Exact Solutions for Relative Magnetic Field Effects on Casson Hybrid Nanofluid Flow with Exponential thermal Memory

तकनीकी सारांश: घातांकीय तापीय स्मृति (Exponential Thermal Memory) के साथ कैसन हाइब्रिड नैनोफ्लुइड प्रवाह पर सापेक्ष चुंबकीय क्षेत्र प्रभावों के लिए सटीक समाधान

समस्या विवरण
यह अध्ययन एक ऊर्ध्वाधर छिद्रयुक्त चैनल (vertical porous channel) के भीतर एक कैसन हाइब्रिड नैनोफ्लुइड (HNF) के अस्थिर मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक (MHD) प्रवाह और ऊष्मा स्थानांतरण (HT) को संबोधित करता है। इस तरल पदार्थ को पानी और एथिलीन ग्लाइकॉल आधार तरल के 50:50 मिश्रण के रूप में मॉडल किया गया है जिसमें मैग्नेटाइट फेराइट ($Fe_3O_4$) और कोबाल्ट फेराइट ($CoFe_2O_4$) नैनोकण शामिल हैं। शास्त्रीय ऊष्मा स्थानांतरण मॉडलिंग में एक महत्वपूर्ण सीमा तात्कालिक तापीय प्रतिक्रिया (instantaneous thermal response) की धारणा है जो फूरियर के नियम (Fourier's law) पर आधारित है, जो जटिल तरल पदार्थों में मेमोरी प्रभावों और गैर-स्थानीय घटनाओं को पकड़ने में विफल रहती है। इसके अलावा, मौजूदा MHD मॉडल अक्सर एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र मानते हैं जो तरल के सापेक्ष स्थिर रहता है, जिससे चुंबकीय क्षेत्र और प्रवाह के बीच सापेक्ष गति के प्रभाव की उपेक्षा होती है। यह शोध एक फ्रैक्शनल थर्मल मेमोरी मॉडल को शामिल करके और दो विशिष्ट चुंबकीय क्षेत्र विन्यासों का विश्लेषण करके इन कमियों की जांच करता है: एक जो तरल के सापेक्ष स्थिर है और दूसरा जो चलती हुई प्लेट के सापेक्ष स्थिर है।

कार्यप्रणाली
गणितीय सूत्रीकरण गैर-न्यूटनियन व्यवहार के लिए कैसन फ्लूइड मॉडल का उपयोग करता है और कैपुटो-फैब्रिसियो फ्रैक्शनल इंटीग्रल (CFFI) ऑपरेटर पर आधारित एक सामान्यीकृत ऊष्मा चालन मॉडल का उपयोग करता है। CFFI ऑपरेटर का उपयोग शास्त्रीय फूरियर नियम को संशोधित करने के लिए किया जाता है, जो तापीय स्मृति प्रभावों (thermal memory effects) को दर्शाने के लिए एक घातांकीय कर्नेल (exponential kernel) पेश करता है। ऊर्ध्वाधर चैनल के लिए बाध्यकारी स्थितियों (boundary conditions) के साथ युग्मित गति और ऊर्जा समीकरणों को गैर-विमीय (non-dimensionalized) बनाया गया है।

सटीक विश्लेणात्मक समाधान प्राप्त करने के लिए, लेखक लाप्लास ट्रांसफॉर्म (LT) और फाइनाइट फूरियर साइन ट्रांसफॉर्म (FFST) के संयोजन का उपयोग करते हैं। यह द्वि-रूपांतरण दृष्टिकोण फ्रैक्शनल समीकरणों को अलग करने और उन्हें हल करने की अनुमति देता है। अध्ययन तापमान और वेग प्रोफाइल के लिए बंद रूप (closed-form) वाले विश्लेणात्मक व्यंजक प्राप्त करता है। इसके अतिरिक्त, दोनों चैनल दीवारों के लिए स्थानीय नुसेल्ट संख्या ($Nu$) और स्किन फ्रिक्शन गुणांक ($C_f$) के स्पष्ट सूत्र भी व्युत्पन्न किए गए हैं। हाइब्रिड नैनोफ्लuid के ऊष्मीय भौतिक गुणों की गणना घनत्व, श्यानता (viscosity), विद्युत चालकता, तापीय प्रसार और तापीय चालकता के स्थापित सहसंबंधों का उपयोग करके की गई है।

प्रमुख योगदान
यह शोध फ्रैक्शनल फ्लूइड डायनेमिक्स और ऊष्मा स्थानांतरण के क्षेत्र में कई विशिष्ट योगदान प्रस्तुत करता है:

• फ्रैक्शनल थर्मल मॉडलिंग: यह अध्ययन CFFI ऑपरेटर का उपयोग करके मानक फूरियर ऊष्मा चालन समीकरण को सामान्यीकृत करता है, जो तापीय स्मृति को मॉडल करने के लिए एक गैर-विलक्षण घातांकीय कर्नेल (non-singular exponential kernel) का उपयोग करता है।
• सापेक्ष चुंबकीय क्षेत्र विश्लेषण: मानक मॉडलों के विपरीत, यह कार्य दो चुंबकीय क्षेत्र विन्यासों की स्पष्ट रूप से तुलना करता है: एक जो हाइब्रिड नैनोफ्लुइड के सापेक्ष स्थिर है ($\epsilon=0$) और दूसरा जो चलती हुई प्लेट के सापेक्ष स्थिर है ($\epsilon=1$)।
• सटीक विश्लेणात्मक समाधान: एक फ्रैक्शनल MHD कैसन HNF प्रणाली के लिए तापमान और वेग प्रोफाइल दोनों के सटीक समाधानों का व्युत्पन्न, जो शुद्ध संख्यात्मक सन्निकटन (numerical approximations) की आवश्यकता को समाप्त करता है।
• व्यापक पैरामीटर अध्ययन: विश्लेषण फ्रैक्शनल पैरामीटर ($\alpha$), नैनोकण आयतन अंश ($\phi$), कैसन फ्लूइड पैरामीटर ($\beta_0$), चुंबकीय पैरामीटर ($M$), पारगम्यता पैरामीटर ($K$), ऊष्मा उत्पादन/अवशोषण पैरामीटर ($Q$), और सापेक्ष चुंबकीय क्षेत्र पैरामीटर ($\epsilon$) के प्रभाव की जांच करता है।
• बेंचमार्किंग: सटीक समाधान भविष्य के फ्रैक्शनल MHD कैसन HNF समस्याओं के लिए विकसित संख्यात्मक विधियों को मान्य करने हेतु बेंचमार्क के रूप में कार्य करते हैं।

