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An Efficient Estimator of Population Mean Using a Poisson Regression-Based Approach: Simulation and Theoretical Efficiency Analysis

Este artículo propone y valida un nuevo estimador basado en la regresión de Poisson para la media poblacional bajo un muestreo aleatorio simple, demostrando a través de análisis teórico, estudios empíricos en salud ambiental y seguridad en el transporte, y simulaciones que supera a los estimadores de razón tradicionales en términos de error cuadrático medio.

Autores originales: Rajesh Singh, Shobh Nath Tiwari, Yashveer Singh

Publicado 2026-09-28

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CC BY 4.0

Autores originales: Rajesh Singh, Shobh Nath Tiwari, Yashveer Singh

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En el mundo de la estadística, los investigadores a menudo se enfrentan a un desafío similar al de intentar adivinar el peso promedio de cada manzana en un vasto huerto sin pesarlas todas. Para hacer una mejor conjetura, buscan una pista útil, o "variable auxiliar", que ya se conoce para todo el huerto, como el promedio de hojas en los árboles. Si el número de hojas está estrechamente relacionado con el peso del fruto, usar esa información puede agudizar la estimación. Esta es la base de la estimación por razón, un método que se ha perfeccionado durante décadas para mejorar la precisión. Sin embargo, este enfoque tradicional choca contra un muro cuando los datos que se cuentan —como el número de visitas al hospital o accidentes de tráfico— no siguen una curva suave y predecible. Los datos de conteo a menudo se comportan de manera diferente, con muchos ceros y picos ocasionales que rompen los supuestos de los modelos lineales estándar. Cuando estas herramientas estándar se fuerzan sobre tales datos, pueden producir resultados imposibles, como predecir números negativos de accidentes, o simplemente no capturar el patrón real.

Para resolver esto, un equipo de investigadores de la Universidad Hindú de Benarés en la India ha desarrollado una nueva forma de estimar promedios de población que está diseñada específicamente para datos de conteo. En lugar de forzar los datos en una línea recta, utilizaron un modelo de regresión de Poisson, una herramienta estadística construida para manejar conteos que varían naturalmente en el tiempo o el espacio. Los investigadores propusieron una nueva fórmula matemática que combina este enfoque de regresión especializada con el concepto de utilizar información auxiliar. Probaron este nuevo estimador contra varios métodos existentes utilizando datos del mundo real de dos campos muy diferentes: contaminación del aire y seguridad vial. En un caso, analizaron las admisiones hospitalarias semanales por problemas respiratorios junto con los niveles de contaminación del aire; en el otro, examinaron las fatalidades de tráfico frente al número de vehículos de motor en diversas provincias. Los resultados fueron sorprendentes. En el conjunto de datos de seguridad vial, el nuevo método redujo el error de la estimación por un margen masivo, desempeñándose miles de veces mejor que la línea base estándar en algunas comparaciones.

Los investigadores no se detuvieron en ejemplos del mundo real; también realizaron miles de simulaciones computacionales para ver cómo se mantendría el método bajo diferentes condiciones. Generaron poblaciones artificiales donde la relación entre los datos de conteo y la pista auxiliar variaba en fuerza, y probaron tamaños de muestra que iban desde pequeños hasta moderadamente grandes. En cada escenario, el nuevo estimador superó consistentemente a los métodos antiguos y tradicionales. Produjo promedios más precisos con menos error, independientemente de si el tamaño de la muestra era pequeño o grande, o de qué tan fuertemente estaban vinculadas las variables. El estudio sugiere que para cualquiera que trabaje con datos de conteo —como epidemiólogos que rastrean casos de enfermedades o planificadores urbanos que monitorean accidentes— este nuevo enfoque ofrece una forma significativamente más confiable de entender el promedio real de una población.

