Perturbative modelling of Arrhenius reactive transport in non-isothermal Gordon– Schowalter Couette–Poiseuille flow

Resumen Técnico: Modelado Perturbativo del Transporte Reactivo de Arrhenius en un Flujo de Couette–Poiseuille de Gordon–Schowalter No Isotérmico

Planteamiento del Problema
Este estudio aborda el problema del acoplamiento de la transferencia de calor y masa en un flujo plano de Couette–Poiseuille de un fluido viscoelástico que experimenta una reacción de Arrhenius homogénea de primer orden. El sistema físico específico involucra un fluido de Gordon–Schowalter que fluye entre dos placas paralelas separadas por una distancia $H_0$. Las placas se mueven con una velocidad idéntica $V$ (eliminando el cizallamiento neto de Couette en el marco de las placas), y el flujo es impulsado enteramente por un gradiente de presión externo. Las paredes son isotérmicas a una temperatura $T_0$ y perfectamente reactivas (condición de contorno de Dirichlet). El fluido exhibe disipación viscosa, que actúa como una fuente de calor distribuida, y la tasa de reacción es exponencialmente sensible a la temperatura. El análisis se realiza en el régimen de un número de Brinkman pequeño ($Br \ll 1$) y un flujo débilmente viscoelástico ($We < 1$), centrándose en el "triple acoplamiento" de la viscoelasticidad, la disipación térmica y la cinética química —un escenario no abordado previamente en la literatura.

Metodología
Los autores emplean un método de perturbación basado en un parámetro compuesto $\varepsilon \equiv (1-a^2)We^2$, donde $a$ es el parámetro de la derivada convectiva ($a \in [-1, 1]$) y $We$ es el número de Weissenberg.

1. Modelado Constitutivo: Se utiliza la ecuación constitutiva de Gordon–Schowalter, que admite una solución de esfuerzo cortante en forma cerrada para cizallamiento simple en estado estacionario. La viscosidad de corte es de tipo rate-thinning (adelgazamiento por tasa) para $|a| < 1$, pero constante para los límites de Maxwell de convección superior e inferior ($a = \pm 1$).
2. Jerarquía Perturbativa: Los campos de velocidad, temperatura y concentración se expanden en potencias de $\varepsilon$ y $Br$. El análisis aisla tres contribuciones físicas distintas:
   • El campo de Graetz reactivo Newtoniano base.
   • La corrección térmica–reactiva Newtoniana (calentamiento viscoso en un fluido Newtoniano).
   • La corrección viscoelástica mixta, que requiere la presencia simultánea de elasticidad, disipación y sensibilidad cinética.
3. Solución Analítica: La corrección de velocidad se deriva invirtiendo la ley constitutiva a un esfuerzo fijo. El campo de temperatura se obtiene mediante la integración en forma cerrada del balance de energía. El campo reactivo se trata como un problema de autovalores de Sturm–Liouville, donde la perturbación viscoelástica induce un desplazamiento en el autovalor fundamental ($\lambda_1^2$), el cual gobierna la tasa de decaimiento axial y la longitud de conversión.
4. Validación Numérica: Los resultados analíticos se validan frente a soluciones numéricas directas del balance de energía y de la ecuación completa de transporte reactivo utilizando métodos de disparo (shooting methods) y discretización de diferencias finitas.

Contribuciones Clave y Resultados

1. La Firma del Grupo Mixto: La corrección viscoelástica principal de la respuesta térmica–reactiva es proporcional al grupo mixto $Br \cdot We^2 (1-a^2)$. Este término desaparece identicamente para los límites de Maxwell de convección superior ($a=1$) e inferior ($a=-1$), donde la viscosidad de corte permanece constante. El efecto es máximo para el caso corotacional ($a=0$). En consecuencia, el parámetro de la derivada convectiva $a$ adquiere una firma medible en el aumento de temperatura, la tasa de decaimiento axial y la longitud de conversión, no meramente en el campo de esfuerzos.

2. Rutas Competición Duales: La perturbación viscoelástica influye en el campo de concentración a través de dos rutas aditivas de primer orden de signo opuesto:

   • Ruta Advectiva: Para un gradiente de presión fijo, la respuesta de rate-thinning aumenta la velocidad de flujo transversal. Esto transporta el reactivo más lejos antes de su consumo, aumentando la longitud de conversión (desplazamiento negativo en el autovalor).
   • Ruta Térmica–Reactiva: El mismo rate-thinning aumenta la tasa de cizallamiento y, por ende, la disipación viscosa a un esfuerzo motor fijo. Esto eleva la temperatura, acelerando la cinética de Arrhenius y disminuyendo la longitud de conversión (desplazamiento positivo en el autovalor).

3. El Número de Crossover ($K$): La competencia entre estas rutas está gobernada por un único número de crossover adimensional $K$.

   • Si $K < 1$, la ruta advectiva domina: la viscoelasticidad aumenta la longitud requerida del reactor en comparación con un diseño Newtoniano.
   • Si $K > 1$, la ruta térmica–reactiva domina: el calentamiento viscoso acelera la reacción lo suficiente como para acortar la longitud requerida del reactor.
   • El signo del efecto neto de la viscoelasticidad sobre el dimensionamiento del reactor se invierte exactamente en $K=1$.

4. Precisión Cuantitativa: Se derivan expresiones en forma cerrada para las correcciones de velocidad y temperatura. El desplazamiento del autovalor predicho por la teoría de perturbación de primer orden coincide con las soluciones numéricas directas con un error relativo inferior al 1.9%. La aditividad de las dos rutas se verifica con un error de 0.13%.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar el primer análisis estructural de cómo las firmas de la viscoelasticidad se manifiestan en el transporte reactivo cuando existe un acoplamiento térmico.

• Perspectiva Estructural: Demuestra que los modelos de Maxwell estándar ($a=\pm 1$) son "ciegos estructuralmente" a esta firma viscoelástica específica en flujos de cizallamiento rectilíneos porque los esfuerzos normales no realizan trabajo en esta cinemática. Solo los fluidos con derivadas convectivas mixtas ($|a| < 1$) exhiben este efecto.
• Utilidad de Ingeniería: El estudio ofrece una regla de diseño compacta para recubrimientos reactivos, procesamiento de polímeros y aplicaciones de reactores de canal. El número de crossover $K$ derivado permite a los ingenieros predecir si un diseño basado en un fluido Newtoniano subestimará o sobreestimará la longitud requerida del reactor cuando se trabaje con fluidos viscoelásticos.
• Mapa de Diseño: Se presenta un mapa paramétrico en el plano $(Da_{II}, Br \gamma_A)$ para delimitar las regiones donde la corrección viscoelástica es despreciable, está dominada por la advección o está dominada por la cinética.

Los autores concluyen que su modelo sirve como un referente (benchmark) totalmente reproducible para sistemas donde interactúan el calentamiento viscoso, la cinética de reacción y la elasticidad, señalando que la inversión de signo del efecto neto es una característica robusta incluso más allá de los límites estrictos de la linealización del término de Arrhenius.