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Hybrid Neutrosophic Regression ANOVA (HNRA): An Uncertainty-Aware Statistical Inference Framework Under Measurement Imprecision

यह शोध पत्र हाइब्रिड न्यूट्रोसोफिक रिग्रेशन एनोवा (HNRA) प्रस्तुत करता है, जो एक नवीन सांख्यिकीय ढांचा है जो मापन अनिश्चितता को न्यूट्रोसोफिक अंतराल के रूप में मॉडल करने के लिए, वर्गों के योग का एक सीमित और अनिश्चितता-जागरूक अपघटन और एक औपचारिक रूप से गारंटीकृत F-सांख्यिकी प्रदान करता है, जिससे पूर्व वितरण धारणाओं की आवश्यकता के बिना उपकरण अंशांकन त्रुटियों और जैविक परिवर्तनशीलता वाले परिदृश्यों के लिए शास्त्रीय रिग्रेशन एनोवा का विस्तार होता है।

मूल लेखक: Jaida Najihah Jamidin, Zahari Md Ro, Sayang Mohd Deni, Siti Meriam Zahari

प्रकाशित 2026-07-23

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jaida Najihah Jamidin, Zahari Md Ro, Sayang Mohd Deni, Siti Meriam Zahari

मूल पेपर CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक आवर्धक लेंस (magnifying glass) का उपयोग करके एक रहस्य सुलझाने की कोशिश कर रहे एक जासूस हैं। विज्ञान की दुनिया में, वह आवर्धक लेंस एक सांख्यिकीय उपकरण है जिसे रिग्रेशन एनोवा (Regression ANOVA) कहा जाता है। यह शोधकर्ताओं को यह समझने में मदद करता है कि क्या दो चीजें आपस में जुड़ी हुई हैं—जैसे कि क्या उम्र बढ़ने से आपकी मांसपेशियां सिकुड़ती हैं। दशकों से, वैज्ञानिक इस उपकरण का उपयोग यह मानकर करते आए हैं कि उनके माप एकदम सटीक हैं, जैसे कि एक ऐसा पैमाना पढ़ना जो कभी डगमगाता नहीं है। लेकिन वास्तविक दुनिया में, कुछ भी पूर्ण नहीं होता। एक तराजू थोड़ा इधर-उधर हो सकता है, एक सेंसर गड़बड़ा सकता है, या कोई व्यक्ति ठीक से अपनी उम्र भूल सकता है। इन छोटी त्रुटियों को "मापन अपूर्णता" (measurement imprecision) कहा जाता है।

जब आप इन त्रुटियों को अनदेखा करते हैं, तो आपका जासूसी कार्य स्पष्ट दिख सकता है, लेकिन यह भ्रामक हो सकता है। यह मोटे, धुंधले दस्ताने पहनकर बिल्ली के वजन का अनुमान लगाने जैसा है; आपको एक संख्या तो मिल सकती है, लेकिन आप यह नहीं जान पाएंगे कि वह संख्या कितनी गलत हो सकती है। कुछ वैज्ञानिकों ने "फजी" (fuzzy) तर्क का उपयोग करके इसे ठीक करने की कोशिश की (जहाँ चीजें थोड़ी सच और थोड़ी झूठ होती हैं) या "बायेसियन" (Bayesian) विधियों का उपयोग किया (जिसके लिए शुरू करने से पहले एक प्रारंभिक विश्वास का अनुमान लगाना आवश्यक होता है), लेकिन ये विधियाँ जटिल हैं, इनके लिए अतिरिक्त धारणाओं की आवश्यकता होती है, या ये वे मानक "हाँ/ना" वाले उत्तर नहीं देती हैं जिनके आदी डॉक्टर और नियामक होते हैं। बड़ा सवाल यह है: क्या हम एक ऐसा जासूसी उपकरण बना सकते हैं जो यह स्वीकार करे कि दस्ताने धुंधले हैं, हमें एक स्पष्ट उत्तर दे, और फिर भी खेल के पुराने, भरोसेमंद नियमों का पालन करे?