El núcleo del descubrimiento reside en cómo la nueva fórmula maneja la relación entre la información conocida y el conteo desconocido. Los métodos tradicionales a menudo tratan la conexión entre las variables como una línea recta simple, lo que puede conducir a errores cuando los datos están sesgados o contienen valores extremos. El nuevo enfoque, sin embargo, utiliza un tipo específico de curva que respeta la naturaleza de los datos de conteo, asegurando que las predicciones permanezcan realistas y positivas. Al ajustar las constantes dentro de esta fórmula, los investigadores encontraron un "punto ideal" que minimiza la diferencia entre el promedio estimado y el promedio real. En sus pruebas con datos reales, el nuevo método logró un nivel de precisión que los estimadores de razón más antiguos simplemente no podían igualar. Por ejemplo, al analizar muertes por accidentes de tráfico, el nuevo estimador fue casi veintitrés veces más eficiente que el método estándar utilizado como línea base, lo que significa que requería muchos menos datos para lograr el mismo nivel de certeza.

Si bien el estudio se centró en conjuntos de datos y escenarios simulados específicos, las implicaciones para la práctica estadística son claras. Los autores demuestran que aferrarse a los métodos lineales tradicionales para los datos de conteo puede conducir a resultados subóptimos, y que cambiar a un modelo de regresión diseñado para conteos puede mejorar drásticamente la precisión. Reconocen que su trabajo es un paso adelante, pero no la última palabra. Los investigadores señalan que el trabajo futuro podría abordar situaciones aún más complejas, como datos con un número excesivo de ceros o valores faltantes, adaptando su método a modelos más especializados. Por ahora, el estudio proporciona una herramienta robusta y probada para mejorar la precisión de las estimaciones de población en campos donde contar eventos es esencial, ofreciendo una imagen más clara de la realidad que los métodos que actualmente se usan de forma generalizada.

Resumen Técnico: Un Estimador Eficiente de la Media Poblacional Mediante un Enfoque Basado en la Regresión de Poisson

Planteamiento del Problema
En la teoría de encuestas de muestreo, estimar la media poblacional es un objetivo primordial, que a menudo se mejora utilizando información auxiliar. Mientras que los estimadores de razón y de regresión son estándares cuando existe una relación positiva entre las variables de estudio y auxiliares, los modelos de regresión lineal clásica son frecuentemente inapropiados para datos de conteo. Los modelos lineales pueden producir predicciones negativas y violar el supuesto de varianza constante, lo cual es crítico para las pruebas de hipótesis. Aunque la regresión de Poisson es el estándar para modelar respuestas de conteo, existe la necesidad de estimadores más eficientes de la media poblacional que aprovechen específicamente el marco de la regresión de Poisson bajo el Muestreo Aleatorio Simple (MAS), particularmente cuando los estimadores competidores (como los de Kadilar y Cingi o Koç) pueden no explotar plenamente las propiedades distribucionales de los datos de conteo.

Metodología
El estudio propone un nuevo estimador para la media poblacional, denotado como $Z^*$ , diseñado para su uso bajo MAS con datos de conteo. La metodología procede de la siguiente manera:

Marco Teórico: El estudio utiliza un modelo de regresión de Poisson donde la variable de estudio $Y_i$ representa conteos de eventos que siguen una distribución de Poisson. El coeficiente de la pendiente ( $b_P$ ) se deriva de este modelo de regresión de Poisson en lugar de la regresión de mínimos cuadrados tradicional.
Construcción del Estimador Propuesto: Inspirados en Raghav et al. y Koç, los autores definen el nuevo estimador $Z^*$ como una combinación de un término de razón modificado y un término de regresión, incorporando una función exponencial de la razón entre la diferencia y la suma de las medias de la variable auxiliar:
$Z^* = \left[ \alpha \bar{y} \left\{ \frac{1}{2} \left( \frac{\bar{X}}{\bar{x}} + \frac{\bar{x}}{\bar{X}} \right) \right\} + b_P(\bar{X} - \bar{x}) \right] \exp\left( \frac{\bar{X} - \bar{x}}{\bar{X} + \bar{x}} \right)$
Aquí, $\alpha$ es una constante escalar determinada mediante la minimización del Error Cuadrático Medio (ECM).
Derivación de Propiedades: Utilizando la aproximación de primer orden y términos de error ( $\epsilon_0, \epsilon_1$ ), los autores derivan las expresiones para el Sesgo y el ECM de $Z^*$ . El ECM se expresa en la forma $MSE(Z^*) = \alpha^2 A + \alpha B + C$ . El valor óptimo de $\alpha$ se encuentra minimizando esta expresión ( $\alpha = -B/2A$ ), lo que resulta en el ECM mínimo: $MSE_{min} = C - B^2/4A$ .
Análisis Comparativo: La eficiencia teórica de $Z^*$ $Z^{*}$ se compara contra:
- Estimadores de razón tradicionales de Kadilar y Cingi ( $\bar{y}_{KC1}$ a $\bar{y}_{KC5}$ ).
- Estimadores de razón basados en la regresión de Poisson de Koç ( $\bar{y}_1$ a $\bar{y}_5$ ).
- Un estimador de la media basado en la regresión de Poisson de Shahzad et al. ( $\bar{y}_U$ ).
- Estimadores de razón-más-regresión basados en la regresión de Poisson de Jana et al. ( $Z_1$ a $Z_5$ ).

