An Efficient Estimator of Population Mean Using a Poisson Regression-Based Approach: Simulation and Theoretical Efficiency Analysis

तकनीकी सारांश: पॉइजन रिग्रेशन-आधारित दृष्टिकोण का उपयोग करके जनसंख्या माध्य का एक कुशल अनुमानक

समस्या विवरण
नमूना सर्वेक्षण सिद्धांत (sample survey theory) में, जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाना एक प्राथमिक उद्देश्य है, जिसे अक्सर सहायक चरों (auxiliary variables) का उपयोग करके बढ़ाया जाता है। जब अध्ययन और सहायक चरों के बीच एक सकारात्मक संबंध होता है, तो अनुपात (ratio) और रिग्रेशन अनुमानकों का उपयोग मानक रूप से किया जाता है, लेकिन पारंपरिक रैखिक मॉडल (linear models) अक्सर गणना डेटा (count data) के लिए अनुपयुक्त होते हैं। रैखिक मॉडल नकारात्मक भविष्यवाणियाँ कर सकते हैं और स्थिर प्रसरण (constant variance) की धारणा का उल्लंघन कर सकते हैं, जो परिकल्पना परीक्षण (hypothesis testing) के लिए महत्वपूर्ण है। हालांकि पॉइजन रिग्रेशन (Poisson regression) गणना प्रतिक्रियाओं को मॉडल करने के लिए मानक है, लेकिन एक अधिक कुशल जनसंख्या माध्य अनुमानक की आवश्यकता है जो विशेष रूप से सरल यादृच्छिक नमूनाकरण (Simple Random Sampling - SRS) के तहत पॉइजन रिग्रेशन ढांचे का लाभ उठा सके, विशेष रूप से तब जब प्रतिस्पर्धी अनुमानक (जैसे कि कडीलर और सिंगी या कोच द्वारा विकसित) गणना डेटा के वितरण गुणों का पूर्ण उपयोग नहीं कर पाते हैं।

कार्यप्रणाली
यह अध्ययन एक नए अनुमानक $Z^*$ का प्रस्ताव करता है, जिसे गणना डेटा के लिए SRS के तहत उपयोग के लिए डिज़ाइन किया गया है। कार्यप्रणाली इस प्रकार है:

1. सैद्धांतिक ढांचा: अध्ययन एक पॉइजन रिग्रेशन मॉडल का उपयोग करता है जहाँ अध्ययन चर $Y_i$ एक पॉइजन वितरण का अनुसरण करने वाली घटनाओं की गणना को दर्शाता है। ढलान गुणांक ($b_P$) पारंपरिक लीस्ट स्क्वायर्स के बजाय इस पॉइजन रिग्रेशन मॉडल से प्राप्त किया गया है।
2. प्रस्तावित अनुमानक का निर्माण: राघव एवं अन्य और कोच से प्रेरित होकर, लेखक नए अनुमानक $Z^*$ को एक संशोधित अनुपात पद और एक रिग्रेशन पद के संयोजन के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसमें सहायक चर के माध्यों के अंतर और योग के अनुपात के घातांक फलन (exponential function) को शामिल किया गया है:
   $$Z^* = \left[ \alpha \bar{y} \left\{ \frac{1}{2} \left( \frac{\bar{X}}{\bar{x}} + \frac{\bar{x}}{\bar{X}} \right) \right\} + b_P(\bar{X} - \bar{x}) \right] \exp\left( \frac{\bar{X} - \bar{x}}{\bar{X} + \bar{x}} \right)$$
   यहाँ, $\alpha$ एक अदिश स्थिरांक (scalar constant) है जो माध्य वर्ग त्रुटि (Mean Square Error - MSE) को न्यूनतम करके निर्धारित किया जाता है।
3. गुणों का व्युत्पन्न: प्रथम-क्रम सन्निकटन (first-order approximation) और त्रुटि पदों ($\epsilon_0, \epsilon_1$) का उपयोग करते हुए, लेखक $Z^*$ के बायस (Bias) और MSE के व्यंजक प्राप्त करते हैं। MSE को $MSE(Z^*) = \alpha^2 A + \alpha B + C$ के रूप में व्यक्त किया गया है। $\alpha$ का इष्टतम मान इस व्यंजक को न्यूनतम करके ($\alpha = -B/2A$) प्राप्त किया जाता है, जिससे न्यूनतम MSE: $MSE_{min} = C - B^2/4A$ प्राप्त होता है।
4. तुलनात्मक विश्लेषण: $Z^*$ की सैद्धांतिक दक्षता की तुलना निम्नलिखित के विरुद्ध की गई है:
   • कडीलर और सिंगी द्वारा पारंपरिक अनुपात अनुमानक ($\bar{y}_{KC1}$ से $\bar{y}_{KC5}$)।
   • कोच द्वारा पॉइजन रिग्रेशन-आधारित अनुपात अनुमानक ($\bar{y}_1$ से $\bar{y}_5$)।
   • शाहजाद एवं अन्य द्वारा पॉइसन रिग्रेशन-आधारित माध्य अनुमानक ($\bar{y}_U$)।
   • जाना एवं अन्य द्वारा पॉइसन रिग्रेशन-आधारित अनुपात-सह-रिग्रेशन अनुमानक ($Z_1$ से $Z_5$)।