यह शोध पत्र एक नए उपकरण को पेश करता है जिसे हाइब्रिड न्यूट्रोसोफिक रिग्रेशन एनोवा (HNRA) कहा जाता है। इसे एक सुपर-पावर्ड आवर्धक लेंस के रूप में समझें जो न केवल आपको बिल्ली के वजन के लिए एक एकल संख्या देता है। इसके बजाय, यह आपको एक रेंज देता है—संभावनाओं का एक "सुरक्षित क्षेत्र" (safe zone)। यदि बिल्ली का वजन 4 और 6 पाउंड के बीच है, तो उपकरण कहता है, "हमें यकीन है कि यह इस रेंज में है।" लेखकों, जैदा नजीहा जमिदान और उनकी टीम (यूनिवर्सिटी टेक्नोलॉजी मरा) ने एक गणितीय ढांचा विकसित किया है जो इन फजी श्रेणियों को मानक रिग्रेशन गणित के माध्यम से चलाता है।

उन्होंने क्या पाया और सिद्ध किया, यहाँ दिया गया है। सबसे पहले, उन्होंने दिखाया कि यह नई विधि पुराने तरीके के एक पूर्ण अनुवाद की तरह काम करती है। यदि आप सारा कोहरा (मापन त्रुटियों) हटा देते हैं, तो HNRA वापस उसी क्लासिक, भरोसेमंद उपकरण में बदल जाता है जैसा कि वह था। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका मतलब है कि नई विधि कोई जंगली अनुमान नहीं है; यह एक सुरक्षित अपग्रेड है। दूसरा, उन्होंने सिद्ध किया कि जैसे-जैसे कोहरा घना होता जाता है (यानी माप जितने खराब होते जाते हैं), "सुरक्षित क्षेत्र" चौड़ा होता जाता है, लेकिन यह कभी सिकुड़ता नहीं है या अजीब व्यवहार नहीं करता है। यह एक अनुमानित, स्थिर तरीके से बढ़ता है।

टीम ने 60 वयस्कों के एक वास्तविक डेटासेट पर इसका परीक्षण किया, जिसमें मांसपेशियों के द्रव्यमान (muscle mass) और आयु के बीच संबंध को देखा गया। वास्तविक दुनिया में, मांसपेशियों के द्रव्यमान को मापना सटीक नहीं होता है; यह मशीन के काम करने के तरीके के कारण लगभग ±10% भिन्न हो सकता है, और आयु ±0.5 वर्ष तक गलत हो सकती है क्योंकि लोग राउंड अप या डाउन करते हैं। जब उन्होंने अपने नए HNRA टूल को लागू किया, तो परिणाम केवल एक संख्या नहीं था। इसके बजाय, उन्हें जुड़ाव की मजबूती के लिए एक रेंज मिली: F-सांख्यिकी (एक स्कोर जो बताता है कि साक्ष्य कितने मजबूत हैं) 116.52 और 260.02 के बीच था।

यह क्यों मायने रखता है? पुराने तरीके में, 174.06 (औसत) का स्कोर पहले से ही एक "जीत" माना जाता था क्योंकि यह 4.00 की महत्वपूर्ण सीमा से बहुत अधिक था। लेकिन HNRA के साथ, वैज्ञानिक और भी मजबूती से कह सकते हैं: "सबसे खराब स्थिति में भी, जहाँ त्रुटियाँ अपने पूर्ण अधिकतम स्तर पर हैं, सबसे कम संभव स्कोर अभी भी 116.52 है।" इसका मतलब है कि निष्कर्ष—कि उम्र और मांसपेशियों के द्रव्यमान के बीच निश्चित रूप से संबंध है—पूरी तरह से ठोस है, चाहे हमारे मापने के उपकरण कितने भी डगमगाएं।