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo valida el estimador propuesto a través de estudios empíricos utilizando conjuntos de datos del mundo real y extensos estudios de simulación.

Estudio Empírico: Se analizaron dos poblaciones reales:
1. Población I: Datos de contaminación del aire (Afyon, Turquía), vinculando las admisiones hospitalarias semanales ( $Y$ ) con los niveles de PM10 ( $X$ ).
2. Población II: Datos de accidentes de tráfico (Turquía, 2019), vinculando las muertes por tráfico ( $Y$ ) con el número de vehículos de motor ( $X$ ).
  En ambos casos, el estimador propuesto $Z^*$ demostró el Error Cuadrático Medio (ECM) más bajo y la mayor Eficiencia Relativa Porcentual (ERP). Para la Población II, $Z^*$ alcanzó una ERP del 2323.13% en relación con el estimador convencional $\bar{y}_1$ , superando significativamente a todos los estimadores competidores.
Estudio de Simulación: Se realizó una simulación utilizando el software R con una población finita ( $N=1000$ ) donde $X$ seguía una distribución uniforme e $Y$ seguía una distribución de Poisson con $\lambda = \exp(\beta_0 + \beta_1 X)$ . El estudio varió los tamaños de muestra ( $n=20, 30, 40$ ) y los coeficientes de regresión ( $\beta_1 = 0.75, 0.85, 0.95$ ).
- En todos los escenarios, $Z^*$ produjo consistentemente el ECM mínimo y la máxima ERP en comparación con los estimadores de Kadilar y Cingi, Koç y Jana et al.
- Los resultados confirmaron que, a medida que el tamaño de la muestra aumentaba, el ECM disminuía para todos los estimadores, pero el estimador propuesto mantenía una eficiencia superior.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que el estimador propuesto $Z^*$ ofrece una mejora estadísticamente significativa sobre los métodos existentes para estimar la media poblacional de datos de conteo. El estudio sostiene que:

La derivación teórica del sesgo y el ECM proporciona una base robusta para el desempeño del estimador.
Los resultados empíricos y de simulación validan que $Z^*$ es más eficiente que los estimadores de razón tradicionales y otros enfoques basados en la regresión de Poisson presentes en la literatura actual.
El uso de la función exponencial y la combinación específica de términos de razón y regresión dentro del marco de Poisson captura eficazmente la relación entre las variables de estudio y auxiliares para datos de conteo.

El artículo concluye que se recomienda el uso de $Z^*$ para analizar conjuntos de datos de conteo cuando se dispone de información auxiliar. Los autores sugieren modestamente que trabajos futuros podrían extender esta metodología para manejar la sobredispersión, el exceso de ceros (mediante modelos de inflación de ceros), datos faltantes y otros diseños de muestreo como el muestreo estratificado o el de conjuntos ordenados, pero no afirman que estas extensiones se hayan logrado en el presente estudio.

Resumen Técnico: Un Estimador Eficiente de la Media Poblacional Mediante un Enfoque Basado en la Regresión de Poisson

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