परिणाम और चर्चा
ग्राफिकल और संख्यात्मक परिणाम निम्नलिखित भौतिक व्यवहारों को प्रकट करते हैं:

• तापीय स्मृति ($\alpha$): फ्रैक्शनल पैरामीटर $\alpha$ को बढ़ाने से (शास्त्रीय मामले जहाँ $\alpha=0$ है उससे दूर जाने पर) तापमान प्रोफाइल कम हो जाता है। यह मजबूत मेमोरी प्रभाव के कारण होता है, जो तापीय प्रसार प्रक्रिया को शास्त्रीय फurier चालन की तात्कालिक प्रतिक्रिया की तुलना में कम कुशल बनाता है।
• नैनोकण सांद्रता ($\phi$): हाइब्रिड नैनोकण आयतन अंश में वृद्धि बेहतर तापीय चालकता के कारण तापमान प्रोफाइल को बढ़ाती है। यह बदले में उछाल बल (buoyancy force) को मजबूत करती है, जिससे तरल का वेग बढ़ जाता है।
• ऊष्मा अवशोषण ($Q$): पैरामीटर $Q$ एक ऊष्मा सिंक (heat sink) के रूप में कार्य करता है। $Q$ को बढ़ाने से तापीय ऊर्जा को निकालने और उछाल-संचालित प्रवाह को कमजोर करने के कारण तापमान और वेग दोनों प्रोफाइल कम हो जाते हैं।
• कैसन पैरामीटर ($\beta_0$): $\beta_0$ को बढ़ाने से तरल की आभासी प्लास्टिक श्यानता और यील्ड स्ट्रेस कम हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप उच्च प्रवाह वेग प्राप्त होता है।
• चुंबकीय क्षेत्र ($M$): चुंबकीय क्षेत्र एक लोरेन्त्ज़ बल उत्पन्न करता है जो प्रवाह का विरोध करता है, जिससे वेग काफी कम हो जाता है। यह ब्रेकिंग प्रभाव तब अधिक स्पष्ट होता है जब चुंबकीय क्षेत्र चलती हुई प्लेट के सापेक्ष स्थिर ($\epsilon=1$) होता है, बजाय इसके कि वह हाइब्रिड नैनोफ्लुइड के सापेक्ष स्थिर ($\epsilon=0$) हो।
• पारगम्यता ($K$): उच्च पारगम्यता डार्सी ड्रैग बल को कम करती है, जिससे तरल का वेग बढ़ जाता है।
• सापेक्ष चुंबकीय क्षेत्र ($\epsilon$): वह विन्यास जहाँ चुंबकीय क्षेत्र चलती हुई प्लेट के सापेक्ष स्थिर होता है, लगातार हाइब्रिड नैनोफ्लुइड के सापेक्ष स्थिर विन्यास की तुलना में उच्च वेग प्रोफाइल प्रदान करता है।
• इंजीनियरिंग मात्राएँ: नुसेल्ट संख्या और स्किन फ्रिक्शन गुणांक को फ्रैक्शनल पैरामीटर, नैनोकण सांद्रता और चुंबकीय क्षेत्र के ओरिएंटेशन के प्रति अत्यधिक संवेदनशील दिखाया गया है। विशेष रूप से, $\alpha$ और $\phi$ को बढ़ाने से बाएं सीमा पर स्किन फ्रिक्शन आम तौर पर बढ़ता है और दाएं सीमा पर कतरनी तनाव (shear stress) वितरण को बदल देता है।

महत्व और दावे
लेखकों का दावा है कि इस कार्य का प्राथमिक महत्व सापेक्ष चुंबकीय क्षेत्र प्रभावों और फ्रैक्शनल थर्मल मेमोरी के साथ अस्थिर MHD प्रवाह के कठोर विश्लेणात्मक उपचार में निहित है। सटीक समाधान प्रदान करके, यह अध्ययन यह समझने के लिए एक सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है कि तापीय स्मृति और चुंबकीय क्षेत्र विन्यास, कैसन हाइब्रिड नैनोफ्लुइड के हाइड्रोडायनामिक और तापीय गुणों को कैसे प्रभावित करते हैं। परिणाम बताते हैं कि फ्रैक्शनल पैरामीटर तापीय चालन को विनियमित करने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण के रूप में कार्य करता है और चुंबकीय क्षेत्र की सापेक्ष गति प्रेरित लोरेन्त्ज़ बल और आगामी प्रवाह विशेषताओं को निर्धारित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। अध्ययन निष्कर्ष निकालता है कि ये अंतःक्रियाएं गैर-न्यूटनियन तरल पदार्थों और छिद्रयुक्त माध्यमों (porous media) से संबंधित अनुप्रयोगों में प्रभावी ऊष्मा स्थानांतरण प्रबंधन प्रणालियों के डिजाइन के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।