पेपर ने यह देखने के लिए 500 कंप्यूटर सिमुलेशन भी चलाए कि यह टूल विभिन्न स्तरों की अव्यवस्था को कैसे संभालता है। उन्होंने पाया कि भले ही उन्होंने मापों को बहुत ही ढीला-ढाला (अनिश्चितता 25% तक) बना दिया, फिर भी टूल कायम रहा, जिससे "सुरक्षित क्षेत्र" चौड़ा बना रहा लेकिन निष्कर्ष स्थिर रहा। हालाँकि, लेखक सावधानीपूर्वक यह नोट करते हैं कि यह टूल उन स्थितियों के लिए सबसे अच्छा है जहाँ आपको ज्ञात मापन त्रुटियों को ध्यान में रखने की आवश्यकता होती है, जैसे कि अस्पताल की लैब या पहनने योग्य फिटनेस ट्रैकर्स में। यह सब कुछ ठीक करने वाला कोई जादू का डंडा नहीं है; यदि डेटा बहुत अधिक बिखरा हुआ है या संकेत बहुत कमजोर है, तो "सुरक्षित क्षेत्र" इतना चौड़ा हो सकता है कि वह मददगार न रहे। लेकिन उन मामलों के लिए जहाँ हम जानते हैं कि हमारे उपकरणों की सीमाएँ हैं, HNRA उन सीमाओं के बारे में ईमानदार होने का एक तरीका प्रदान करता है, जबकि एक भरोसेमंद उत्तर भी देता है। यह कहने का एक तरीका है, "हम जानते हैं कि हमारा पैमाना पूर्ण नहीं है, लेकिन हम यह भी जानते हैं कि वह कितना अपूर्ण है, और हम फिर भी रहस्य सुलझा सकते हैं।"

तकनीकी सारांश: हाइब्रिड न्यूट्रोसोफिक रिग्रेशन एनोवा (HNRA)

समस्या विवरण
शास्त्रीय रिग्रेशन-आधारित विश्लेषण ऑफ वेरियेंस (ANOVA) मात्रात्मक बायोमेडिकल निष्कर्षों का आधार है, लेकिन यह इस धारणा पर निर्भर करता है कि प्रेडिक्टर ( $X$ ) और रिपॉन्स ( $Y$ ) चर सटीक, त्रुटि-मुक्त मात्राओं के रूप में देखे जाते हैं। व्यवहार में, यह धारणा उपकरण अंशांकन सीमाओं (instrument calibration bounds), जैविक परिवर्तनशीलता, सेंसर-रिपोर्टिंग त्रुटियों और स्व-रिपोर्ट किए गए डेटा में राउंडिंग द्वारा नियमित रूप से खंडित होती है। जबकि मौजूदा पद्धतियां—जैसे कि इंटरवल रिग्रेशन, फजी रिग्रेशन और बेयसियन रिग्रेशन—मापन अनिश्चितता को संबोधित करने का प्रयास करती हैं, वे विशिष्ट सीमाओं से ग्रस्त हैं:

इंटरवल रिग्रेशन: अक्सर एक मानक ANOVA अपघटन या पारंपरिक $F$ -सांख्यिकी का अभाव होता है।
फजी रिग्रेशन: इसके लिए व्यक्तिपरक मेंबरशिप फंक्शन पैरामीटराइजेशन की आवश्यकता होती है और इसमें मानक ANOVA टेबल का अभाव होता है।
बेयसियन रिग्रेशन: इसके लिए प्राय वितरण (prior distribution) विनिर्देश की आवश्यकता होती है और यह पोस्टीरियर वितरण प्रदान करता है न कि फ्रीक्वेंटिस्ट $F$ -सांख्यिकी।
मौजूदा न्यूट्रोसोफिक मॉडल: पिछले कार्यों ने न्यूट्रोसोफिक सहसंबंध और सरल रिग्रेशन स्थापित किया है, लेकिन उन्होंने पूर्ण रिग्रेशन ANOVA अपघटन ( $SST_N = SSR_N + SSE_N$ ) के साथ अंतराल-मान वाले मीन स्क्वेयर्स और एक औपचारिक रूप से बाध्य $F$ -सांख्यिकी को व्युत्पन्न नहीं किया है।

