo, a resposta de afinidade por taxa aumenta a velocidade de fluxo atravessante. Isso carrega o reagente mais longe antes do consumo, aumentando o comprimento de conversão (deslocamento negativo no autovalor).
   • Rota Térmica–Reativa: O mesmo afinidade por taxa aumenta a taxa de cisalhamento e, consequentemente, a dissipação viscosa para uma tensão motriz fixa. Isso eleva a temperatura, acelerando a cinética de Arrhenius e diminuindo o comprimento de conversão (deslocamento positivo no autovalor).

3. O Número de Crossover ($K$): A competição entre essas rotas é governada por um único número de crossover adimensional $K$.

   • Se $K < 1$, a rota advectiva domina: a viscoelasticidade aumenta o comprimento de reator necessário comparado a um projeto Newtoniano.
   • Se $K > 1$, a rota térmica–reativa domina: o aquecimento viscoso acelera a reação o suficiente para encurtar o comprimento de reator necessário.
   • O sinal do efeito viscoelástico líquido sobre o dimensionamento do reator inverte-se exatamente em $K=1$.

4. Precisão Quantitativa: Expressões em forma fechada para as correções de velocidade e temperatura são derivadas. O deslocamento do autovalor previsto pela teoria de perturbação de primeira ordem coincide com as soluções numéricas diretas com um erro relativo inferior a 1,9%. A aditividade das duas rotas é verificada com erro inferior a 0,13%.

Significância e Alegações
O artigo afirma fornecer a primeira análise estrutural de como as assinaturas viscoelásticas se manifestam no transporte reativo quando o acoplamento térmico está presente.

• Insight Estrutural: Demonstra que os modelos de Maxwell padrão ($a=\pm 1$) são "estruturalmente cegos" a esta assinatura viscoelástica específica em escoamentos de cisalhamento retilíneos porque as tensões normais não realizam trabalho nesta cinemática. Apenas fluidos com derivadas convectivas mistas ($|a| < 1$) exibem este efeito.
• Utilidade de Engenharia: O estudo oferece uma regra de projeto compacta para revestimento reativo, processamento de polímeros e aplicações em canais-reatores. O número de crossover $K$ derivado permite que engenheiros prevejam se um projeto baseado em Newtoniano irá subestimar ou superestimar o comprimento de reator necessário ao lidar com fluidos viscoelásticos.
• Mapa de Projeto: Um mapa paramétrico no plano $(Da_{II}, Br \gamma_A)$ é apresentado para delinear regiões onde a correção viscoelástica é negligenciável, dominada pela advecção ou dominada pela cinética.

Os autores concluem que seu modelo serve como um benchmark totalmente reproduzível para sistemas onde o aquecimento viscoso, a cinética de reação e a elasticidade interagem, observando que a inversão de sinal do efeito líquido é uma característica robusta mesmo além dos limites estritos de linearização do termo de Arrhenius.