मुख्य योगदान और परिणाम
यह शोध वास्तविक दुनिया के डेटासेट का उपयोग करके अनुभवजन्य अध्ययनों और व्यापक सिमुलेशन अध्ययनों के माध्यम से प्रस्तावित अनुमानक को मान्य करता है।

• अनुभवजन्य अध्ययन: दो वास्तविक जनसंख्याओं का विश्लेषण किया गया:

  1. जनसंख्या I: वायु प्रदूषण डेटा (अफयोन, तुर्की), जो साप्ताहिक अस्पताल में भर्ती होने ($Y$) को PM10 स्तरों ($X$) से जोड़ता है।
  2. जनसंख्या II: यातायात दुर्घटना डेटा (तुर्की, 2019), जो यातायात से होने वाली मौतों ($Y$) को मोटर वाहनों की संख्या ($X$) से जोड़ता है।
     दोनों मामलों में, प्रस्तावित अनुमानक $Z^*$ ने सबसे कम माध्य वर्ग त्रुटि (MSE) और उच्चतम प्रतिशत सापेक्ष दक्षता (Percentage Relative Efficiency - PRE) प्रदर्शित की। जनसंख्या II के लिए, $Z^*$ ने पारंपरिक अनुमानक $\bar{y}_1$ के सापेक्ष 2323.13% की PRE प्राप्त की, जो सभी प्रतिस्पर्धी अनुमानकों से काफी बेहतर प्रदर्शन करती है।

• सिमुलेशन अध्ययन: R सॉफ्टवेयर का उपयोग करके एक सिमुलेशन किया गया जहाँ एक परिमित जनसंख्या ($N=1000$) थी जहाँ $X$ एक समान वितरण (uniform distribution) का पालन करता था और $Y$ एक पॉइजन वितरण का पालन करता था जहाँ $\lambda = \exp(\beta_0 + \beta_1 X)$। अध्ययन ने नमूना आकार ($n=20, 30, 40$) और रिग्रेशन गुणांक ($\beta_1 = 0.75, 0.85, 0.95$) को परिवर्तित किया।

  • सभी परिदृश्यों में, $Z^*$ ने कडीलर और सिंगी, कोच, और जाना एवं अन्य के अनुमानकों की तुलना में लगातार न्यूनतम MSE और अधिकतम PRE प्रदान किया।
  • परिणामों ने पुष्टि की कि जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है, सभी अनुमानकों के लिए MSE कम होता जाता है, लेकिन प्रस्तावित अनुमानक ने श्रेष्ठ दक्षता बनाए रखी।

महत्व और दावे
लेखक का दावा है कि प्रस्तावित अनुमानक $Z^*$ गणना डेटा के जनसंख्या माध्य के अनुमान के लिए मौजूदा विधियों की तुलना में सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सुधार प्रदान करता है। अध्ययन यह दावा करता है कि:

• बायस और MSE का सैद्धांतिक व्युत्पन्न अनुमानक के प्रदर्शन के लिए एक मजबूत आधार प्रदान करता है।
• अनुभवजन्य और सिमुलेशन परिणाम इस बात की पुष्टि करते हैं कि $Z^*$ पारंपरिक अनुपात अनुमानकों और साहित्य में वर्तमान में उपलब्ध अन्य पॉइसन रिग्रेशन-आधारित दृष्टिकोणों की तुलना में अधिक कुशल है।
• पॉइजन ढांचे के भीतर घातांक फलन (exponential function) और अनुपात तथा रिग्रेशन पदों का विशिष्ट संयोजन गणना डेटा के लिए अध्ययन और सहायक चरों के बीच संबंध को प्रभावी ढंग से पकड़ता है।

शोध निष्कर्ष निकालता है कि जहाँ सहायक जानकारी उपलब्ध हो, वहाँ गणना डेटासेट के विश्लेषण के लिए $Z^*$ की अनुशंसा की जाती है। लेखक विनम्रतापूर्वक सुझाव देते हैं कि भविष्य के कार्य इस कार्यप्रणाली को ओवर-डिस्पर्शन (over-dispersion), अतिरिक्त शून्य (जीरो-इन्फ्लेटेड मॉडल के माध्यम से), लुप्त डेटा (missing data), और अन्य नमूना डिजाइनों जैसे कि स्तरीकृत (stratified) या रैंक सेट सैंपलिंग को संभालने के लिए विस्तारित कर सकते हैं, लेकिन वे यह दावा नहीं करते हैं कि ये विस्तार वर्तमान अध्ययन में प्राप्त किए गए हैं।