परिणामस्वरूप, उन सांख्यिकीय ढांचों में एक अंतराल है जो शास्त्रीय ऑर्डिनरी लीस्ट स्क्वेयर्स (OLS) की व्याख्यात्मकता और गणनात्मक सरलता को बनाए रखते हुए रिग्रेशन ANOVA के सम-ऑफ-स्क्वेयर्स अपघटन के माध्यम से संरचनात्मक मापन अनिश्चितता को प्रसारित कर सकें।

कार्यप्रणाली: HNRA ढांचा
यह शोध पत्र हाइब्रिड न्यूट्रोसोफिक रिग्रेशन एनोवा (HNRA) प्रस्तुत करता है, जो एक ढांचा है जो अवलोकनों को न्यूट्रोसोफिक अंतराल के रूप में दर्शाता है और उन्हें क्लोज्ड इंटरवल अंकगणित (closed interval arithmetic) का उपयोग करके रिग्रेशन ANOVA के माध्यम से प्रसारित करता है।

न्यूट्रोसोफिक अंतराल प्रतिनिधित्व:
अवलोकनों को बंद अंतरालों $A_N = [A_L, A_U]$ में परिवर्तित किया जाता है। एक डेटासेट $(x_i, y_i)$ के लिए, न्यूट्रोसोफिक निरूपण इस प्रकार परिभाषित हैं:

$X_{i,N} = [x_i - \delta_x, x_i + \delta_x]$
$Y_{i,N} = [(1-\delta_y)y_i, (1+\delta_y)y_i]$
जहाँ $\delta_x$ और $\delta_y$ क्रमशः प्रेडिक्टर्स और रिस्पॉन्स के लिए गैर-ऋणात्मक अनिश्चितता पैरामीटर हैं।

मॉडल फॉर्मूलेशन:
HNRA मॉडल अंतरालों के मिडपॉइंट्स से गणना किए गए शास्त्रीय OLS गुणांक अनुमानों ( $\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1$ ) को बनाए रखता है। मॉडल को $Y_{i,N} = \beta_0 + \beta_1 X_{i,N} + \epsilon_{i,N}$ के रूप में व्यक्त किया गया है।

फिटेड वैल्यूज: इन्हें इंटरवल अंकगणित का उपयोग करके गणना किया जाता है, जिसमें $[L, U]$ ऑर्डरिंग बनाए रखने के लिए $\beta_1 < 0$ होने पर बाउंड स्वैपिंग लागू की जाती है।
सम्स ऑफ स्क्वेयर्स: टोटल ( $SST_N$ ), रिग्रेशन ( $SSR_N$ ), और एरर ( $SSE_N$ ) सम्स ऑफ स्क्वेयर्स की गणना जोड़, घटाव और वर्ग के नियमों के लिए क्लोज्ड-इंटरवल अंकगणित का उपयोग करके अंतराल के रूप में की जाती है।
$F$ -सांख्यिकी: अंतराल-मान वाले $F$ -सांख्यिकी को $F_N = [F_L, F_U] = [MSR_L / MSE_U, MSR_U / MSE_L]$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ मीन स्क्वेयर्स की गणना अंतराल सम-ऑफ-स्क्वेयर्स से की जाती है।

निर्णय वर्गीकरण:
यह ढांचा $F$ -अंतराल $[F_L, F_U]$ और शास्त्रीय क्रिटिकल वैल्यू $F^*$ के बीच संबंध के आधार पर तीन-तरफा सार्थकता वर्गीकरण पेश करता है:

यूनिफॉर्मली सिग्निफिकेंट (Uniformly Significant): $F_L > F^*$ (अनिश्चितता के सभी वास्तविकताओं में सार्थकता सुनिश्चित)।
यूनिफॉर्मली नॉन-सिग्निफिकेंट (Uniformly Non-Significant): $F_U < F^*$ .
अनसर्टेन्टी-सेंसिटिव रीजन (Uncertainty-Sensitive Region): $F_L \leq F^* \leq F_U$ (निष्कर्ष अनिश्चितता के भीतर विशिष्ट वास्तविकता पर निर्भर करता है)।

प्रमुख सैद्धांतिक योगदान
यह शोध पत्र चार सैद्धांतिक परिणाम स्थापित करता है जो सिद्ध करते हैं कि HNRA एक रूढ़िवादी (conservative), सुव्यवस्थित सामान्यीकरण है:

डिकंपोजिशन थ्योरम: सिद्ध करता है कि इंटरवल अंकगणित के तहत $SST_N \approx SSR_N + SSE_N$ घटकवार रूप से लागू होता है, जिसमें विसंगति अनिश्चितता पैरामीटर्स ( $O(\delta_x + \delta_y)$ ) के एक फलन द्वारा सीमित है।
कनवर्जेंस थ्योरम: प्रदर्शित करता है कि जैसे-जैसे अनिश्चितता पैरामीटर ( $\delta_x, \delta_y$ ) शून्य की ओर बढ़ते हैं, सभी HNRA अंतराल-मान वाली मात्राएं बिल्कुल अपने शास्त्रीय क्रिस्प समकक्षों में परिवर्तित हो जाती हैं।
मोनोटोनिसिटी थ्योरम: यह स्थापित करता है कि सभी अंतराल-मान वाले सांख्यिकी (F-सांख्यिकी सहित) की चौड़ाई अनिश्चितता बढ़ने के साथ मोनोटोनिक रूप से बढ़ती है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि अनिश्चितता बजट में वृद्धि कभी भी निष्कर्षों को भ्रामक रूप से संकुचित नहीं करती है।
बाउंडेडनेस एंड पॉजिटिविटी थ्योरम: सिद्ध करता है कि यदि मीन स्क्वेयर्स के लोअर बाउंड सकारात्मक हैं, तो अंतराल $F$ -सांख्यिकी सख्ती से सकारात्मक और परिमित (finite) है। एक कोरोलरी गारंटी देती है कि यदि निचला बाउंड $F_L$ शास्त्रीय क्रिटिकल वैल्यू से अधिक है, तो यूनिफॉर्म सांख्यिकीय सार्थकता प्राप्त होती है।

प्रायोगिक परिणाम
ढांचे को एक बायोमेडिकल डेटासेट ( $n=60$ ) का उपयोग करके मान्य किया गया जो उम्र के साथ मांसपेशी द्रव्यमान (muscle mass) के संबंध को दर्शाता है, जिसमें $\pm 10\%$ रिस्पॉन्स अनिश्चितता और $\pm 0.5$ -वर्ष प्रेडिक्टर अनिश्चितता थी।

अनुप्रयोग: शास्त्रीय $F$ -सांख्यिकी 174.06 थी। HNRA परिणाम ने $F_N = [116.52, 260.02]$ दिया। चूंकि निचला बाउंड (116.52) क्रिटिकल वैल्यू ( $F^* \approx 4.00$ ) से बहुत अधिक था, इसलिए इसे यूनिफॉर्मली सिग्निफिकेंट के रूप में वर्गीकृत किया गया।
सेंसिटिविटी एनालिसिस: 5% से 25% तक अनिश्चितता स्तरों के बीच, $F_N$ की अंतराल चौड़ाई मोनोटोनिक रूप से बढ़ी, लेकिन निचला बाउंड क्रिटिकल थ्रेशोल्ड से काफी ऊपर रहा, जो उच्च अनिश्चितता के तहत निष्कर्ष की स्थिरता की पुष्टि करता है।
सिमुलेशन स्टडी: 500 पुनरावृत्तियों के एक अध्ययन ने पुष्टि की कि शास्त्रीय अनुमान लगातार HNRA अंतरालों के भीतर आते हैं। 18,000 डेटासेट्स के एक विस्तारित फैक्टोरियल सिमुलेशन ने दिखाया कि जब एरर मीन स्क्वायर सकारात्मक रहता है, तो HNRA अंतरालों द्वारा शास्त्रीय $F$ मानों का 100% कवरेज किया गया।
बॉर्डरलाइन परिदृश्य: कमजोर प्रभाव आकार वाले सिंथेटिक परिदृश्यों ने "अनसर्टेन्टी-सेंसिटिव रीजन" को प्रदर्शित किया, जहाँ शास्त्रीय ANOVA सार्थकता रिपोर्ट कर सकता है जबकि HNRA सही ढंग से पहचानता है कि निष्कर्ष मापन अनिश्चितता के प्रति नाजुक है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि HNRA सांख्यिकीय निष्कर्ष में एक विशिष्ट स्थान प्रदान करता है क्योंकि यह:

व्याख्यात्मकता को बनाए रखता है: यह शास्त्रीय OLS गुणांकों का उपयोग करता है, जिससे इसके परिणाम फ्रीक्वेंटिस्ट रिग्रेशन से प्रशिक्षित पेशेवरों के लिए परिचित रहते हैं।
वितरण संबंधी धारणाओं को समाप्त करता है: बेयियन विधियों के विपरीत, इसमें किसी प्राय (priors) की आवश्यकता नहीं है; फजी विधियों के विपरीत, इसमें किसी मेंबरशिप फंक्शन पैरामीटराइजेशन की आवश्यकता नहीं है।
औपचारिक गारंटी प्रदान करता है: यह एक पूर्ण ANOVA अपघटन और एक बाध्य $F$ -सांख्यिकी प्रदान करता है, जिसमें अभिसरण (convergence) और मोनोटोनिसिटी के सिद्ध गुण हैं, जो पूर्व न्यूट्रोसोफिक रिग्रेशन साहित्य में अनुपस्थित थे।
नियामक आवश्यकताओं को संबोधित करता है: यह ढांचा नैदानिक प्रयोगशाला विज्ञान और महामारी विज्ञान के लिए सीधे तौर पर लागू करने योग्य है जहाँ मानक (जैसे ISO 5725, CLSI) विश्लेषणात्मक परिणामों के साथ मापन अनिश्चितता की रिपोर्टिंग की आवश्यकता रखते हैं।

सीमाएं और भविष्य का कार्य
लेखक स्पष्ट रूप से निम्नलिखित सीमाओं को नोट करते हैं:

टाइप-I एरर कंट्रोल: न्यूट्रोसोफिक अंतरालों के तहत औपचारिक टाइप-I एरर नियंत्रण अभी तक स्थापित नहीं किया गया है; अतः, HNRA वर्तमान में एक पूर्णतः मान्य फ्रीक्वेंटिस्ट हाइपोथेसिस टेस्ट के बजाय एक मजबूत वर्णनात्मक और संवेदनशीलता-विश्लेषणात्मक उपकरण के रूप में स्थित है।
ऑपरेटिंग एनवेलप: कम-सिग्नल वाले उच्च-अनिश्चितता वाले शासन में, $F$ -अंतराल अनभिज्ञ रूप से चौड़ा हो सकता है ("अनसर्टेन्टी-सेंसिटिव रीजन"), और एरर मीन स्क्वायर का निचला बाउंड ( $MSE_L$ ) शून्य के करीब पहुंच सकता है।
दायरा: वर्तमान फॉर्मूलेशन सरल रिग्रेशन ( $k=1$ ) तक सीमित है। मल्टीपल रिग्रेशन, असममित अनिश्चितता बाउंड्स, और अंतराल-मान वाले मॉडल चयन मानदंडों (जैसे AIC) तक विस्तार को भविष्य के कार्य के रूप में पहचाना गया है।

तकनीकी सारांश: हाइब्रिड न्यूट्रोसोफिक रिग्रेशन एनोवा (HNRA)

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